рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Функция ...

Функция называется первообразной функции на некотором промежутке D, если для всех из D выполняется: .

Например, является первообразной для функции на всей числовой прямой, т. к. для всех . Если — первообразная для функции , то любая другая первообразная для может быть представлена в виде , где C — произвольная постоянная.

Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции и обозначается ; здесь — знак интеграла, — подынтегральная функция, — переменная интегрирования.

Согласно определению, , где .

Введем объяснение записи , которая обозначает дифференциал . Если функция дифференцируема в точке х, то, значит, существует производная в этой точке, т. е.

.

Согласно определению предела функции, можно записать, что:

, где .

Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента, т. е. слагаемое . Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: . Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

Следовательно, ;.

Свойства дифференциала:

1. , где .

2. .

3. .

4. .

Запишем теперь свойства неопределенного интеграла.

1. .

2. .

3. , где .

4. .

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Таблица основных интегралов:

1. ;

2. , при ;

3. ;

4. .

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10.;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Интегралы иногда можно найти с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных свойств неопределенного интеграла.

Пример 1. Найти:

.

Во многих случаях интегралы можно найти путем введения новой переменной интегрирования. Этот метод называется методом подстановки, или методом замены переменной. Если , тогда справедлива следующая формула замены переменной:

.

Пример 2. Найдем интеграл: .

Необходимо ввести новую переменную t таким образом, чтобы свести данный интеграл к табличному. Обозначим

. Тогда . Следовательно,
. Подставим найденные выражения в исходный интеграл:
.

Пример 3. Найдем интеграл: .

Введем переменную . Тогда
.

Следовательно, . Подставим найденные выражения в интеграл:
.

Существует еще один метод интегрирования: интегрирование по частям. Если функции и определены и дифференцируемы на некотором множестве D, тогда справедлива формула интегрирования по частям:

.

Эта формула позволяет свести вычисление к вычислению , который иногда может оказаться более простым.

Пример 4. Найдем .

Обозначим ; .

Для того, чтобы воспользоваться формулой интегрирования по частям, необходимо найти и .

Найдем: . Значит .

. Значит: .

Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

.

Пример 5. Найдем: .

Обозначим: , .

Тогда . Найдем

.

Таким образом, . Поставим найденные выражения в формулу интегрирования по частям:

.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИКА

На сайте allrefs.net читайте: МАТЕМАТИКА. Павликов С В...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Интегральное исчисление
Определение неопределенного интеграла и его свойства. Методы интегрирования: замена переменной и по частям. Опреде-ление определенного интеграла и его свойства. Геометрическое при-ложение определен

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради с полями для замечаний преподавателя. На обложке тетради необходимо указать фамилию, имя, отчество студента, факультет, курс и номер зачетной книж

НОМЕРА ВЫПОЛНЯЕМЫХ ЗАДАНИЙ
Последняя цифра номера зачетной книжки

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1.Найти матрицу .   1.1.   А

Матрицы и действия над ними
Матрицей размером m x n называется прямоугольная таблица элементов , состоящая из m стр

Определитель матрицы
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка: Определителем второго порядка называется число:

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  В общем случае СЛАУ имеет вид:   (3.1) &nb

Метод Крамера решения СЛАУ
Пусть m=n. Если , то СЛАУ можно решать методом Крамера. Введем обозначение:  

Метод Гаусса решения СЛАУ
Приведем использование метода Гаусса для решения СЛАУ, состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными:

Собственные векторы матрицы
Вектором называется матрица чисел размером:  

Ранг матрицы
Векторы ,, …,

Предел последовательности
  Если каждому натуральному числу 1, 2, 3, …n, … поставим в соответствие действительное число

Предел функции
Множество всех действительных чисел обозначается R. Если каждому элементу х множествапо некото

Производная функции
Пусть функция определена в точках

Исследование функции
Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале

Нахождение наибольшего и наименьшего значений не-прерывной функции на отрезке.
Функция с областью определения

Определенный интеграл
Площадь криволинейной трапеции АВСD, ограниченной линиями ,

Первый способ.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги