Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода простых итераций.
Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода простых итераций. - раздел Математика, Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica Графически Или Аналитически Отделить Корень Уравнения F(X) = 0.
1. П...
Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0.
1. Преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду x = j(x) так, чтобы в некоторой окрестности [a,b] корня x производная j¢(x) удовлетворяла условию |j¢(x)|£q<1. При этом следует помнить, что чем меньше q, тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.
2. Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке [a,b].
3. Используя пакет MathCAD, написать функцию для нахождения корня уравнения.
4. Провести вычисления для заданной функции.
2.3.3. Приближённое решение уравнения методом Ньютона.
Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x) = 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности xn+1 = xn – f(xn)/f¢(xn), сходящейся к корню уравнения f(x) = 0. Сформулируем достаточные условия сходимости метода [10].
Теорема.Пусть f(x) определена и дважды дифференцируема на [a,b], причём f(a)f(b)<0, а производные f¢(x), f²(x) сохраняют знак на отрезке [a,b]. Тогда, исходя из начального приближения x0Î[a,b], удовлетворяющего неравенству f¢(x0)f²(x0)>0, можно построить последовательность
, n = 0,1,2,…,
сходящуюся к единственному на [a,b] решению x уравнения f(x) = 0.
Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами (xn;f(xn)) (рис. 2.4) провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ox и есть очередное приближение xn+1 корня уравнения f(x) = 0.
Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством
,
где M2 – наибольшее значение модуля второй производной |f²(x)| на отрезке [a,b]; m1 –наименьшее значение модуля первой производной |f¢(x)| на отрезке [a,b]. Таким образом, если |xn – xn-1|<e, то |x - xn|£M2e2/(2m1). Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью e, то итерационный процесс можно прекратить, когда
Опишем один шаг итераций. Если на (n – 1)-м шаге очередное приближение xn-1 не удовлетворяет условию окончанию процесса, то вычисляем величины f(xn-1), f¢(xn-1) и следующее приближение корня xn = xn-1 – f(xn-1)/f¢(xn-1). При выполнении условия
величину xn принимаем за приближённое значение корня x, вычисленное с точностью e [10].
Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В этом случае процесс быстро сходится [10].
Входной язык системы MathCAD.
Уникальное свойство MathCAD — возможность описания математических алгоритмов в естественной математической форме с применением общепринятой символики для математических знаков, таких, например, как
Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро
Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов
Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр
Назначение системы SmartMath.
Система SmartMath более полно использует ядро символьных операций, чем символьные вычисления из подменю позицииSymbolics главного меню, и снимает некоторые ограничения на их выполн
Инструментальная панель
Инструментальная панель командного окна системы MATLAB позволяет обеспечить простой доступ к операциям над М-файлами (рис. 1.4)
Программирование в среде Matlab 5.
Файлы, которые содержат коды языка MATLAB, называются M-файлами. Для создания M-файла используется текстовый редактор; вызову М-файла предшествует присваивание значений входным аргументам; результа
Алгебра.
Одной из самых важных задач, рассматриваемых в алгебре, является нахождение корней многочленов. Пусть, например, требуется найти корни уравнения третьей степени
Анализ.
Наряду с алгебраическими преобразованиями "Математика'' позволяет выполнять операции математического анализа. Базовыми являются операции интегрирования Integrate и дифференцирования D. Проинте
Численные методы.
Значения элементарных функций и многочисленных специальных математических функций в вещественных и комплексных точках с вещественными координатами, можно найти, просто вычислив соответствующие выра
Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро
Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов.
Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр
Общая формула для оценки главной части погрешности.
При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов [1].
а) Погрешность задачи
Графы вычислительных процессов.
Рассмотрим более удобный способ подсчёта распространения ошибки в каком-либо арифметическом вычислении [6].
С этой целью мы будем, изображать последовательность операций в вычислении с пом
Деление
Если выполняется деление a1/a2, то стрелка от a1 к косой черте в кружке получает коэффициент +1, а стрелка от a2 к косой черте в кру
Метод простых итераций.
Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = j(x) и построении последовательности x
Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона
1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. Убедиться, что на найденном отрезке [a,b] функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.
2. Выбрать начал
Метод Вегстейна.
При выводе метода Вегстейна решения задачи о неподвижной точке x=φ(x) будем использовать как аналитические, так и геометрические соображения [1].
Пусть уже найдены:
Метод Чебышева.
Требуется найти вещественный корень уравнения f(x) = 0, изолированный в интервале (a, b). Функция f(x) предполагается непрерывной вместе с производными до n-го порядка включительно, причём в интерв
Метод Данко.
Для отыскания действительного корня уравнения f(x)=0, изолированного в интервале (a, b), рассматривается кривая [5]
Метод простых итераций.
Рассмотрим произвольную нелинейную систему уравнений в Rn [10].
или в более к
Метод Ньютона.
Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными
или в векторной форме
f
Метод наискорейшего спуска.
Общий недостаток всех рассмотренных выше методов решения систем нелинейных уравнений – это сугубо локальный характер сходимости, затрудняющий их применение в случаях, когда имеются проблемы с выбор
Аппроксимация с помощью кубического сплайна.
Специальным видом кусочной интерполяции является интерполяция с помощью сплайн-функции. Образованные в процессе такой интерполяции кривые обладают достаточным приближением и образуют кусочно-кубиче
Тригонометрическая интерполяция.
Пусть функция f(х) задана на отрезке [0,2p] таблицей значении f(xi) в равноотстоящих узлах (i=1, 2, ..., 2N
Метод градиентного спуска.
Общая задача нелинейного программирования без ограничений состоит в минимизации функции f(x)=f(x1, x2, ..., xп}, заданной во всем n-мерном евклидовом
Минимизация функции методом Нелдера-Мида.
В лабораторных предыдущих работах описаны градиентные методы отыскания локального минимума функции нескольких переменных. В настоящей работе рассматривается один из методов минимизации, в котором в
Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений целевой функции.
2. Составить программу-функцию для нахождения экстремума целевой функции методом Нелдера-Мида.
3. Провес
Метод Эйлера.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,у), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0. Численное решение задачи состоит
Метод Рунге-Кутта.
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y¢=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.
Численное решение задачи состоит в построени
Решение одной из задач.
В качестве примера возьмём задачу разложения функции в ряд Тейлора (задача №1).
Поскольку ЭВМ способна непосредственно вычислять только функции, содержащие арифметические операции (полином
Экономизация.
Экономизация ряда заключается в уменьшении числа арифметических операций при условии сохранения заданной точности вычисления функции. Данный приём использует свойство полиномов Чебышева сводить к м
Моделирование сплайн-интерполяции.
Для исследования сплайн-интерполяции составим программу, вычисляющую сплайн-коэффициенты по граничному условию А.
Функция Spline реализует алгоритм вычисления сплайн-коэффициентов с учётом
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов