рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica

Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica - раздел Математика, 1. Обзор Возможностей Математических Пакетов Mathcad 2000, Mathlab 5.0, Mathe...

1. Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica

 

Обзор пакета MathCAD 2000.

Введение в MathCAD.

MathCAD – это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования.

MathCAD – математически ориентированные универсальные системы. Помимо собственно вычислений они позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С их помощью можно не только качественно подготовить тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов, дипломных и курсовых проектов, они, кроме того, облегчают набор самых сложных математических формул и дают возможность представления результатов, в изысканном графическом виде [3-4].

 

Входной язык системы MathCAD.

Такой подход значительно облегчает восприятие математической сущности задачи и избавляет пользователя от изучения некоторого промежуточного языка… Разумеется, это не означает, что в системе нет своего языка программирования.… Входной язык MathCAD относится к интерпретирующему типу. Это означает, что когда он опознает какой-либо объект…

Формульный редактор.

Визир указывает место, с которого можно начинать набор формул — вычислительных блоков. Щелчок левой клавиши мыши устанавливает визир на место,… Так, в области формул визир превращается в синий уголок, указывающий…

Наборные панели и шаблоны.

Допустим, требуется вычислить определенный интеграл. Для этого вначале надо вывести панель операторов математического анализа; ее пиктограмма в…  

Работа с символьным процессором.

Возможности символьного процессора (Symbolic)

Введение в систему MathCAD символьных вычислений придает ей качественно новые возможности, которые отсутствовали у прежних версий системы. Куда… Операции, относящиеся к работе символьного процессора, содержатся в подменю… Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны…

Оптимизация вычислений и программирование

Система SmartMath и ее возможности.

Назначение системы SmartMath.

Оператор символьного вывода.

Вначале для визуализации результатов символьных преобразований был введен специальный символ — удлиненная горизонтальная стрелка —>. Ее можно вызвать нажатием клавиш Ctrl+. (точка) или вызовом из палитр математических символов (для ввода отношений и символьных операций). Шаблон этого знака имеет вид • —>, где на месте черного прямоугольника вводится подвергаемое символьному преобразованию исходное выражение.

Указанный символ можно рассматривать как простой оператор символьного вывода. Если задать исходное выражение и вывести курсор из формульного блока с ним, то система помещает результат его символьных преобразований после стрелки (оператора символьного вывода). Это и есть первый этап работы с системой SmartMath [3-4].

Оператор расширенного символьного вывода.

С версии системы MathCAD 7.0 PRO введен еще один расширенный оператор символьного вывода. Он задается нажатием клавиш Ctrl+ Shift+. (точка) или выбором из палитры символьных операций. Этот оператор имеет вид • • —>. В первый шаблон-прямоугольник вводится исходное выражение, а во второй — директивы символьных преобразований. Они будут описаны чуть позже; задаются эти директивы или вводом соответствующих ключевых слов, или из палитры символьных операций.

Кроме того, в один такой оператор можно ввести другой, с тем чтобы получить составной расширенный оператор символьного вывода и место для записи нескольких директив. Это позволяет намечать заданный путь символьных преобразований [3-4].

 

Задание программных модулей.

Программные операторы

Вплоть до появления последних версий системы MathCAD возможности программирования в них были крайне ограниченными. Фактически MathCAD позволяла реализовать лишь линейные программы, в основе которых лежит понятие функции. Функция if и ранжированные переменные в отдельных случаях могли заменить условные выражения и циклы, но с серьезными ограничениями. Отсутствовала возможность задания завершенных программных модулей.

Эти возможности наконец появились в версии MathCAD PLUS 6.0 PRO и в расширенном варианте имеются в описываемой версии MathCAD 2000. Они сосредоточены в наборной панели программных элементов [4].

Обзор программных операторов по [3-4]

Нетрудно заметить, что набор программных элементов для создания программных модулей весьма ограничен. Ниже приводится их перечень.

Оператор Add Line

ОператорAdd Line выполняет функции расширения программного блока. Расширение фиксируется удлинением вертикальной черты программных блоков или их древовидным расширением. Благодаря этому в принципе можно создавать сколь угодно большие программы.

Оператор <-

Оператор <— выполняет функции внутреннего локального присваивания. Например, выражение х <— 123 присваивает переменной х значение 123. Локальный характер присваивания означает, что такое значение х сохраняет только в теле программы. За пределами тела программы значение переменной х может быть неопределенным либо равным значению, которое задается операторами локального: = и глобального = присваивания вне программного блока.

Оператор if

Оператор if является оператором условного выражения. Он задается в виде:

Выражение if Условие

Если Условие выполняется, то возвращается значение Выражения. Совместно с этим оператором часто используются оператор прерыванияbreak и оператор иного выбораotherwise.

Оператор for

Операторfor служит для организации циклов с заданным числом повторений. Он записывается в виде:

For Var e Nmin.. Nmax

• Эта запись означает, что если переменная Var меняется с шагом+ 1 от значения Nmin до значения Nmax, то выражение, помещенное в шаблон, будет выполняться. Переменную счетчика Var можно использовать в выражениях программы.

Оператор while

Оператор while служит для организации циклов, действующих до тех пор, пока выполняется некоторое Условие. Этот оператор записывается в виде:

While Условие

• Выполняемое выражение записывается на место шаблона.

Оператор otherwise

Оператор иного выбораotherwise обычно используется совместно с оператором if. Это поясняет следующая программная конструкция:

f (x): = 1 if х>0 возвращает 1, если х > О

-1 otherwise возвращает -1 во всех иных случаях

Оператор break

Операторbreak вызывает прерывание работы программы всякий раз, когда он встречается. Чаще всего он используется совместно с оператором условного выражения if и операторами цикловwhile и for, обеспечивая переход в конец тела цикла.

Оператор continue

Операторcontinue используется для продолжения работы после прерывания программы. Обычно он применяется совместно с операторами задания цикловwhile и for, обеспечивая после прерывания возврат в начало цикла.

Оператор return

Операторreturn прерывает выполнение программы и возвращает значение своего операнда, стоящего следом за ним. Например, в приведенном ниже случае

return 0 if x<0

будет возвращаться значение 0 при любом х < 0.

Оператор on error

Операторon error является оператором обработки ошибок, позволяющим создавать конструкции обработчиков ошибок. Этот оператор задается в виде:

Выражение_1 on error Выражение_2

Если при выполнении Выражения_1 возникает ошибка, то выполняется Выражение_2. С операторомon error связана функцияerror, которая обычно используется для возврата текстового сообщения об ошибке.

 

Примеры программирования.

Несмотря на столь скромный набор программных средств, они дают системе MathCAD именно те возможности, которые ранее попросту отсутствовали: задание функций с аппаратом локальных переменных, задание различных видов циклов (в том числе вложенных), упрощение алгоритмов с помощью операций присваивания и реализация по классическим алгоритмам итерационных и рекурсивных процедур. Рекомендуется внимательно изучить рис. 12. 10, на котором показана часть этих возможностей [3-4].

Обратите особое внимание на второй пример вычисления факториала. Здесь использовано задание одного программного модуля внутри другого. Вообще говоря, для нескольких подмодулей, которые должны выполняться в составе циклов, надо использовать их объединение в виде жирной вертикальной черты. Для этого, как и для исходного задания блока, служит


Рис. 1.2 Примеры задания программных блоков

командаAdd Line, добавляющая в модуль дополнительную вертикальную черту для подмодуля.

Программный модуль в сущности является функцией, но описанной с применением упомянутых сугубо программных средств. Эта функция может возвращать значение, определяемое последним оператором. Это значит, что после такого модуля, выделенного как целый блок, можно поставить знак равенства для вывода значения функции. В блоке могут содержаться любые операторы и функции входного языка системы. Для передачи в блок значений переменных можно использовать переменные документа, которые ведут себя в блоке как глобальные переменные.

Задание программных модулей позволяет реализовать любые специальные приемы программирования и может служить мощным средством расширения системы путем задания новых функций.

Разумеется, подобные задачи могут в системе MathCAD решаться и без использования в явном виде программных средств. Однако эти средства облегчают решение сложных задач, особенно когда имеется описание их программной реализации на каком-либо языке программирования Тогда несложно перевести реализацию решения задачи с этого языка на язык программирования системы MathCAD [3-4].

Следует также отметить, что система MathCAD допускает расширение путем включения в нее новых функций, написанных на языке Си или Си++. Впрочем, возможности системы настолько широки, что трудно себе представить необходимость в таком кардинальном шаге. Это расширение скорее может оказаться полезным для разработчиков системы, чем для подавляющего большинства ее пользователей [3-4].

 

Обзор пакета MathLAB 5.0.

Введение.

Зарождение системы MATLAB относится к концу 70-х годов, когда первая версия этой системы была использована в Университете Нью Мехико и Станфордском университете для преподавания курсов теории матриц, линейной алгебры и численного анализа. В это время активно разрабатывались пакеты прикладных программ по линейной алгебре LINPACK и EISPACK на языке FORTRAN, и авторы системы MATLAB искали способы использовать эти пакеты, не программируя на языке FORTRAN [13].

Сейчас возможности системы значительно превосходят возможности первоначальной версии матричной лаборатории Matrix Laboratory. Нынешний MATLAB - это высокоэффективный язык инженерных и научных вычислений. Он поддерживает математические вычисления, визуализацию научной графики и программирование с использованием легко осваиваемого операционного окружения, когда задачи и их решения могут быть представлены в нотации, близкой к математической. Наиболее известные области применения системы MATLAB:

· математика и вычисления;

· разработка алгоритмов;

· вычислительный эксперимент, имитационное моделирование, макетирование;

· анализ данных, исследование и визуализация результатов;

· научная и инженерная графика;

· разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя.

MATLAB - это интерактивная система, основным объектом которой является массив, для которого не требуется указывать размерность явно. Это позволяет решать многие вычислительные задачи, связанные с векторно-матричными формулировками, существенно сокращая время, которое понадобилось бы для программирования на скалярных языках типа C или FORTRAN [13].

Версия MATLAB 6.1 - это последнее достижение разработчиков; она содержит существенные изменения и улучшения в каждом разделе, начиная от встроенных математических функций и новых конструкций программирования и заканчивая новыми структурами данных, объектно-ориентированным подходом, новыми средствами визуализации и графическим интерфейсом пользователя.

Одно из назначений математики - служить языком общения между учеными и инженерами. Матрицы, дифференциальные уравнения, массивы данных, графики - это общие объекты и конструкции, используемые как в прикладной математике, так и в системе MATLAB. Именно эта фундаментальная основа обеспечивает системе MATLAB непревзойденную мощь и доступность [13].

Система MATLAB - это одновременно и операционная среда и язык программирования. Одна из наиболее сильных сторон системы состоит в том, что на языке MATLAB могут быть написаны программы для многократного использования. Пользователь может сам написать специализированные функции и программы, которые оформляются в виде М-файлов. По мере увеличения количества созданных программ возникают проблемы их классификации и тогда можно попытаться собрать родственные функции в специальные папки. Это приводит к концепции пакетов прикладных программ (ППП), которые представляют собой коллекции М-файлов для решения определенной задачи или проблемы.

В действительности ППП - это нечто большее, чем просто набор полезных функций. Часто это результат работы многих исследователей по всему миру, которые объединяются в зависимости от области применения - теория управления, обработка сигналов, идентификация и т. п. Именно поэтому пакеты прикладных программ - MATLAB Application Toolboxes, входящие в состав семейства продуктов MATLAB, позволяют находиться на уровне самых современных мировых достижений [13].

Командное окно. Инструментальная панель

Командное окно

Командное окно системы MATLAB показано на рис. 3. Здесь же показано ниспадающее меню File.

Рис. 1.3

С помощью данного меню можно открыть, сохранить в редакторе/отладчике файл; открыть, сохранить МАТ-файл; вывести на печать.

Инструментальная панель

Рис. 1.4 Слева направо:

Программирование в среде Matlab 5.

· Создать M-файл, используя текстовый редактор: function c = myfile(a, b) c = sqrt((a.^2)+(b.^2))

Обзор пакета Mathematica.

Введение.

Система Mathematica, созданная лет десять тому назад в своих последних версиях (Mathematica 4.0/5.0/6.0) имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. Все так называемые элементарные функции и огромное количество неэлементарных. Алгебраические и логические операции. По сути дела все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики ведущего технического вуза заложены в память компьютерной системы Mathematica. Это значит, что большинство упражнений из курса высшей математики может быть решено с помощью всего лишь одной команды. Действительно, все упражнения из линейной алгебры (включая такие нетривиальные вещи как приведение квадратичных форм к каноническому виду, приведение линейного оператора к жордановой форме). Все упражнения из анализа, теории дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных). С помощью системы Mathematica можно вычислять интегралы (определенные и неопределенные), решать дифференциальные уравнения (численно и аналитически). Кроме того, Mathematica не только дает окончательный ответ, но может описать промежуточные вычисления (например, разложение правильной рациональной функции в сумму элементарных дробей, что требуется при интегрировании рациональных функций) [13].

Mathematica имеет мощный графический пакет. С ее помощью можно строить графики очень сложных функций одного и двух переменных.

Сверх всего этого Mathematica решает задачи, известные только специалистам. Например, задачу Вороного. В этой задаче дано N точек на плоскости

P1, P2, ..., Pn и требуется разбить плоскость на многоугольники

S1, S2, ..., Sn так, чтобы

Sk=( X | r (X, Sk)< r (X, Sl), l≠k ).

По-прежнему задача решается одним нажатием клавиши.

Упомянем еще о некоторых преимуществах системы Mathematica.

Наберем на дисплее 1000! и нажмем клавишу Enter. Сразу же на экране появятся цифры. Их будет много, они займут весь экран. Придется прокрутить экран, прежде чем достигнем конца этой последовательности цифр. Таков результат вычисления тысяча факториал. Очень впечатляет. Можно взять и 10000!. Mathematica может работать с числами сколь угодно большими. (Заметим, что во многих компьютерных языках для действия с большими числами нужно предпринять дополнительные меры) [13].

Рассмотрим подробнее некоторые возможности пакета Matematica.

 

Основные возможности.

Арифметика.

Знакомство с работой Математики начнем с выполнения простейших арифме-тических вычислений. Вот какую команду следует ввести с клавиатуры, чтобы сложить 35 и 21:

35 + 21

А вот какую команду, чтобы вычесть 21 из 35:

35 - 21

Для того, чтобы умножить 35 на 21, можно ввести выражение 35*21 или выражение 35 21, в котором числа 35 и 21 разделены пробелом

35*21

Для того, чтобы разделить 35 на21, следует ввести выражение 35/21

Здесь уместно заметить, что Математика поддерживает формат рациональных чисел, сколь бы велики ни были числитель и знаменатель несократимой дроби, т.е. рациональное число не переводится в десятичную дробь. Чтобы найти (приближенное) выражение рационального числа в виде десятичной дроби, следует выполнить команду

N[35/21]

По умолчанию, команда N выводит на экран 6 значащих цифр результата. Если требуется больше цифр, то нужно изменить предыдущую команду, указав, сколько значащих цифр надо вывести на экран:

N[35/21, 17]

Возведение в степень выполняется с помощью команды 35^21:

35^21

Все цифры результата верные, сколь бы ни были велики основание и показатель степени, если они целые числа. Рассмотренные арифметические операции можно производить и с рациональными числами

5/7 + 3/5

Арифметические вычисления в формате вещественных чисел, в отличие от вычислений в формате целых и рациональных чисел, приближенные, как в обычном калькуляторе, но с той существенной разницей, что пользователь может задавать любое количество значащих цифр вещественного числа. Вещественные числа представляются в виде a.b, где a - целая часть, а b - дробная часть числа, разделенные точкой, а не запятой:

22.6457543/32.2360755

Если производятся арифметические операции над числами, одно из которых вещественное, то результат вычисляется приближенно и представляется как вещественное число

Для того, чтобы ввести более сложные арифметические выражения, можно воспользоваться круглыми (и только круглыми) скобками:

((5/7)^5 + 7)^3

Извлечь квадратный корень из числа k можно, либо вычислив выражение Sqrt[k]. Cледует помнить, что если k целое или рациональное число, то вычисление произойдет только в случае, когда k точный квадрат целого или рационального числа:

Sqrt[529]

Если попытаться вычислить, например,

Sqrt[2]

то вычисления не произойдет, так как "Математика" сохраняет формат чисел в процессе вычислений. Это позволяет проводить в "Математике" символьные вычисления:

Для того, чтобы вычислить приближенно, следует снабдить число 2 точкой, т.е. перейти к вещественным числам

Sqrt[2.]

или прибегнуть к помощи команды N:

N[Sqrt[2]]

Для некоторых часто встречающихся в математических преобразованиях иррациональных чисел в "Математике" закреплены специальные обозначения. Так, число p обозначено через Pi. Естественно, что можно узнать любое число знаков у p

N[Pi, 100]

Алгебра.

Solve[x^3 + a x + b == 0, x] Ответ записан в виде заключенных в фигурные скобки трех выражений. Каждое… Solve[x^5 + x - 1 == 0, x]

Анализ.

int=Integrate[a*x^5/Sqrt[x^3-1],x ] Проверим правильность полученного ответа дифференцированием difint = D[int, x]

Численные методы.

Sin[0.7] BesselJ[0, 1. + 0.5 I] Команды символьных вычислений Sum,Integrate, DSolve и т.п. имеют своих двойников NSum, NIntegrate, NDSolve и т.д.,…

Формульный редактор.

Визир указывает место, с которого можно начинать набор формул — вычислительных блоков. Щелчок левой клавиши мыши устанавливает визир на место,… Так, в области формул визир превращается в синий уголок, указывающий…

Наборные панели и шаблоны.

Допустим, требуется вычислить определенный интеграл. Для этого вначале надо вывести панель операторов математического анализа; ее пиктограмма в…  

Работа с символьным процессором

Возможности символьного процессора (Symbolic)

Введение в систему MathCAD символьных вычислений придает ей качественно новые возможности, которые отсутствовали у прежних версий системы. Куда… Операции, относящиеся к работе символьного процессора, содержатся в подменю… Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны…

Задание к лабораторной работе №1.

1. Построить график функции на заданном интервале.

2. Вычислить значения функции на том же интервале с шагом 0,5.

3. Вычислить определённый интеграл на интервале.

4. Используя символьный процессор пакета MathCAD, продифференцировать данную функцию.

Таблица 2.1.

Варианты заданий.

№ вар Функция f(x). Интервал № вар Функция f(x). Интервал
[-3,6] [-4,2]
[-4,5] [0, 4]
[-2π, 2π] [-π, π]
[-π, 2π] [-5,0]
[-3,4] [-2,4]
[-π, π] [-2π, π]
[0,6] [3,8]
[-3,3] [0,5]
[-2.5,3.5] [-π/2,2π]
[-3,1] [0, 2π]

 

2.2. Лабораторная работа №2.

Анализ точности вычислительных процессов.

Общая формула для оценки главной части погрешности.

а) Погрешность задачи. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в… б) Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом решения… в) Погрешность округлений (погрешность действий). Этот тип по­грешностей обусловлен необходимостью выполнять…

Графы вычислительных процессов.

С этой целью мы будем, изображать последовательность операций в вычислении с помощью так называемого графа и будем писать около стрелок графа… На рис. 2.1 изображен граф вычи­слительного процесса u = (х + у)*z. Граф… Рис. 2.1. Граф вычислительного процесса u = (х + у)*z.

Вычитание

Если выполняется операция ala2, то соответствующие стрелки получают коэффициенты a1/(a1 - a2) a1/(a1 - a2).

Умножение

Обе стрелки, входящие в кружок умножения, получают коэффициент +1.

Деление

Смысл всех этих коэффициентов следующий: относительная ошибка результата любой операции (круж­ка) входит в результат следующей операции, умножаясь… В качестве примера можно рас­смотреть рис. 2.2, который отли­чается от 2.1… Предположим, что три исход­ные величины на рис. 2.1 имеют относительные ошибки округления, равные соответственно ix,…

Задание.

Для заданных функций двух переменных требуется:

1) найти абсолютную и относительную погрешности функции Z, считая верными все знаки приближённых чисел x и y, применяя основную формулу теории погрешностей.

2) Построить граф вычислительного процесса и по нему произвести оценку степени влияния каждого из аргументов на выходную погрешность.

3) Считая, что функция Z задана с точностью до k десятичных знаков после запятой, найти допустимую погрешность приближённых величин x и y на основе принципа равных влияний.

Таблица 2.2.

Варианты заданий.

№ вар. Вид ф-ии Z=f(x,y) Знач X Знач у k № вар. Вид ф-ии Z=f(x,y) Знач x Знач у k
2,15 3,52 3,28 1,56
6,41 3,83 2,62 3,58
2,65 3,22 1,63 2,56
1,23 2,31 0,63 1,48
1,56 2,32 2,65 3,49
2,31 3,73 1,53 2,47
Продолжение табл. 2.2.
№ вар. Вид ф-ии Z=f(x,y) Знач X Знач у k № вар. Вид ф-ии Z=f(x,y) Знач x Знач у k
2,65 3,23 3,25 4,13
3,81 2,23 2,23 3,12
5,63 3,38 2,12 3,15
2,37 3,28 3,12 2,29

 

Лабораторная работа № 3.

Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

2.3.1. Приближённое решение уравнения f(x) = 0 методом деления пополам (методом бисекций). Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения f(x)… Опишем один шаг итераций. Пусть на (n-1)-м шаге найден отрезок [an-1,bn-1]Ì[a,b], такой, что f(an-1)f(bn-1)…

Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода бисекций.

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0 (т.е. найти отрезок [a,b], на котором функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши).

2. Написать функцию вычисления корня уравнения f(x) = 0, найти корень уравнения.

 

Метод простых итераций.

Теорема. Пусть функция j(x) определена и дифференцируема на [a,b], причём все её значения j(x)Î[a,b]. Тогда, если существует число q, такое,… , , xÎ [a,b]. При этом, если на отрезке [a,b] производная j¢(x) положительна, то

Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода простых итераций.

1. Преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду x = j(x) так, чтобы в некоторой окрестности [a,b] корня x производная j¢(x) удовлетворяла условию… 2. Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке [a,b]. 3. Используя пакет MathCAD, написать функцию для нахождения корня уравнения.

Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона

2. Выбрать начальное приближение корня x0Î[a,b] так, чтобы f¢(x0)f²(x0)>0. 3. Оценить снизу величину , оценить сверху величину . 4. По заданному e0 выбрать значение e для условия окончания итерационного процесса .

Варианты заданий к лабораторной работе.

№ варианта f(x) № варианта f(x)

 

 

2.4. Лабораторная работа № 4.

Ускоренные методы решения нелинейных уравнений.

 

Для того чтобы ускорить процесс сходимости метода простых итераций (МПИ) для решения нелинейных уравнений применяют последовательности, получаемые с помощью несложных арифметических манипуляций над несколькими членами последовательности , k = 0,1,2,…. Где - функция, связанная с f(x) таким образом, что последовательность сходится к единственному корню уравнения f(x) [1].

Для всех таких методов характерны многошаговость, экономичность (поскольку более быстрая сходимость по сравнению с базовой достигается без дополнительного вычисления значений функций), а также сложность исследования условий и скорости сходимости. Отсюда – отсутствие эффективных априорных оценок погрешностей. Возможны ситуации, когда новый метод окажется сходящимся, в то время как базовый для него МПИ расходится.

Рассмотрим два таких метода ускорения сходимости последовательности . Наличие неподвижной точки ξ и дифференцируемость функции φ(x) далее всюду предполагается [1].

 

2.4.1. Метод Эйткена (Δ2 – процесс Эйткена).

Пусть - последовательность, получаемая по формуле

(2.8)

И при условии её сходимости корень уравнения равен (с учётом погрешности)

(2.9),

тогда вычитая (2.8) из (2.9), имеем

а уменьшив здесь индекс на единицу, получаем

.

К правым частям этих равенств применим формулу Лагранжа, согласно которой найдутся точки ck и ck-1 такие, что

и

.

Таким образом, имеют место следующие связи между ошибками соседних приближений:

,

Предположим, что в той окрестности корня ξ, в которой находятся точки xk-1 и xk, производная меняется не очень быстро. Это допущение позволяет считать, что

, где η – некоторое число,

и значит,

, .

Беря отношение этих приближённых равенств, избавляемся от η:

, (2.10)

и разрешаем полученное приближённое уравнение относительно ξ:

.

Последнее выражение можно использовать на завершающем этапе применения метода простых итераций, чтобы получить более точное приближение к корню ξ с помощью трёх последних членов последовательности . В развитие метода обозначим правую часть этого приближённого равенства через и придадим его выражению другой вид:

.

Более коротко это записывается так:

, (2.11)

где - так называемые конечные разности первого и второго порядков соответственно. Отсюда название (2.11) Δ2 – преобразованиеили Δ2 – процесс Эйткена[1].

Примером реализации такого метода может служит следующий алгоритм.

Δ2 – алгоритм Эйткена

Шаг 0. Ввод x0 (начального приближения), φ(x) (исходной функции), q (оценки модуля производной), ε (допустимой абсолютной погрешности).

Шаг 1. Вычисление значений .

Шаг 2. Δ2 – ускорение: .

Шаг 3. Вычисление контрольного значения: .

Шаг 4. Проверка на точность: если , то положить , вычислить и вернуться к шагу 2.

Шаг 5. Положить (с точностью до ε).

Применяя метод Эйткена, не следует забывать о проблеме своевременного прерывания счёта из-за потерь точности при вычитании близких чисел. Подключение Δ2 – ускорения на ранней стадии МПИ, когда x0 далеко от ξ, может привести к расходимости процесса, по крайней мере, в случае, когда [1].

 

 

Метод Вегстейна.

Пусть уже найдены: - элемент строящейся здесь последовательности, и - точка, соответствующая одному шагу МПИ, применённого к точке . Независимо от… Рис. 2.5, 2.6. К построению метода Вегстейна.

Алгоритм Вегстейна.

Шаг 1. Вычислить ; положить . Шаг 2. Вычислить . Шаг 3. Проверить на точность: если , то вычислить ; переприсвоить значения и вернуться к шагу 2.

Метод Чебышева.

Геометрически точка касания n-го порядка является предельным положением (n+1)… При таком выборе параметров ξ, A1, A2, …, An за приближённое значение искомого корня можно принять абсциссу точки…

Метод Данко.

(2.18) имеющая с кривой y = f(x) в точке с абсциссой x0 (a<x0<b) касание n-го… Из условия касания находим это приближённое значение:

Порядок выполнения работы.

1. Отделить графически корень уравнения.

2. Задать начальное приближение.

3. Составить программу вычисления корня уравнения.

4. Найти корень уравнения.

5. Сравнить результаты, полученные различными методами.

Таблица 2.4

Варианты заданий.

№ вар. f(x) № вар. f(x)
       
      Продолжение табл. 2.4
№ вар. f(x) № вар. f(x)

 

2.5. Лабораторная работа №5.

Решение систем нелинейных уравнений.

 

Метод простых итераций.

или в более краткой векторной форме f(x) = 0,

Метод Ньютона.

или в векторной форме f(x) = 0,

Метод наискорейшего спуска.

Из функций f и g системы образуем новую функцию . (2.22) Так как эта функция неотрицательна, то найдётся точка (и не единственная) такая, что

Задание.

Найти решение системы .

Порядок выполнения работы.

1. Найти нулевое приближение решения.

2. Составить программы решения системы уравнений различными методами.

3. Провести вычисления.

Таблица 2.5

Варианты заданий.

№ вар. Система уравнений № вар. Система уравнений
       
      Продолжение табл. 2.5
№ вар. Система уравнений № вар. Система уравнений

Лабораторная работа № 6.

Методы аппроксимации и интерполяции функций.

 

Аппроксимация с помощью кубического сплайна.

Пусть имеется некоторая кривая f(x), а для неё известен набор опорных точек xi, yi (i=0..n), где n - количество интервалов между ними. На каждом… (2.26) Для n интервалов необходимо найти 4*n неизвестных, поскольку для каждого интерполирующего сплайна Sj вычисляются…

Задание.

Вычислить значения заданной функции f(x) в узлах интерполяции xi = a + h(i – 1), i = 1, 2, …, N, на отрезке [a,b]. По вычисленной таблице построить интерполяционный кубический сплайн S(x), вычислить его значения в промежуточных точках xj = a + h/2 + h(i – 1). Сравнить вычисленные значения с точными значениями функции в точках xj. Построить график f(x) и S(x).

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Вычислить xi, f(xi) на заданном промежутке.

2. С помощью программы Spline вычислить сплайн-коэффициенты.

3. При помощи функции Function вычислить значения кубического сплайна в узлах интерполяции.

4. Построить графики f(x) и S(x) (по значениям сплайна).

5. Сравнить результаты.

Таблица 2.6

Варианты заданий.

Вариант N [a, b] f(x) Вариант N [a, b] f(x)
[0, 2] [0, 2]
[0, 5] [0, 4]
[0, 5] [0, 4]
[-2, 2] [-1, 3]
[3, 6] [1, 100]
[0, 5] [0, 4]
[-1, 4] [0, 4]
[1, 5] [0, 5]
[-1, 5] [0, 5]
               
          Продолжение табл. 2.6
Вариант N [a, b] f(x) Вариант N [a, b] f(x)
[0, 5] [1, 5]
[1, 5] [0, 6]
[0, 3] [0, 2]
[0, 2] [-1, 4]
[-1, 1] [-2, 2]
[2, 10] [1, 2]

Тригонометрическая интерполяция.

. Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении… (2.58)

Задание.

Построить интерполяционный тригонометрический многочлен, аппроксимирующий функцию f(x), заданную таблицей значений в точках (i=1, 2, ..., 2N+1).

С помощью полученного полинома вычислить значение функции и в точках(i=1, 2, ..., 2N+1) (это уже предусмотрено в функции).

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Задать массив значений функции f(x) в соответствии с вариантом.

2. Провести вычисления.

3. Построить график аппроксимированной функции.

Варианты заданий.

Построить интерполяционный тригонометрический полином, аппроксимирующий функцию, заданную в точках (i=1, 2, ..., 21) таблицей значений.

Таблица 2.7

Варианты заданий.

Вариант f(x)
1.00; 1.803; 3.085; 4.778; 6.434; 7.347; 7.027; 5.652; 3.897; 2.381; 1.347; 7.422; 0.419; 0.256; 0.176; 0.142; 0.136; 0.155; 0.209; 0.324; 0.554
7.38; 6.76; 5.22; 3.47; 2.07; 1.16; 0.64; 0.36; 0.23; 0.16; 0.13; 0.13; 0.16; 0.23; 0.37; 0.64; 1.16; 2.08; 3.48; 5.22; 6.76
-1.24; -1.17; -1.08; -0,96; -0.84; -0.79; -0.8; -0.9; -1.1; -1.21; -1.02; -1.28; -1.32; -1.34; -1.36; -1.37; -1.37; -1.36; -1.35; -1.33; -1.30
-3.0; -3.58; -4.12; -5.56; -4.86; -4.99; -4.94; -4.73; -4.36; -3.86; -3.30; -2.7; -2.13; -1.64; -1.26; -1.05; -1.00; -1.13; -1.43; -1.87; -2.43
1.0; 1.05; 90.6; 520.4; 1714.7; 2915.0; 2439.2; 1020.6; 230.7; 32.17; 3.29; 0.3; 0.03; 0.004; 0.001; 0.0003; 0.0006; 0.002; 0.01; 0.09; 0.9
2980.1; 2089.3; 742.4; 146.6; 18.6; 1.8; 0.16; 0.02; 0.003; 0.001; 0.001; 0.001; 0.002; 0.003; 0.018; 0.9; 1.22; 18.6; 146.6; 742.5; 2089.7
1.0; 1.34; 1.75; 2.18; 2.53; 2.71; 2.65; 2.37; 1.97; 1.54; 1.16; 0.86; 0.64; 0.5; 0.42; 0.37; 0.36; 0.39; 0.45; 0.56; 0.74
2.71; 2.6; 2.28; 1.86; 1.44; 1.07; 0.8; 0.46; 0.42; 0.4; 0.37; 0.37; 0.4; 0.48; 0.6; 0.8; 1.07; 1.44; 1.86; 2.28; 2.6
-1.32; -1.28; -1.26; -1.24; 1.25; -1.25; -1.25; -1.26; -1.27; -1.29; -1.29; -1.33; -1.34; -1.37; -1.37; -1.37; -1.37; -1.36; -1.36; -1.35; -1.34
-4.0; -4.2; -4.5; -4.7; -4.9; -5.0; -4.9; -4.8; -4.6; -4.4; -4.1; -3.8; -3.5; -3.0; -3.0; -3.0; -3.1; -3.2; -3.4; -3.7
1,0; 2,4; 5.4; 10.4; 16.3; 19.9; 18.6; 13.4; 7.7; 3.6; 1.6; 0.64; 0.27; 0.13; 0.07; 0.05; 0.05; 0.06; 0.09; 0.18; 0.4
20.0; 17.5; 11.9: 6,4; 2.9; 1.2; 0.5; 0.2; 0.1; 0.06; 0.05; 0.05; 0.06; 0.1; 0.5; 1.0; 1.2; 2.9; 6.4; 11.9; 17.5
-1.1; -0.8; -0.3; 0.3; 0.7; 0.8; 0.7; 0.5; 0.04; -0.6; -0.9; -1.1; -1.27; -1.32; -1.35; -1.37; -1.37; -1.36; -1.34; -1.3; -1.2
-2.0; -2.8; -3.7; -4.3; -4.7; -4.9; -4.9; -4.5; -4.1; -3.3; -2.4; -1.5; -0.6; -0.04; -0.6; 0.92; 0.99; 0.79; 0.34; -0.3; -1.1
1.1; 3.2; 9.5; 22.8; 41.4; 53.9; 49.4; 31.9; 15.2; 5.7; 1.8; 0.55; 0.17; 0.06; 0.03; 0.02; 0.01; 0.02; 0.04; 0.1; 0.3
-0.78; -1.22; -1.34; -1.39; -1.42; -1.43; -1.42; -1.41; -1.37; -1.3; -1.1; -0.1; 1.1; 1.2; 1.33; 1.36; 1.37; 1.35; 1.3; 1.17; 0.65
54.5; 45.7; 27.2; 12.1; 4.3; 1.3; 0.4; 0.13; 0.05; 0.03; 0.02; 0.02; 0.03; 0.05; 0.13; 0.41; 1.3; 4.3: 12.1; 21.2; 45.7
-0.78; 0.18; 0.89; 1.13; 1.21; 1.24; 1.23; 1.18; 1.04; 0.63; -0.38; -1.01; -1.22; -1.3; -1.35; -1.36; -1.37; -1.36; -1.33; -1.27; -1,1
-1.0; -2.1; 3.2; -4.1; -4.7; -4.9; -4.8; -4.4; -3.7; -2.7; -1.6; -0.4; 0.7; 1.7; 2.4; 2.9; 3.0; 2.7; 2.1; 1.2; 0.2
   
  Продолжение табл. 2.7
Вариант f(x)
1.0; 4.36; 16.7; 49.8; 105.0; 146.3; 130.9; 75.9; 30.0; 8.75; 2.1; 0.47; 0.11; 0.03; 0,01; 0.007; 0.006; 0.009; 0.02; 0.05; 0.2
148.4; 118.8; 62.6; 22.5; 6.21; 1.45; 0.33; 0.08; 0.02; 0.01; 0.007; 0.007; 0.01; 0.02; 0.08; 0.32; 1.45; 6.2; 22.6; 62.2; 119.0
0.0; 0.97; 1.23; 1.32; 1.36; 1.37; 1.36; 1.34; 1.28; 1.13; 0.64:-0.64; -1.13; -1.28; -1.34; -1.37; -1.36; -1.32; -1.23; -0.9; -0.2
-0.0001; -1.47; -2.8; -3.9; -4.65; -4.98; -4.87; -4.33; -3.4; -2.16; -0,74; 0.74; 2.17; 3.14; 4.33; 4.87; 4.98; 4.65; 3.9; 2.8; 1.4
1.0; 5.8; 29.3; 108.9; 266.4; 396.7; 347.1; 180.5; 59.2; 13.5; 2.4; 0.4; 0.07; 0.01; 0.005; 0.003; 0.002; 0.004; 0.009; 0.03; 0.1
403.4; 309.0; 142.2: 42.1; 8.9; 1.56; .0.26; 0.05; 0.01; 0.0044; 0,0026; 0.0026; 0.0044; 0.01; 0.05; 0.263; 1.56; 8.95; 42.1; 142.2; 309.9
0.78; 1.22; 1.34; 1.39; 1.42; 1.43; 1.42; 1.41; 1.37; 1.3; 1.1; 0.1; -1.1; -1.2; -1.33; -1.36; -1.37; -1.35; -1.3; 1,17; -0.65
1.0; -0.77; -2.3; -3.6; -4.6; -4.9; -4.8; -4.1; -3.1; -1.6; 0.1; 1.9; 3.6; 5.1; 6.2; 6.84; 6.98; 6.58; 5.69; 4.4; 2.7
1.0; 7.8; 51.5; 238.1; 675.9; 1075.4; 920.1; 429.3; 110.8; 20.8; 2.83; 0.35; 0.04; 0.01; 0.002; 0.001; 0.001; 0.004; 0.02; 0.12
1.10; 1.32; 1.40; 1.43; 1.45; 1.46; 1.44; 1.42; 1.37; 1.25; 0.76; -0.8; -1.22; -1.33; -1.36; -1.37; -1.35; -1.29; -1.1; -0.1
2.0; -0.06; -1.9; -3.4; -4.9; -4.8; 4.0; -2.7; -1.1; 0.95; 3.0; 5.0; 6.7; 8.1; 8.8; 8.9; 8.5; 7.47; 5.94; 4.06

 

2.7. Лабораторная работа №7.

Решение задачи минимизации функции n переменных.

 

Метод градиентного спуска.

Как правило, численные методы отыскания экстремума состоят в построении последовательности векторов {х(k)}, удо­влетворяющих условию… (2.60) где p(k) – направление спуска; ak – длина шага в этом направлении.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Составить подпрограмму вычисления градиента целевой функции f(x, y).

2. С помощью подпрограммы Minim минимизировать целевую функцию f(x, y).

3. Сравнить с результатом, полученным с помощью стандартной функции MathCAD.

Таблица 2.8

Варианты заданий.

Минимизировать функцию методом градиентного спуска.

№ вар. a b c d № вар. a b c d
1.0 -1.4 0.01 0.11 16.0 0.0 1.99 0.26
2.0 -1.3 0.04 0.12 17.0 0.1 2.56 0.27
3.0 -1.2 0.02 0.13 18.0 0.2 2.89 0.28
4.0 -1.1 0.16 0.14 19.0 0.3 3.24 0.29
5.0 -1.0 0.25 0.15 20.0 0.4 3.81 0.30
6.0 -0.9 0.36 0.16 21.0 0.5 4.00 0.31
7.0 -0.8 0.49 0.17 22.0 0.6 5.02 0.32
8.0 -0.7 0.64 0.18 23.0 0.7 4.84 0.33
9.0 -0.6 0.8 0.19 24.0 0.8 5.29 0.34
10.0 -0.5 0.94 0.20 25.0 0.9 5.76 0.35
11.0 -0.4 1.00 0.21 26.0 1.0 6.25 0.36
12.0 -0.3 1.21 0.22 27.0 1.1 6.76 0.37
13.0 -0.2 1.44 0.23 28.0 1.2 6.98 0.38
14.0 -0.1 1.69 0.24 29.0 1.3 7.29 0.39
15.0 -0.0 1.96 0.25 30.0 1.4 8.41 0.40

 

2.7.2. Решение задачи минимизации функции без ограничений методом сопряжённых градиентов.

В предыдущем методе задача минимизации функции без ограничений решалась методом наискорейшего спуска, который, однако, как и другие градиентные методы, медленно сходится в тех случаях, когда поверхности уровня функции f(х) сильно вытянуты. Этот факт известен в литературе как «эффект оврагов». Суть эффекта в том, что небольшие изменения одних переменных приводят к резкому изменению значений функции – эта группа переменных характеризует «склон оврага», а по остальным переменным, задающим направление «дна оврага», функция меняется незначительно. На рис. 2.8 изображены линии уровня «овражной» функции двух переменных. Для овражных функций траектория градиентного метода, как видно из рис. 2.8, харак­теризуется довольно быстрым спуском на «дно оврага», и затем медленным зигзагообразным движением в точку минимума. Например, для минимизации «овражной» функции

программе Minim потребовалось совершить более 100 итераций. Спуск начинался из точки (0.1; 0.1) с начальным шагом a = 1 и e = 0.000001. Такое число итераций очень велико, особенно если учесть, что мини­мум функции f(x1, х2) находится в точке (1, 1), т. е. совсем недалеко от начально­го приближения. Применение в таких случаях метода сопряженных градиентов позволяет существенно ускорить проце­дуру поиска минимума. Метод сопряжен­ных градиентов обладает замечательным свойством: положительно определенная квадратичная форма п переменных минимизируется методом сопряженных градиентов не более чем за п шагов. Метод успешно применяется для минимизации и неквадратичных функций п пере­менных, так как в окрестности экстремума любая гладкая функция мало отличается от квадратичной. Конечно, в этом случае для достижения точного минимума потребуется бесконечное число шагов. Здесь для минимизации функции нескольких переменных принят вариант метода сопряженных градиентов, предложенный Флетчером и Ривсом. Опишем алгоритм Флетчера—Ривса [10].

1. Вычисляем S0 = - grad f(x0) в точке x0.

2. На k-м шаге (k = 1, 2, ...) решаем задачу минимизации по а функции f(xk+aSk), в результате чего определяем величину шага ak и точку хk+1k+akSk.

3. Вычисляем величины f(xk+1) и grad f(xk+1).

4. Если ||grad f(xk+1)|| < e, то точка xk+1 – решение задачи, в противном случае определяем коэффициент bk по формуле

Здесь I – множество индексов I = {0, п, 2п, Зп, ...}. Значения k, для которых bk = 0, называют моментами обновления метода. Таким образом, обновление метода происходит через каждые n шагов.

5. Вычисляем Sk+1 no формуле

При обновлении процесс повторяют с п. 1, в противном случае – с п. 2.

Задание.

Написать программу минимизации и минимизировать заданную целевую функцию.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Выбрать значение начального приближения для x.

2. Составить подпрограмму вычисления grad f(x).

3. Написать программу минимизации целевой.

4. Провести вычисления.

 

 

Таблица 2.9

Варианты заданий.

Вар. f(x, y) Вар. f(x, y)
   
   
  Продолжение табл. 2.9
Вар. f(x, y) Вар. f(x, y)
         

 

Минимизация функции методом Нелдера-Мида.

Методы минимизации, не требующие вычисления производных, называются методами поиска [10]. Как правило, при решении задач нелинейного программирова­ния без ограничений… В данной лабораторной работе для минимизации целевой функции используется метод Нелдера—Мида. Основу стра­тегии…

Порядок выполнения лабораторной работы.

2. Составить программу-функцию для нахождения экстремума целевой функции методом Нелдера-Мида. 3. Провести вычисления. Таблица 2.10

Метод Эйлера.

В методе Эйлера величины уi вычисляются по формуле (2.62) Этот метод относится к группе одношаговых методов, в которых для расчета точки (xi+1; .yi+1) требуется информация…

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Составить подпрограмму вычисления правых частей уравнений системы (используя пример).

2. Произвести вычисления для заданного варианта.

 

Метод Рунге-Кутта.

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближённых значений у1, у2,…,yn решения уравнения в точках x1, x2,..., xn. Точки x1, x2,...,… Методом Рунге—Кутта в литературе обычно называют од­ношаговый метод четвертого… (2.64)

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Составить программу для решения задачи Коши методом Рунге-Кутта.

2. Составить подпрограмму вычисления правых частей системы уравнений.

3. Произвести вычисления и вывод результата.

Таблица 2.11

Варианты заданий.

Вариант f1(x, y1, y2) f2x, y1, y2) y1(a) y2(a) a b
-1
0.5 1.5
-1
0.2 -1
0.5 -0.5
-0.6
-1
0.5 1.2
0.8 3.5
-1
-3
-2 -1
-1
-2
-1
-1
        Продолжение табл. 2.11
Вариант f1(x, y1, y2) f2x, y1, y2) y1(a) y2(a) a b
0.7 -0.5
0.2
-1
-2 -1
-5

2.9. Расчётно-графическое задание. Требования и примерные варианты.

Содержание расчётно-графического задания выдаётся преподавателем индивидуально каждому студенту академической группы и может варьироваться для различных групп студентов. Задание содержит шесть задач различного уровня сложности.

При выполнении задания следует руководствоваться правилами и рекомендациями, как и в случае выполнения типового расчёта по математике, а именно:

· научиться применять основные положения теории при решении стандартных, типовых задач;

· приобрести навык решения нестандартных задач при выполнении теоретических упражнений;

· аккуратно и правильно оформлять результаты работы;

· закрепить основные положения темы в целом при подготовке к защите задания.

Расчётно-графическое задание по курсу «Вычислительная математика» введено для лучшего усвоения курса и повышения результативности самостоятельной работы.

Время выдачи и защиты задания указано в графике самостоятельной работы.

При выполнении расчётно-графического задания следует приводить предварительно аналитические выражения и формулы с необходимыми пояснениями относительно точности сходимости вычислительных процессов, реализующих данные формулы. На заключительном (расчётном этапе) пользование программно-инструментальными средствами представляется разумным.

Ниже приводится возможный вариант расчётно-графического задания и рассматривается решение одной из задач.

Таблица 2.12

Типовой пример задания.

№ задачи Содержание задачи Вид аналитического выражения Точность приближения Доп. требования
Разложить по формуле Тейлора заданную функцию: а) Выбрать точку разложения; б) определить радиус сходимости; в) определить число членов ряда, необходимое для вычисления f(x) с заданной точностью; г) произвести экономизацию степенного ряда, вычисляющего f(x) с точностью ε2. Полином Чебышева третьего порядка
Вычисление комплексных корней Найти границы существования корней
      Продолжение табл. 2.12
№ задачи Содержание задачи Вид аналитического выражения Точность приближения Доп. требования
Нахождение корней методом обратного интегрирования Отделить корни графически
Разложение функции в цепные дроби
Приближение кривых методом наименьших квадратов
Методы прогноза и коррекции. Метод Милна y(0)=1 y|(0)=0

Решение одной из задач.

Поскольку ЭВМ способна непосредственно вычислять только функции, содержащие арифметические операции (полиномы, дробно-рациональные функции,… В нашем примере с помощью арифметических операций невозможно вычислить только… ,

Экономизация.

В нашем случае наибольшая погрешность возникает на правой границе интервала приближения функции, с другой стороны полиномы Чебышева действуют на… Замечание. Если вычисление необходимо произвести на более широком интервале… Из формулы (2.65) и условий задачи оценим методическую погрешность, с которой необходимо вычислять функцию sin(x).

К лабораторной работе №2. Анализ точности вычислительных процессов.

Рис. 3.1. Граф вычислительного процесса.

 

К лабораторной работе №3. Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

· Отделяем корень графически. Рис. 3.2.

К лабораторной работе №4. Ускоренные методы решения нелинейных уравнений.

 

 

К лабораторной работе №5. Решение систем нелинейных уравнений.

К лабораторной работе №6. Методы аппроксимации и интерполяции.

Моделирование сплайн-интерполяции.

Функция Spline реализует алгоритм вычисления сплайн-коэффициентов с учётом граничного условия А. Результатом вычисления является матрица… Функция Function(x) вычисляет для заданного x значения сплайна.

К лабораторной работе №7. Решение задачи минимизации функции n переменных.

Минимизация функции с помощью метода градиентного спуска.

Minim (f, xy, grad, k, h, eps), где

f – исходная функция,

xy – вектор с координатами x и y,

grad – подпрограмма, вычисляющая координаты градиента,

k – число итераций,

h – шаг,

eps – погрешность.

Пример.

Минимизировать функцию .

В качестве приближения х(0) выберем точку (0, 0) и положим e = 0.0001. Программа имеет вид:

Как видно из вычислений, алгоритм успешно сработал и значения, полученные с помощью программы Minim и стандартной функции минимизации сходятся вплоть до 4-го десятичного знака.

3.7. К лабораторной работе №8. Приближённое решение задачи Коши.

Решение задачи Коши методом Эйлера.

Пример.Решить задачу Коши

методом Эйлера с шагом h = 0.1 на отрезке [0; 3].

где a, b – границы отрезка,

y – начальные значения y1, y2,

h – шаг по x,

n – размерность системы.

 

 

Результат (таблица): Результат (график):
Рис. 3.4. Рис. 3.5.

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: обзор, возможностей, математических, пакетов, MathCAD, MathLAB, Mathematica0.114

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Возможности систем компьютерной математики MathCAD для решения задач математической статистики
Речь идёт о собственно мате¬матических расчётах. Само по себе появление компьютеров не упрощало математические расчеты, а лишь позволяло резко… Пользователям ПК, прежде чем начинать такие расчеты, нужно было изучать сами… Поневоле ученому и инженеру, физику, химику и математику приходилось становиться программистом.

Методическое пособие по MathCad по учебной дисциплине «Математические пакеты программ»
Среднее профессиональное образование... Методическое пособие по MathCad по учебной дисциплине Математические пакеты программ Наименование специальности СПО Информационные системы по отраслям...

ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCAD
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...

Изучение командных меню пакета программ Mathcad
Изучение командных меню пакета программ Mathcad... Цель знакомство с рабочим окном пакета программ Mathcad...

Расчет аналоговых фильтров с использованием пакеты программы MATHCAD
Расчет аналоговых фильтров с использованием пакеты программы MATHCAD... Цель работы...

Оптимизация расчета аналоговых ФНЧ с использованием функции цели и встроенных функций пакета программы Mathcad
Оптимизация расчета аналоговых ФНЧ с использованием функции цели и встроенных функций пакета программы Mathcad... Цель работы...

Основы работы с математическим пакетом MathCAD
Основы работы с математическим пакетом MathCAD Основные сведения... Простые... Вычисления с переменными Определение...

Основы работы с математическим пакетом MathCad
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ... ПГУПС ЛИИЖТ... МИНИСТЕРСТВА ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ...

Габаритный расчет пакета и металлические материалы для пакетов магнитострикционных преобразователей
Количественно характеризуется коэффициентом объемной магнитострикции . (2) Объемная магнитострикция значительно меньше линейной магнитострикции у… Магнитострикционный эффект у разных материалов проявляется по-разному. … Это значит, что знак деформации сердечника не меняется при перемене поля на обратное. Частота деформации в два раза…

Пакет "MathCAD"
Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма… Нередко при этом из под руки способного физика, химика или инженера выходят… Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем…

0.035
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам