Теоретические вопросы. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

I. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Теоретические вопросы

2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции. 3. Понятие дифференцируемости функции и дифференциала. Условие… 4. Геометрический смысл дифференциала.

Теоретические упражнения

a. а) производная периодической дифференцируемой функции есть функция периодическая; b. б) производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная; c. в) производная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная.

Расчетные задания

Задача 1. Исходя из определения производной, найти .

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

1.21.

1.22.

1.23. 1.24.

1.25.

1.26.

1.27.

1.28.

1.29.

1.30.

1.31.

 

Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой .

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

2.31.

 

Задача 3. Найти дифференциал .

3.1.

3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25. 3.26.

3.27. 3.28.

3.29. 3.30.

3.31.

 

Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

4.21. 4.22.

4.23. 4.24.

4.25. 4.26.

4.27. 4.28.

4.29. 4.30.

4.31.

 

Задача 5. Найти производную.

5.1. 5.2.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

5.11. 5.12.

5.13. 5.14.

5.15. 5.16.

5.17. 5.18.

5.19. 5.20.

5.21. 5.22.

5.23. 5.24.

5.25. 5.26.

5.27. 5.28.

5.29. 5.30.

5.31.

 

 

Задача 6. Найти производную.

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

6.11. 6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21. 6.22.

6.23. 6.24.

6.25.

6.26.

6.27.

6.28.

6.29. 6.30.

6.31.

 

Задача 7. Найти производную.

7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6.

7.7. 7.8.

7.9. 7.10.

7.11. 7.12.

7.13. 7.14.

7.15. 7.16.

7.17. 7.18.

7.19. 7.20.

7.21. 7.22.

7.23. 7.24.

7.25. 7.26.

7.27. 7.28.

7.29. 7.30.

7.31.

 

Задача 8. Найти производную.

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

8.11. 8.12.

8.13. 8.14.

8.15. 8.16.

8.17. 8.18.

8.19. 8.20.

8.21. 8.22.

8.23. 8.24.

8.25. 8.26.

8.27. 8.28.

8.29. 8.30.

8.31.

 

Задача 9. Найти производную.

9.1. 9.2.

9.3.

9.4.

9.5. 9.6.

9.7.

9.8.

9.9. 9.10.

9.11. 9.12.

9.13. 9.14.

9.15. 9.16.

9.17.

9.18.

9.19.

9.20.

9.21. 9.22.

9.23. 9.24.

9.25. 9.26.

9.27.

9.28.

9.29.

9.30.

9.31.

 

Задача 10. Найти производную.

10.1. 10.2.

10.3. 10.4.

10.5. 10.6.

10.7. 10.8.

10.9. 10.10.

10.11. 10.12.

10.13. 10.14.

10.15. 10.16.

10.17. 10.18.

10.19. 10.20.

10.21. 10.22.

10.23.

10.24.

10.25. 10.26.

10.27.

10.28.

10.29. 10.30.

10.31.

 

Задача 11. Найти производную.

11.1. 11.2.

11.3. 11.4.

11.5. 11.6.

11.7. 11.8.

11.9. 11.10.

11.11. 11.12.

11.13. 11.14.

11.15. 11.16.

11.17. 11.18.

11.19. 11.20.

11.21. 11.22.

11.23. 11.24.

11.25. 11.26.

11.27. 11.28.

11.29. 11.30.

11.31.

 

Задача 12. Найти производную.

12.1.

12.2.

12.3.

12.4.

12.5.

12.6.

12.7.

12.8.

12.9.

12.10.

12.11.

12.12.

12.13.

12.14.

12.15.

12.16.

12.17.

12.18.

12.19.

12.20.

12.21.

12.22.

12.23.

12.24.

12.25.

12.26.

12.27.

12.28.

12.29.

12.30.

12.31.

 

Задача 13. Найти производную.

13.1. 13.2.

13.3.

13.4.

13.5.

13.6.

13.7.

13.8.

13.9. 13.10.

13.11.

13.12.

13.13.

13.14.

13.15.

13.16.

13.17.

13.18.

13.19.

13.20.

13.21. 13.22.

13.23.

13.24.

13.25. 13.26.

13.27.

13.28.

13.29.

13.30.

13.31.

 

Задача 14. Найти производную.

14.1. 14.2.

14.3.

14.4.

14.5. 14.6.

14.7. 14.8.

14.9.

14.10.

14.11. 14.12.

14.13. 14.14.

14.15. 14.16.

14.17. 14.18.

14.19. 14.20.

14.21. 14.22.

14.23. 14.24.

14.25. 14.26.

14.27.

14.28.

14.29. 14.30.

14.31.

 

Задача 15. Найти производную .

15.1. 15.2.

15.3. 15.4.

15.5. 15.6.

15.7. 15.8.

15.9. 15.10.

15.11. 15.12.

15.13. 15.14.

15.15. 15.16.

15.17. 15.18.

15.19. 15.20.

15.21. 15.22.

15.23. 15.24.

15.25. 15.26.

15.27. 15.58.

15.29. 15.30.

15.31.

 

Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .

16.1. 16.2.

16.3. 16.4.

16.5. 16.6.

16.7. 16.8.

16.9. 16.10.

16.11. 16.12.

16.13. 16.14.

16.15. 16.16.

16.17. 16.18.

16.19. 16.20.

16.21. 16.22.

16.23. 16.24.

16.25. 16.26.

16.27. 16.28.

16.29. 16.30.

16.31.

 

Задача 17. Найти производную -го порядка.

17.1. 17.2.

17.3. 17.4.

17.5. 17.6.

17.7. 17.8.

17.9. 17.10.

17.11. 17.12.

17.13. 17.14.

17.15. 17.16.

17.17. 17.18.

17.19. 17.20.

17.21. 17.22.

17.23. 17.24.

17.25. 17.26.

17.27. 17.28.

17.29. 17.30.

17.31.

 

Задача 18. Найти производную указанного порядка.

18.1. 18.2.

18.3. 18.4.

18.5. 18.6.

18.7. 18.8.

18.9. 18.10.

18.11. 18.12.

18.13. 18.14.

18.15. 18.16.

18.17. 18.18.

18.19. 18.20.

18.21. 18.22.

18.23. 18.24.

18.25. 18.26.

18.27. 18.28.

18.29. 18.30.

18.31.

 

Задача 19. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.

19.1. 19.2.

19.3. 19.4.

19.5. 19.6.

19.7. 19.8.

19.9. 19.10.

19.11. 19.12.

19.13. 19.14.

19.15. 19.16.

19.17. 19.18.

19.19. 19.20.

19.21. 19.22.

19.23. 19.24.

19.25. 19.26.

19.27. 19.28.

19.29. 19.30.

19.31.

Задача 20. Показать, что функция удовлетворяет уравнению (1).

20.1. 20.2.

20.3. 20.4.

20.5. 20.6.

20.7. 20.8.

20.9. 20.10.

20.11. 20.12.

20.13. 20.14.

20.15. 20.16.

20.17. 20.18.

20.19. 20.20.

20.21. 20.22.

20.23. 20.24.

20.25. 20.26.

20.27. 20.28.

20.29. 20.30.

20.31.

 

II. ГРАФИКИ

Теоретические вопросы

2. Условия убывания функции на отрезке. 3. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума. 4. Достаточные признаки максимума и минимума функции (изменение знака первой производной).

Теоретические упражнения

2. Доказать теорему: если функции и дифференцируемы на отрезке и , а , то . Дать геометрическую интерпретацию теоремы. У к а з а н и е. При доказательстве теоремы установить и использовать монотонность функции .

Расчетные задания

Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

1.21. 1.22.

1.23. 1.24.

1.25. 1.26.

1.27. 1.28.

1.29. 1.30.

1.31.

 

Задача 2. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

2.31.

 

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25. 3.26.

3.27. 3.28.

3.29. 3.30.

3.31.

 

Задача 4.

Рыбаку нужно переправиться с острова на остров (рис. 1). Чтобы пополнить свои запасы, он должен попасть на участок берега . Найти кратчайший путь… 4.1. 4.2.