рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Приведение квадратичных форм к каноническому

Приведение квадратичных форм к каноническому - раздел Математика, КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Виду.   Рассмотрим Некоторое Линейное Преобразо...

виду.

 

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

где у1 и у2 – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

 

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

 

При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и . Тогда:

 

Тогда .

 

Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

 

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27.

 

Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - l)(3 - l) – 25 = 0

l2 - 30l + 56 = 0

l1 = 2; l2 = 28;

 

 

 

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

 

Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l2 – 36 = 0

l2 - 25l + 100 = 0

l1 = 5, l2 = 20.

Итого: - каноническое уравнение эллипса.

 

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m1 = 1, получим n1 =

полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m1 = 1, получим n1 =

полагая m2 = 1, получим n2 =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

 

 

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у2 + 16 = 0

 

Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l1 = -1, l2 = 4.

 

Для l1 = -1 Для l2 = 4

 

m1 = 1; n1 = -0,5; m2 = 1; n2 = 2;

 

= (1; -0,5) = (1; 2)

Получаем: -каноническое уравнение гиперболы.

 

 

 

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает рассморенные выше примеры для любых начальных условий.

 

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

 
 

В открывшемся окне программы введите коэффициенты квадратичной формы и нажмите Enter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (Ó Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

 

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

mailto aalar yandex ru... К У Р С В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Приведение квадратичных форм к каноническому

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

К У Р С
В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И Краткий конспект лекций     ЧАСТЬ 1    

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные. Теорема.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:  

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору

Кривая второго порядка может быть задана уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.  

Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.
  Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой т

Уравнение прямой в пространстве по точке и
направляющему вектору.   Возьмем произвольную прямую и вектор

Уравнение прямой в пространстве, проходящей
через две точки.   Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2

Условия параллельности и перпендикулярности
плоскостей.   На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. &nbs

Условия параллельности и перпендикулярности
прямых в пространстве.   Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие ко

Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости в пространстве.   Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вект

Связь сферической системы координат с
декартовой прямоугольной.   В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:  

Собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования.   Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}   Общий элементпоследовательности является функцией от n. xn = f(n)

Бесконечно большие функции и их связь с
бесконечно малыми. Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует тако

Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.
  Определение. Два комплексных числа и

А Ì В
  Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножествоммножества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги