Реферат Курсовая Конспект
Метод Гаусса решения СЛАУ - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Приведем Использование Метода Гаусса Для Решения Слау, Состоящей Из Трех Урав...
|
Приведем использование метода Гаусса для решения СЛАУ, состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными:
Вначале составляем расширенную матрицу:
Затем эту матрицу приводят к ступенчатому виду, в котором все элементы, стоящие ниже главной диагонали матрицы А, равны нулю, т. е.:
Для получения ступенчатого вида можно менять местами строки матрицы, умножать все элементы строки на одно число, прибавлять к строке другую строку, умноженную на некоторое число. Тогда из последнего уравнения следует, что:
.
Следовательно: .
Найденное значение подставляем в предпоследнее уравнение, откуда находим :
.
Значит: .
Затем найденные значения и подставляем в первое уравнение и находим .
Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса.
Расширенная матрица системы будет иметь вид:
Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 2. Затем из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 3. Получаем:
Теперь нужно получить во втором столбе на месте 4 число нуль. Чтобы не иметь дело с дробями, прибавим к третьей строке вторую и затем поменяем их местами. Получим:
Теперь к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 3. Получим:
Из последней строки получаем: .
Значит: .
Запишем уравнение, соответствующее второй строке матрицы:
. Значит: .
Подставляем и в первое уравнение и находим :
; .
Метод Гаусса, в отличие от метода Крамера, пригоден и в тех случаях, когда , т. е. когда система является неопределенной.
Пример.Решим СЛАУ:
Запишем расширенную матрицу:
~
Здесь мы поменяли вначале местами первую и вторую строки, а затем из второй строки отняли первую, умноженную на 2, а из третьей отняли первую, умноженную на 2. Получили нулевую строку, т. е. для двух уравнений получили три неизвестных. В таких случаях система имеет бесконечное множество решений.
Решение записывают в следующем виде. Одну из переменных, например, , обозначают за константу с, а остальные переменные выражают из не нулевых строк с учетом этой константы. Например: . Из второго уравнения получаем: . Значит: .
Из первого уравнения: .
Следовательно, получаем общее решение:
Придавая с конкретные значения, мы можем получить частные решения. Например, приполучаем:
При система может быть несовместной. Рассмотрим такой пример:
Запишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду:
~
Из третьей строки следует, что третье уравнение будет иметь вид: .
Получили противоречивую запись; следовательно, данная система не имеет решений.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: МАТЕМАТИКА. Павликов С В...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Гаусса решения СЛАУ
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов