рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейная модель обмена

Линейная модель обмена - раздел Математика, ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТ МАКРОЭКОНОМИКИ 1.В Данном Параграфе Мы Рассмотрим Линейную Модель Обмена, И...

1.В данном параграфе мы рассмотрим линейную модель обмена, известную также под названием модели международной торговли. Пусть - национальные доходы стран соответственно, - вектор национальных доходов: - вектор потребления, - вектор нормы потребления (), показывающий какую часть своего дохода страны тратят на потребление; - структурная матрица торговли (элемент матрицы показывает какую часть национального дохода страна тратит на закупку товаров у страны ). Таким образом, страна в результате продажи товаров получит доход

(5.1)

или в матричном виде

, (5.2)

где - вектор дохода от продажи.

В данном пункте мы будем исходить из трех предположений.

1) Рассматриваемая экономическая система замкнута, т. е. все страны покупают товары только друг у друга. Данное условие в наших обозначениях может быть записано следующим образом:

. (5.3)

Это показывает, что сумма элементов -го столбца матрицы равна . Уравнение (5.3) в матричной форме выглядит nак

, (5.4)

где .

2) Национальные доходы всех стран полностью тратятся на потребление . Следовательно, , т. е.

. (5.5)

В силу последнего соотношения условие (5.4) эквивалентно условию

. (5.6)

Замечание 5.1.Так как , то из (5.3) вытекает, что все суммы элементов столбцов матрицы равны . Отсюда на основании следствия 1.5 вытекает, что число Фробениуса матрицы равно . Поэтому из (5.6) вытекает, что является левым вектором Фробениуса структурной матрицы торговли.

3) Национальный доход в период равен доходу от продажи в предыдущем периоде, т. е.

. (5.7)

С учетом (5.2) последнее условие принимает вид:

. (5.8)

Уравнение (5.8) называется уравнением линейного обмена (без учета сбережений). Если - первоначальный вектор национального дохода, то из (5.8) следует, что в период t вектором национального дохода будет

(5.9)

(при условии, конечно, что за это время структурная матрица торговли не изменилась).

2. Естественно возникает вопрос, возможна ли в рамках данной экономической системы взаимовыгодная торговля, т. е. существует ли такой вектор , при котором

. (5.10)

Эти соотношения показывают, что все страны получили либо прибыль, либо по крайней мере не имеют убытков. Покажем, что в (5.10) возможен лишь только знак равенства.

Действительно, предположим противное : что в неравенствах (5.10), рассмотренных покоординатно, имеется хотя бы одно строгое неравенство. Тогда просуммировав все эти неравенства, т. е. умножив (5.10) скалярно на , получим . Учитывая (5.6), получаем . Мы пришли к противоречию. Следовательно,

. (5.11)

С экономической точки зрения данный результат вполне очевиден, т. к. если были бы страны, имеющие прибыль, то в силу замкнутости данной экономической системы, должны быть и страны, имеющие убытки.

Замечание 5.2.Из (5.11) вытекает, что вектор , определяющий равновесное состояние системы, является правым вектором Фробениуса матрицы (т. к. , см. замечание 5.1). Следовательно, для любой модели международной торговли существует равновесное состояние , причем, если матрица - неразложима, то .

Замечание 5.3.Т. к. вектор Фробениуса определен с точностью до знака, то точнее говорить о равновесном распределении доходов. Если структурная матрица торговли неразложима, то равновесное распределение доходов определено однозначно.

Пример 5.1.Пусть структурная матрица торговли имеет вид:

.

Определим равновесное распределение национальных доходов. Уравнение (5.11) в данном случае равносильно системе:

.

Решив ее, находим, что , т. е. .

Замечание 5.4.Из (5.8) и (4.11) вытекает, что, если (одному из правых векторов Фробениуса матрицы ), то в результате торговли доходы стран останутся без изменения. Если же , но существует , то из (4.8) следует, что , т. е. то, что также будем вектором Фробениуса матрицы . Таким образом, вектор Фробениуса определяет не только равновесное , но и предельное состояние системы.

Замечание 5.5.Можно показать, что если неразложима и для любого собственного значения матрицы , то будет существовать предел последовательности при любом (доказательство это факта можно найти в [1]).

Неотрицательные матрицы , обладающие подобным свойством, называются устойчивыми. Таким образом, если структурная матрица торговли устойчива, то последовательность национальных доходов будет сходится к равновесному состоянию.

3. В данном пункте мы рассмотрим более общую ситуацию: модель обмена с учетом сбережений. Пусть - норма сбережений страны ; (), - вектор нормы сбережений. Обозначим через и следующие диагональные матрицы:

а) ; б) . (5.12)

Очевидно, что

. (5.13)

Пусть - вектор сбережений, т. е. . Как легко видеть

. (5.14)

В рассматриваемом случае национальный доход в период будет складываться из сбережений в период и дохода от продажи в период , т. е.

. (5.15)

или, если подставить в (5.15) выражение для из (5.13),

/

Последнее условие может записано, как

, (5.16)

где - прирост национального дохода. Требование приводит к условию

. (5.17)

Нетрудно, подобно тому, как это делалось выше, показать, что в (5.17) возможен лишь знак равенства. Действительно, из (5.12б) легко получить, что

. (5.18)

Умножим (5.17) скалярно на . Тогда, учитывая (5.4) и (5.18), мы получим, что , что невозможно. Значит

. (5.19)

А, следовательно, , т. е. данный вектор описывает равновесное состояние системы.

Замечание 5.6.Если вектор нормы сбережений , то нетрудно показать, что определение равновесного дохода, также как и в предыдущем случае, сводится к определению вектора Фробениуса некоторой неотрицательной матрицы. Действительно, если , то из (5.12б) следует, что у существует обратная матрица

 

,

причем ; тогда, умножив (5.19) на , получим , где - структурная матрица потребления, элемент которой показывает, какую часть потребления ci страна тратит на закупку товаров у страны .

Замечание 5.7.В случае, когда (отсутствие сбережений) структурная матрица потребления совпадает со структурной матрицей торговли .

Замечание 5.8. Нетрудно показать, что левым вектором Фробениуса матрицы является вектор нормы потребления .

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТ МАКРОЭКОНОМИКИ

Собственные значения и собственные векторы... ГЛАВА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МИКРОЭКОНОМИКИ Теория...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная модель обмена

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц
1. Определение 1.1. Число называется собственным значением (числом)

Определение 2.1.Величина называется мультипликатором Кейнса,а - конечным спросом.
Замечание 2.1.Мультипликатор играет важную роль в теории Кейнса и в других макроэкономиче

Модель Хикса агрегированного рынка.
  В своей знаменитой статье “Мистер Кейнс и классики” в журнале Дж. Хикс предпринял попытку объединить кейнсианский подход, считавшим основным фактором достижения равновесия на рынках

Упражнения.
1) Исследовать направление перемещения прямых и

Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса.
  В данном параграфе мы рассмотрим динамический вариант модели Кейнса, известный под названием модели делового цикла Самульсона-Хикса. Если в модели Кейнса используется принцип незави

Продуктивность модели Леонтьева
Рассмотрим экономическую систему, состоящую n отраслей, каждая из которых производит однородный продукт. Пусть

Модель равновесных цен.
Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева - так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде,

Теория производства.
    1.Пусть - производственная функция, моделирующая зависимо

Упражнения.
1. Доказать формулу Эйлера (см. (8.8)). 2. Доказать, что линейно-однородная функция неограниченна. 3. Доказать, что частная производная однородной функции степени

Математические основы теории потребления.
1.Набор товаров называется оптимальным планом потребления, если он является точкой макси

Упражнения.
1.Доказать, что если коэффициент эластичности по -тому товару постоянен (

Модель естественного роста (рост при постоянном темпе прироста).
Пусть - количество продукции некоторой отрасли, проданной к моменту времени

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги