рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. - раздел Математика, Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica   2.3.1. Приближённое Решение Уравнения F(X) = 0 Методо...

 

2.3.1. Приближённое решение уравнения f(x) = 0 методом деления пополам (методом бисекций).

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравнения f(x) = 0. Предположим, что найден отрезок [a,b], такой, что f(a)f(b)<0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка [a,b] существует точка c, в которой значение функции равно нулю, т.е. f(с) = 0, сÎ(a,b). Итерационный метод бисекций состоит в построении последовательности вложенных отрезков.{[an,bn]| [an,bn]Ì [an-1,bn-1]Ì [a,b]}, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти нуль функции f(x) (корень уравнения f(x) = 0) с любой заданной точностью [10].

Опишем один шаг итераций. Пусть на (n-1)-м шаге найден отрезок [an-1,bn-1]Ì[a,b], такой, что f(an-1)f(bn-1) < 0. Делим его пополам точкой x = (an-1 + bn-1)/2 и вычисляем f(x). Если f(x) = 0, то x = (an-1 + bn-1)/2 – корень уравнения. Если f(x) ¹ 0, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки, так как один из корней лежит на этой половине. Таким образом,

an = an-1, bn = x, если f(x)f(an-1) < 0,

an = x, bn = bn-1, если f(x)f(an-1) > 0.

Если требуется найти корень с точностью до e, то деление пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2e. Тогда координата середины отрезка и есть значение корня с требуемой точностью e.

Метод бисекций – простой и надежный метод поиска простого корня (корень x = c называют простым корнем дифференцируемой функции f(x), если f(c) = 0 и f¢(c) ¹ 0) уравнения f(x) = 0. Он сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе и недифференцируемых. Скорость сходимости невелика. Для достижения точности e необходимо совершить N итераций, где N » log2((b-a)/e).

Это означает, что для получения каждых трёх верных десятичных знаков необходимо совершить около 10 итераций.

Если на отрезке [a,b] находится несколько корней уравнения f(x) = 0, то процесс сходится к одному из них. Метод неприменим для отыскания кратных корней чётного порядка. В случае корней нечётного порядка он менее точен [10].

Используя данный алгоритм легко написать функцию Bisect (f, a, b, eps, k) вычисления корня уравнения f(x) = 0, используя пакет MathCAD 2000.

f – искомая функция,

a, b – начало и конец интервала [a,b] соответственно,

eps – погрешность,

k – количество итераций.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica

Обзор пакета MathCAD... Введение в MathCAD...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Входной язык системы MathCAD.
Уникальное свойство MathCAD — возможность описания математических алгоритмов в естественной математической форме с применением общепринятой символики для математических знаков, таких, например, как

Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро

Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов

Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр

Назначение системы SmartMath.
Система SmartMath более полно использует ядро символьных операций, чем символьные вычисления из подменю позицииSymbolics главного меню, и снимает некоторые ограничения на их выполн

Инструментальная панель
Инструментальная панель командного окна системы MATLAB позволяет обеспечить простой доступ к операциям над М-файлами (рис. 1.4)

Программирование в среде Matlab 5.
Файлы, которые содержат коды языка MATLAB, называются M-файлами. Для создания M-файла используется текстовый редактор; вызову М-файла предшествует присваивание значений входным аргументам; результа

Алгебра.
Одной из самых важных задач, рассматриваемых в алгебре, является нахождение корней многочленов. Пусть, например, требуется найти корни уравнения третьей степени

Анализ.
Наряду с алгебраическими преобразованиями "Математика'' позволяет выполнять операции математического анализа. Базовыми являются операции интегрирования Integrate и дифференцирования D. Проинте

Численные методы.
Значения элементарных функций и многочисленных специальных математических функций в вещественных и комплексных точках с вещественными координатами, можно найти, просто вычислив соответствующие выра

Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро

Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов.

Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр

Общая формула для оценки главной части погрешности.
При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов [1]. а) Погрешность задачи

Графы вычислительных процессов.
Рассмотрим более удобный способ подсчёта распространения ошибки в каком-либо арифметическом вычислении [6]. С этой целью мы будем, изображать последовательность операций в вычислении с пом

Деление
Если выполняется деление a1/a2, то стрелка от a1 к косой черте в кружке получает коэффициент +1, а стрелка от a2 к косой черте в кру

Метод простых итераций.
Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = j(x) и построении последовательности x

Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода простых итераций.
Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. 1. Преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду x = j(x) так, чтобы в некоторой окрестности [a,b] корня x производная j¢(x)

Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона
1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. Убедиться, что на найденном отрезке [a,b] функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона. 2. Выбрать начал

Метод Вегстейна.
При выводе метода Вегстейна решения задачи о неподвижной точке x=φ(x) будем использовать как аналитические, так и геометрические соображения [1]. Пусть уже найдены:

Алгоритм Вегстейна.
Шаг 0. Ввод x0 (начального приближения), φ(x) (исходной функции), q (оценки модуля производной), ε (допустимой абсолютной погрешности). Шаг 1. Вычислить

Метод Чебышева.
Требуется найти вещественный корень уравнения f(x) = 0, изолированный в интервале (a, b). Функция f(x) предполагается непрерывной вместе с производными до n-го порядка включительно, причём в интерв

Метод Данко.
Для отыскания действительного корня уравнения f(x)=0, изолированного в интервале (a, b), рассматривается кривая [5]

Метод простых итераций.
Рассмотрим произвольную нелинейную систему уравнений в Rn [10]. или в более к

Метод Ньютона.
Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными или в векторной форме f

Метод наискорейшего спуска.
Общий недостаток всех рассмотренных выше методов решения систем нелинейных уравнений – это сугубо локальный характер сходимости, затрудняющий их применение в случаях, когда имеются проблемы с выбор

Аппроксимация с помощью кубического сплайна.
Специальным видом кусочной интерполяции является интерполяция с помощью сплайн-функции. Образованные в процессе такой интерполяции кривые обладают достаточным приближением и образуют кусочно-кубиче

Тригонометрическая интерполяция.
Пусть функция f(х) задана на отрезке [0,2p] таблицей значении f(xi) в равноотстоящих узлах (i=1, 2, ..., 2N

Метод градиентного спуска.
Общая задача нелинейного программирования без ограничений состоит в минимизации функции f(x)=f(x1, x2, ..., xп}, заданной во всем n-мерном евклидовом

Минимизация функции методом Нелдера-Мида.
В лабораторных предыдущих работах описаны градиентные методы отыскания локального минимума функции нескольких переменных. В настоящей работе рассматривается один из методов минимизации, в котором в

Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений целевой функции. 2. Составить программу-функцию для нахождения экстремума целевой функции методом Нелдера-Мида. 3. Провес

Метод Эйлера.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференци­ального уравнения y'=f(x,у), удовлетворяющее начальному усло­вию у(х0)=у0. Численное решение задачи состоит

Метод Рунге-Кутта.
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y¢=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0. Численное решение задачи состоит в построени

Решение одной из задач.
В качестве примера возьмём задачу разложения функции в ряд Тейлора (задача №1). Поскольку ЭВМ способна непосредственно вычислять только функции, содержащие арифметические операции (полином

Экономизация.
Экономизация ряда заключается в уменьшении числа арифметических операций при условии сохранения заданной точности вычисления функции. Данный приём использует свойство полиномов Чебышева сводить к м

К лабораторной работе №3. Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Найти корень уравнения с точностью e = 0.0001. · Отделяем корень графически.

Моделирование сплайн-интерполяции.
Для исследования сплайн-интерполяции составим программу, вычисляющую сплайн-коэффициенты по граничному условию А. Функция Spline реализует алгоритм вычисления сплайн-коэффициентов с учётом

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги