Линейная модель обмена

1.В данном параграфе мы рассмотрим линейную модель обмена, известную также под названием модели международной торговли. Пусть - национальные доходы стран соответственно, - вектор национальных доходов: - вектор потребления, - вектор нормы потребления (), показывающий какую часть своего дохода страны тратят на потребление; - структурная матрица торговли (элемент матрицы показывает какую часть национального дохода страна тратит на закупку товаров у страны ). Таким образом, страна в результате продажи товаров получит доход

(5.1)

или в матричном виде

(5.2)

где - вектор дохода от продажи.

В данном пункте мы будем исходить из трех предположений.

1) Рассматриваемая экономическая система замкнута, т. е. все страны покупают товары только друг у друга. Данное условие в наших обозначениях может быть записано следующим образом:

(5.3)

Это показывает, что сумма элементов -го столбца матрицы равна . Уравнение (5.3) в матричной форме выглядит nак

(5.4)

где .

2) Национальные доходы всех стран полностью тратятся на потребление . Следовательно, , т. е.

(5.5)

В силу последнего соотношения условие (5.4) эквивалентно условию

(5.6)

Замечание 5.1.Так как , то из (5.3) вытекает, что все суммы элементов столбцов матрицы равны . Отсюда на основании следствия 1.5 вытекает, что число Фробениуса матрицы равно . Поэтому из (5.6) вытекает, что является левым вектором Фробениуса структурной матрицы торговли.

3) Национальный доход в период равен доходу от продажи в предыдущем периоде, т. е.

(5.7)

С учетом (5.2) последнее условие принимает вид:

(5.8)

Уравнение (5.8) называется уравнением линейного обмена (без учета сбережений). Если - первоначальный вектор национального дохода, то из (5.8) следует, что в период t вектором национального дохода будет

(5.9)

(при условии, конечно, что за это время структурная матрица торговли не изменилась).

2. Естественно возникает вопрос, возможна ли в рамках данной экономической системы взаимовыгодная торговля, т. е. существует ли такой вектор , при котором

(5.10)

Эти соотношения показывают, что все страны получили либо прибыль, либо по крайней мере не имеют убытков. Покажем, что в (5.10) возможен лишь только знак равенства.

Действительно, предположим противное : что в неравенствах (5.10), рассмотренных покоординатно, имеется хотя бы одно строгое неравенство. Тогда просуммировав все эти неравенства, т. е. умножив (5.10) скалярно на , получим . Учитывая (5.6), получаем . Мы пришли к противоречию. Следовательно,

(5.11)

С экономической точки зрения данный результат вполне очевиден, т. к. если были бы страны, имеющие прибыль, то в силу замкнутости данной экономической системы, должны быть и страны, имеющие убытки.

Замечание 5.2.Из (5.11) вытекает, что вектор , определяющий равновесное состояние системы, является правым вектором Фробениуса матрицы (т. к. , см. замечание 5.1). Следовательно, для любой модели международной торговли существует равновесное состояние , причем, если матрица - неразложима, то .

Замечание 5.3.Т. к. вектор Фробениуса определен с точностью до знака, то точнее говорить о равновесном распределении доходов. Если структурная матрица торговли неразложима, то равновесное распределение доходов определено однозначно.

Пример 5.1.Пусть структурная матрица торговли имеет вид:

Определим равновесное распределение национальных доходов. Уравнение (5.11) в данном случае равносильно системе:

Решив ее, находим, что , т. е. .

Замечание 5.4.Из (5.8) и (4.11) вытекает, что, если (одному из правых векторов Фробениуса матрицы ), то в результате торговли доходы стран останутся без изменения. Если же , но существует , то из (4.8) следует, что , т. е. то, что также будем вектором Фробениуса матрицы . Таким образом, вектор Фробениуса определяет не только равновесное , но и предельное состояние системы.

Замечание 5.5.Можно показать, что если неразложима и для любого собственного значения матрицы , то будет существовать предел последовательности при любом (доказательство это факта можно найти в [1]).

Неотрицательные матрицы , обладающие подобным свойством, называются устойчивыми. Таким образом, если структурная матрица торговли устойчива, то последовательность национальных доходов будет сходится к равновесному состоянию.

3. В данном пункте мы рассмотрим более общую ситуацию: модель обмена с учетом сбережений. Пусть - норма сбережений страны ; (), - вектор нормы сбережений. Обозначим через и следующие диагональные матрицы:

а)

; б)

(5.12)

Очевидно, что

(5.13)

Пусть - вектор сбережений, т. е. . Как легко видеть

(5.14)

В рассматриваемом случае национальный доход в период будет складываться из сбережений в период и дохода от продажи в период , т. е.

(5.15)

или, если подставить в (5.15) выражение для из (5.13),

Последнее условие может записано, как

(5.16)

где - прирост национального дохода. Требование приводит к условию

(5.17)

Нетрудно, подобно тому, как это делалось выше, показать, что в (5.17) возможен лишь знак равенства. Действительно, из (5.12б) легко получить, что

(5.18)

Умножим (5.17) скалярно на . Тогда, учитывая (5.4) и (5.18), мы получим, что , что невозможно. Значит

(5.19)

А, следовательно, , т. е. данный вектор описывает равновесное состояние системы.

Замечание 5.6.Если вектор нормы сбережений , то нетрудно показать, что определение равновесного дохода, также как и в предыдущем случае, сводится к определению вектора Фробениуса некоторой неотрицательной матрицы. Действительно, если , то из (5.12б) следует, что у существует обратная матрица

причем ; тогда, умножив (5.19) на , получим , где - структурная матрица потребления, элемент которой показывает, какую часть потребления ci страна тратит на закупку товаров у страны .

Замечание 5.7.В случае, когда (отсутствие сбережений) структурная матрица потребления совпадает со структурной матрицей торговли .

Замечание 5.8. Нетрудно показать, что левым вектором Фробениуса матрицы является вектор нормы потребления .