Решение одной из задач. - раздел Математика, Обзор возможностей математических пакетов MathCAD 2000, MathLAB 5.0, Mathematica В Качестве Примера Возьмём Задачу Разложения Функции В Ряд Тейлора (Задача №1...
В качестве примера возьмём задачу разложения функции в ряд Тейлора (задача №1).
Поскольку ЭВМ способна непосредственно вычислять только функции, содержащие арифметические операции (полиномы, дробно-рациональные функции, полиномиальные сплайны и т.д.), то большое количество элементарных функций реализуется на вычислительной машине путём замены исходной функции её приближённым аналогом. Обычно используются полиномиальные функции: . Если полная погрешность вычисления на заданном интервале не превышает заданную величину, то приближение исходной функции считается удовлетворительным.
В нашем примере с помощью арифметических операций невозможно вычислить только функцию sin(x). Разложим sin(x) в ряд Тейлора. Из курса математического анализа известно, что в окрестностях точки разложения x0=0 функция sin(x) раскладывается в ряд Тейлора следующим образом:
,
где Rn(x) – остаточный член формулы Тейлора.
Замечание. При разложении более сложных функций в ряд Тейлора необходимо воспользоваться стандартной методикой. При этом точку разложения выбирать из соображений простоты вычисления коэффициентов формулы Тейлора и принадлежности точки разложения интервалу вычисления функции. Радиус сходимости разложения можно определить с помощью признака Даламбера, в отдельных случаях помогают признаки сходимости Коши и Лейбница.
В нашем примере остаточный член может быть оценён по формуле:
Определимся с интервалом разложения функции. Исходная функция является нечётной функцией, поскольку f(x) = -f(-x), кроме того, она терпит разрывы второго рода в точках, где sin(x) = 0. На рис. 2.11 представлен график функции:
Рис. 2.11
В точке x = 0 функция терпит устранимый разрыв первого рода, поскольку .
Будем считать, что вычисления производятся на центральном участке непрерывности функции (-π, π). Учитывая центральную симметрию функции, рассмотрим интервал (0, π). Рассмотрим, каким образом изменяется оценка остаточного члена формулы Тейлора при n = 5 (см. рис. 2.12).
Из графика видно, что при удалении x от точки разложения величина остаточного члена резко увеличивается. Установим связь между полной ошибкой приближённого представления вычисляемой функции и остаточным членом разложения sin(x) по формуле Тейлора. При замене sin(x) имеем:
.
Методическая ошибка в связи с заменой синуса полиномиальной функцией содержится в знаменателе вычисляемой функции, следовательно, по формуле оценки ошибки от деления получим:
,
учитывая, что имеем:
Если не учитывать погрешности округления, то для оценки числа членов ряда разложения функции sin(x), обеспечивающие заданную точность вычисления функции, можно воспользоваться неравенством:
(2.65)
В последней формуле учитывается, что в условии задачи задана величина относительной погрешности вычисления функции.
Экономизация ряда заключается в уменьшении числа арифметических операций при условии сохранения заданной точности вычисления функции. Данный приём использует свойство полиномов Чебышева сводить к минимуму максимальную ошибку приближения. Экономизация основывается на изменении структуры ряда в сторону увеличения сходимости, при этом в отдельных случаях удаётся уменьшить число членов ряда.
В нашем примере наибольшая погрешность возникает на правой границе интервала приближения функции, с другой стороны полинома Чебышева действуют на интервале (-1, 1), поэтому вычисления будем производить для x = 0,99.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Решение одной из задач.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Входной язык системы MathCAD.
Уникальное свойство MathCAD — возможность описания математических алгоритмов в естественной математической форме с применением общепринятой символики для математических знаков, таких, например, как
Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро
Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов
Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр
Назначение системы SmartMath.
Система SmartMath более полно использует ядро символьных операций, чем символьные вычисления из подменю позицииSymbolics главного меню, и снимает некоторые ограничения на их выполн
Инструментальная панель
Инструментальная панель командного окна системы MATLAB позволяет обеспечить простой доступ к операциям над М-файлами (рис. 1.4)
Программирование в среде Matlab 5.
Файлы, которые содержат коды языка MATLAB, называются M-файлами. Для создания M-файла используется текстовый редактор; вызову М-файла предшествует присваивание значений входным аргументам; результа
Алгебра.
Одной из самых важных задач, рассматриваемых в алгебре, является нахождение корней многочленов. Пусть, например, требуется найти корни уравнения третьей степени
Анализ.
Наряду с алгебраическими преобразованиями "Математика'' позволяет выполнять операции математического анализа. Базовыми являются операции интегрирования Integrate и дифференцирования D. Проинте
Численные методы.
Значения элементарных функций и многочисленных специальных математических функций в вещественных и комплексных точках с вещественными координатами, можно найти, просто вычислив соответствующие выра
Формульный редактор.
Фактически система MathCAD интегрирует три редактора: формульный, текстовый и графический. Для запуска формульного редактора достаточно установить курсор мыши в любом свободном месте окна редактиро
Наборные панели и шаблоны.
Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря выводу шаблона при задании того или иного оператора. Для этого в MathCAD служат наборные панели с шаблонами различных математических символов.
Возможности символьного процессора (Symbolic)
Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобр
Общая формула для оценки главной части погрешности.
При численном решении математических и прикладных задач почти неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов [1].
а) Погрешность задачи
Графы вычислительных процессов.
Рассмотрим более удобный способ подсчёта распространения ошибки в каком-либо арифметическом вычислении [6].
С этой целью мы будем, изображать последовательность операций в вычислении с пом
Деление
Если выполняется деление a1/a2, то стрелка от a1 к косой черте в кружке получает коэффициент +1, а стрелка от a2 к косой черте в кру
Метод простых итераций.
Метод простых итераций (метод последовательных приближений) решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = j(x) и построении последовательности x
Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона
1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. Убедиться, что на найденном отрезке [a,b] функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.
2. Выбрать начал
Метод Вегстейна.
При выводе метода Вегстейна решения задачи о неподвижной точке x=φ(x) будем использовать как аналитические, так и геометрические соображения [1].
Пусть уже найдены:
Метод Чебышева.
Требуется найти вещественный корень уравнения f(x) = 0, изолированный в интервале (a, b). Функция f(x) предполагается непрерывной вместе с производными до n-го порядка включительно, причём в интерв
Метод Данко.
Для отыскания действительного корня уравнения f(x)=0, изолированного в интервале (a, b), рассматривается кривая [5]
Метод простых итераций.
Рассмотрим произвольную нелинейную систему уравнений в Rn [10].
или в более к
Метод Ньютона.
Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными
или в векторной форме
f
Метод наискорейшего спуска.
Общий недостаток всех рассмотренных выше методов решения систем нелинейных уравнений – это сугубо локальный характер сходимости, затрудняющий их применение в случаях, когда имеются проблемы с выбор
Аппроксимация с помощью кубического сплайна.
Специальным видом кусочной интерполяции является интерполяция с помощью сплайн-функции. Образованные в процессе такой интерполяции кривые обладают достаточным приближением и образуют кусочно-кубиче
Тригонометрическая интерполяция.
Пусть функция f(х) задана на отрезке [0,2p] таблицей значении f(xi) в равноотстоящих узлах (i=1, 2, ..., 2N
Метод градиентного спуска.
Общая задача нелинейного программирования без ограничений состоит в минимизации функции f(x)=f(x1, x2, ..., xп}, заданной во всем n-мерном евклидовом
Минимизация функции методом Нелдера-Мида.
В лабораторных предыдущих работах описаны градиентные методы отыскания локального минимума функции нескольких переменных. В настоящей работе рассматривается один из методов минимизации, в котором в
Порядок выполнения лабораторной работы.
1. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений целевой функции.
2. Составить программу-функцию для нахождения экстремума целевой функции методом Нелдера-Мида.
3. Провес
Метод Эйлера.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y'=f(x,у), удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0. Численное решение задачи состоит
Метод Рунге-Кутта.
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y¢=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0.
Численное решение задачи состоит в построени
Экономизация.
Экономизация ряда заключается в уменьшении числа арифметических операций при условии сохранения заданной точности вычисления функции. Данный приём использует свойство полиномов Чебышева сводить к м
Моделирование сплайн-интерполяции.
Для исследования сплайн-интерполяции составим программу, вычисляющую сплайн-коэффициенты по граничному условию А.
Функция Spline реализует алгоритм вычисления сплайн-коэффициентов с учётом
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
. Если полная погрешность вычисления на заданном интервале не превышает заданную величину, то приближение исходной функции считается удовлетворительным.
,
В точке x = 0 функция терпит устранимый разрыв первого рода, поскольку 
.
.
,
имеем:
(2.65)
Новости и инфо для студентов