Реферат Курсовая Конспект
Линейная модель обмена - раздел Математика, ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТ МАКРОЭКОНОМИКИ 1.В Данном Параграфе Мы Рассмотрим Линейную Модель Обмена, И...
|
1.В данном параграфе мы рассмотрим линейную модель обмена, известную также под названием модели международной торговли. Пусть - национальные доходы стран соответственно, - вектор национальных доходов: - вектор потребления, - вектор нормы потребления (), показывающий какую часть своего дохода страны тратят на потребление; - структурная матрица торговли (элемент матрицы показывает какую часть национального дохода страна тратит на закупку товаров у страны ). Таким образом, страна в результате продажи товаров получит доход
(5.1) |
или в матричном виде
, | (5.2) |
где - вектор дохода от продажи.
В данном пункте мы будем исходить из трех предположений.
1) Рассматриваемая экономическая система замкнута, т. е. все страны покупают товары только друг у друга. Данное условие в наших обозначениях может быть записано следующим образом:
. | (5.3) |
Это показывает, что сумма элементов -го столбца матрицы равна . Уравнение (5.3) в матричной форме выглядит nак
, | (5.4) |
где .
2) Национальные доходы всех стран полностью тратятся на потребление . Следовательно, , т. е.
. | (5.5) |
В силу последнего соотношения условие (5.4) эквивалентно условию
. | (5.6) |
Замечание 5.1.Так как , то из (5.3) вытекает, что все суммы элементов столбцов матрицы равны . Отсюда на основании следствия 1.5 вытекает, что число Фробениуса матрицы равно . Поэтому из (5.6) вытекает, что является левым вектором Фробениуса структурной матрицы торговли.
3) Национальный доход в период равен доходу от продажи в предыдущем периоде, т. е.
. | (5.7) |
С учетом (5.2) последнее условие принимает вид:
. | (5.8) |
Уравнение (5.8) называется уравнением линейного обмена (без учета сбережений). Если - первоначальный вектор национального дохода, то из (5.8) следует, что в период t вектором национального дохода будет
(5.9) |
(при условии, конечно, что за это время структурная матрица торговли не изменилась).
2. Естественно возникает вопрос, возможна ли в рамках данной экономической системы взаимовыгодная торговля, т. е. существует ли такой вектор , при котором
. | (5.10) |
Эти соотношения показывают, что все страны получили либо прибыль, либо по крайней мере не имеют убытков. Покажем, что в (5.10) возможен лишь только знак равенства.
Действительно, предположим противное : что в неравенствах (5.10), рассмотренных покоординатно, имеется хотя бы одно строгое неравенство. Тогда просуммировав все эти неравенства, т. е. умножив (5.10) скалярно на , получим . Учитывая (5.6), получаем . Мы пришли к противоречию. Следовательно,
. | (5.11) |
С экономической точки зрения данный результат вполне очевиден, т. к. если были бы страны, имеющие прибыль, то в силу замкнутости данной экономической системы, должны быть и страны, имеющие убытки.
Замечание 5.2.Из (5.11) вытекает, что вектор , определяющий равновесное состояние системы, является правым вектором Фробениуса матрицы (т. к. , см. замечание 5.1). Следовательно, для любой модели международной торговли существует равновесное состояние , причем, если матрица - неразложима, то .
Замечание 5.3.Т. к. вектор Фробениуса определен с точностью до знака, то точнее говорить о равновесном распределении доходов. Если структурная матрица торговли неразложима, то равновесное распределение доходов определено однозначно.
Пример 5.1.Пусть структурная матрица торговли имеет вид:
.
Определим равновесное распределение национальных доходов. Уравнение (5.11) в данном случае равносильно системе:
.
Решив ее, находим, что , т. е. .
Замечание 5.4.Из (5.8) и (4.11) вытекает, что, если (одному из правых векторов Фробениуса матрицы ), то в результате торговли доходы стран останутся без изменения. Если же , но существует , то из (4.8) следует, что , т. е. то, что также будем вектором Фробениуса матрицы . Таким образом, вектор Фробениуса определяет не только равновесное , но и предельное состояние системы.
Замечание 5.5.Можно показать, что если неразложима и для любого собственного значения матрицы , то будет существовать предел последовательности при любом (доказательство это факта можно найти в [1]).
Неотрицательные матрицы , обладающие подобным свойством, называются устойчивыми. Таким образом, если структурная матрица торговли устойчива, то последовательность национальных доходов будет сходится к равновесному состоянию.
3. В данном пункте мы рассмотрим более общую ситуацию: модель обмена с учетом сбережений. Пусть - норма сбережений страны ; (), - вектор нормы сбережений. Обозначим через и следующие диагональные матрицы:
а) ; б) . | (5.12) |
Очевидно, что
. | (5.13) |
Пусть - вектор сбережений, т. е. . Как легко видеть
. | (5.14) |
В рассматриваемом случае национальный доход в период будет складываться из сбережений в период и дохода от продажи в период , т. е.
. | (5.15) |
или, если подставить в (5.15) выражение для из (5.13),
/
Последнее условие может записано, как
, | (5.16) |
где - прирост национального дохода. Требование приводит к условию
. | (5.17) |
Нетрудно, подобно тому, как это делалось выше, показать, что в (5.17) возможен лишь знак равенства. Действительно, из (5.12б) легко получить, что
. | (5.18) |
Умножим (5.17) скалярно на . Тогда, учитывая (5.4) и (5.18), мы получим, что , что невозможно. Значит
. | (5.19) |
А, следовательно, , т. е. данный вектор описывает равновесное состояние системы.
Замечание 5.6.Если вектор нормы сбережений , то нетрудно показать, что определение равновесного дохода, также как и в предыдущем случае, сводится к определению вектора Фробениуса некоторой неотрицательной матрицы. Действительно, если , то из (5.12б) следует, что у существует обратная матрица
,
причем ; тогда, умножив (5.19) на , получим , где - структурная матрица потребления, элемент которой показывает, какую часть потребления ci страна тратит на закупку товаров у страны .
Замечание 5.7.В случае, когда (отсутствие сбережений) структурная матрица потребления совпадает со структурной матрицей торговли .
Замечание 5.8. Нетрудно показать, что левым вектором Фробениуса матрицы является вектор нормы потребления .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Собственные значения и собственные векторы... ГЛАВА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МИКРОЭКОНОМИКИ Теория...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная модель обмена
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов