Теория производства.

 

 

1.Пусть - производственная функция, моделирующая зависимость величины выпуска годовой продукции от величины затраченных факторов (ресурсов) производства n . Оптимальным планом производства называется точка максимума функции прибыли

,

(8.1)

где - цена единицы выпускаемой продукции (- функция дохода), - факторные цены.

Множество уровня производственной функции называется изоквантой, а множество уровня функции затрат (издержек) называется изокостой.

Неоклассическая производственная функция - это функция, имеющая непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяющая следующим аксиомам.

1. Аксиома о неотрицательности выпуска

(8.2)

при любых неотрицательных значениях факторов.

2. Аксиома об увеличении выпуска при увеличении любого из факторов, т. e.

.

(8.3)

3. Аксиома убывающей эффективности факторов (убывающей предельной производительности любого фактора)

(8.4)

при

,	(8.5)
.	(8.6)

4. Аксиома о невозрастающей отдаче на единицу расширения масштаба производства

(8.7)

для любого , где . Величина характеризует эффект от расширения масштаба производства. При говорят об убывающей отдаче на единицу масштаба, а при - о постоянной отдаче на единицу масштаба.

 

Замечание 8.1.Функции, удовлетворяющие условию (8.7), называются одно-

родными, при этом называется степенью однородности. При функцию называю линейно-однородной.

Любая однородная функция удовлетворяет условию

,

(8.8)

называемому формулой Эйлера.

Основные экономико-математические характеристики производственной функции:

1. Средняя производительность -го фактора

(8.9)

2. Предельная производительность -го фактора

.

(8.10)

3. Коэффициент эластичности по -му фактору

.

(8.11)

Наибольшее распространение имеют двухфакторные производственные функции , где - величина затраченного капитала (основных фондов), а - величина затраченного труда. Для двухфакторных моделей дополнительно выделяются следующие характеристики:

4. Фондовооруженность

.

(8.12)

5. Предельная норма замещения труда капиталом

.

(8.13)

6. (Предельная) эластичность замещения труда капиталом

,

(8.14)

и капитала трудом

.

(8.15)

2.Утверждение 8.1.Пусть - функция доходов, а - функция затрат. Тогда для оптимального плана производства :

а) предельная производительность труда равна реальной заработной плате ;

б) предельная фондоотдача равна реальной рентной плате ;

в) предельная норма замены труда капиталом равна отношению факторных цен.

Доказательство. Вычислив частные производные функции прибыли в точке имеем

;	(8.16)
.	(8.17)

Отсюда находим:

а) ; б) ; в) ;

(8.18)

3. Утверждение 8.2.Пусть - неоклассическая производственная функция степени однородности , тогда

а) ,

(8.19)

б) есть норма издержек.

Доказательство. а) Рассмотрим формулу Эйлера для функции

.

(8.20)

Разделив обе части формулы (8.20) на , находим

.

Отсюда, на основании определения коэффициентов эластичности по труду и капиталу, получаем (8.19). Из (8.19), в частности вытекает, что неоклассическая производственная функция неэластична ни по труду, ни по капиталу, т. е.

а) ; б) .

(8.21)

Действительно, т. к. и (на основании аксиом 1 и 2) и , то и .

б) Подставляя в (8.20) выражения и из (8.18а) и (8.18б) соответственно, находим

,

т.е. - норма издержек. Здесь - величина издержек, а - величина дохода. В частности , есть норма прибыли.

4. Утверждение 8.3.В неоклассической модели уровень занятости есть убывающая функция от реальной заработной платы.

Доказательство. Пусть . Тогда из (8.18а) получаем.

.

Дифференцируя последние соотношения по , находим

.

Так как (см. аксиому 3), то . А, следовательно, на основании теоремы о производной обратной функции .

5. Утверждение 8.4 .Средняя производительность любого фактора неоклассической производственной функции есть убывающая функция от этого фактора.

Доказательство. Дифференцируя (8.9) по , имеем

.

Так как , , (неоклассическая производственная функция неэластична по любому фактору, см. (8.21)), то .

6. Утверждение 8.5.В точке максимума прибыли норма прибыли имеют нейтральную эластичность.

Доказательство. Пусть - количество выпускаемой продукции, - величина прибыли, - норма прибыли, т. е . В точке максимума прибыли имеем

.

Отсюда получаем, что , т.е. . Это говорит о нейтральной эластичности нормы прибыли.

Пример 8.1.Пусть - зависимость между ценой и количеством выпускаемой продукции, и - соответственно норма переменных издержек и постоянные издержки. Найти оптимальный план выпуска продукции в предположении, что производитель стремится максимизировать прибыль.

Решение. Из условия задачи следует, что величина дохода производителя равна , а издержек - . Таким образом, прибыль в нашем случае равна т. е. . Вычислив производную от , имеем в точке экстремума . Следовательно, . Причем, т. к. , то - точка максимума.

Пример 8.2.Пусть единица продукции предприятия, рассмотренного в предыдущем примере, облагается акцизным сбором в размере . Найти, при какой величине суммарный сбор будет максимален.

Решение.Необходимо найти максимум функции при условии, что предприятие тоже будет стремиться максимизировать свою прибыль. В отличие от предыдущего примера прибыль предприятия уменьшается на величину , т. е. . Вычислив производную и приравняв ее к нулю, получим в точке максимума , т. e. . Поэтому,

.

Следовательно, . Так как в точке максимума , то . При этом , т. е. в два раза меньше, чем в предыдущей задаче.