Тема 19. Перевірка правильності нульових гіпотез про рівність двох генеральних середніх та двох дисперсій
1. Електролампочки на 220 В виготовлялися двома електроламповими заводами. З першої партії, виготовленої заводом № 1, здійснили вибірку обсягом 
=25, а з другої партії – обсягом 
= 36. Першу і другу партії електролампочок перевірили на тривалість роботи. Результати перевірки наведено у вигляді статистичних розподілів такого вигляду:
| yi | xj | |||||||||||
| 
|
Відомо, що ознаки Y – тривалість роботи електролампочки першого заводу і Y – тривалість роботи електролампочки другого заводу є випадковими величинами, які незалежні між собою і мають нормальний закон розподілу зі значеннями
= 50, 
= 72. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність
, якщо альтернативна гіпотеза 
.
2. У двох партіях містяться однотипні шарикопідшипники, виготовленi двома заводами. Вимірювання їх діаметрів дали результати, які наведено у вигляді двох статистичних розподілів:
| yi, мм | 6,64 | 6,7 | 6,74 | 6,78 | 6,82 | xj, мм | 6,58 | 6,6 | 6,8 | 7,2 | ||
|
|
|
При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза 
,
коли відомі значення 
; 
.
3. З двох партій монет вартістю 5 коп. було вибрано 50 і 60 штук, які зважували на терезах. Результати цих зважувань подано у вигляді двох статистичних розподілів:
| yi,г | 9,4 | 9,6 | 9,8 | 10,2 | xj,мг | 9,33 | 9,63 | 9,93 | 10,23 | 10,53 | ||
|
|
|
Припускаючи, що Х і Y мають нормальний закон розподілу і незалежні між собою, при рівні значущості 
перевірити
, якщо альтернативна гіпотеза 
,
коли відомі значення 
; 
.
4. Вимірювання зросту дітей віком шість років, випадково вибраних із двох дитячих садків, дало такі результати:
| yi, м | 0,52 | 0,58 | 0,64 | 0,72 | 0,8 | xj, м | 0,48 | 0,56 | 0,64 | 0,72 | 0,8 | |
|
|
|
Беручи до уваги, що випадкові величини Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза .
5. Кров’яний тиск було виміряно (в умовних одиницях) y 20 осіб віком 40 років із одного району міста і в 18 осіб того самого віку з іншого району міста. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:
| yi | xj | |||||||||||||
|
| 
|
Припускаючи, що випадкові величини Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність
, якщо альтернативна гіпотеза .
6. Пружність вимірювалась на зразках, виготовлених з однієї і тієї самої марки сталі і вибраних із двох партій. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:
| yi | 36,8 | 38,8 | 40,8 | 42,8 | 44,8 | xj | 34,2 | 38,2 | 42,2 | 46,2 | 50,2 | |
| 
|
Зважаючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза 
.
7. Протягом року вимірювалась продуктивність праці (в тис. грн/ працівн.) у двох будівельних фірмах. Результати вимірювання подано статистичними розподілами:
| yi | xj | |||||||||||||
|
|
|
Вважаючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза 
.
8. Визначався обсяг валової продукції на підприємствах однієї і тієї ж галузі у двох районах України. Результати розрахунків подано двома статистичними розподілами:
| yi,млн.грн | xj,млн.грн. | ||||||||||||
|
| 
|
Ураховуючи, що ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність
, якщо альтернативна гіпотеза 
.
9. Досліджувався місячний прибуток робітників у гривнях двох заводів однієї і тієї ж галузі виробництва. Результати досліджень подано двома статистичними розподілами:
| yi | 150,6 | 160,6 | 170,6 | 180,6 | 190,6 | xj | 140,8 | 160,8 | 180,8 | 200,8 | 220,8 | |
|
|
|
Ознаки Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза .
10. Вимірювався вміст золи в умовних одиницях в цукрових буряках, що вирощувалися на двох ділянках господарства з однаковим складом добрив у ґрунті. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:
| yi | 0,652 | 0,692 | 0,732 | 0,772 | 0,812 | xj | 0,664 | 0,684 | 0,704 | 0,724 | 0,744 | 0,764 | |
|
|
|
Ознаки Х і Y є незалежними між собою і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза .
11. Визначалась урожайність зеленої маси вівса, зібраного у двох районах області. Результати розрахунків наведено у вигляді статистичних розподілів:
| yi, ц/га | xj, ц/га | |||||||||||
|
|
|
Ураховуючи, що ознаки Х і Y (урожайність в ц/га) є незалежними і мають нормальний закон розподілу, при рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза 
.
12. Норма витрат на технічне обслуговування і ремонт нових марок тракторів вимірювалась у двох сільських господарствах району. Результати вимірювань показано двома статистичними розподілами:
| yi, грн/га | 0,58 | 0,6 | 0,62 | 0,64 | 0,66 | xj, грн/га | 0,56 | 0,6 | 0,64 | 0,7 | 0,74 | |
|
|
|
Ознаки Х і Y (норми витрат) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза 
.
13. Визначалися річні середні витрати електроенергії на комунально-побутові вимоги для одного мешканця у двох містах. Результати розрахунків подано двома статистичними розподілами для першого і другого міст:
| yi, Вт/м. | xj, Вт/м. | ||||||||||||||
|
| 
|
Ознаки Х і Y (річні витрати в кВт/особу) є незалежними між собою і мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези.
, якщо альтернативна гіпотеза 
.
14. Вимірювання вмісту азоту в цукрових буряках, які вирощувалися на двох ділянках, розміщених у різних місцях колективного господарства, з однаковим складом ґрунту показав результати, що наведені у двох статистичних розподілах:
| yi, умов. од. | 1,24 | 1,28 | 1,32 | 1,36 | 1,4 | 1,44 | хj, умов. од. | 1,14 | 1,18 | 1,22 | 1,26 | 1,3 | |
|
|
|
Ознаки Х і Y (вміст азоту) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези при альтернативній гіпотезі
, якщо альтернативна гіпотеза .
15. Вимірювання значень наробки на мотор автомобіля, що здійснювався у двох автопарках міста, наведено у вигляді статистичних розподілів:
| yi, тис. км | 1,9 | 2,15 | 2,4 | 2,65 | 2,9 | 3,15 | xj, тис. км | 1,8 | 2,2 | 2,4 | 2,6 | 2,8 | |||
|
|
|
Ознаки Х і Y (наробки в тис. км) є випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза .
16. Заміри довжини волокон вовни, одержаної від овець, що утримувалися на двох фермах, подано двома статистичними розподілами:
| yi, мм | xj, мм | |||||||||||||
|
|
|
Ознаки Х і Y (довжини волокон) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза .
17. У двох автопарках виміряли витрати палива автомобілем за одну годину. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:
| yi, кг/год | 35,2 | 35,4 | 35,6 | 35,8 | xj, кг/год | 35,4 | 35,8 | 36,2 | 36,6 | ||||
|
|
|
Ознаки Х і Y (витрати палива за год) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу ймовірностей. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза .
18. Вимірювалось споживання масла за одну добу одним мешканцем у двох регіонах країни. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:
| yi, мг | 15,99 | 18,99 | 21,99 | 24,99 | 27,99 | xj, мг | 14,55 | 20,55 | 26,55 | 32,55 | 38,55 | |
|
|
|
Ознаки Х і Y (добове споживання масла в мг) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу ймовірностей. При рівні значущості a = 0,001 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза .
19. Вимірювання маси в грамах пухових волокон від овець подано двома статистичними розподілами:
| yi, г | 4,44 | 4,84 | 5,24 | 5,64 | 6,04 | xj, г | 4,36 | 4,96 | 5,46 | 5,96 | 6,46 | |
|
|
|
Ознаки Х і Y (маса волокон в грамах) є незалежними випадковими величинами, які мають нормальний закон розподілу. При рівні значущості a = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза .
20. Вимірювалась жива маса курчат, які відгодовувалися на двох птахофермах. Результати вимірювання подано двома статистичними розподілами:
| yi, г | 96,5 | 99,5 | 102,5 | 108,5 | 111,5 | xj, г | 85,5 | 105,5 | 125,5 | 145,5 | 165,5 | |
|
|
|
Ознаки Х і Y (жива маса курчат) є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу ймовірностей. Якщо рівень значущості a = 0,01, перевірте правильність нульової гіпотези
, за альтернативної гіпотези 
.
Тема 20 . Елементи дисперсійного, кореляційного та регресійного аналізу
1. У результаті проведення досліду з метою з’ясування впливу чорного пару на врожайність пшениці з ділянки в 9 га (3 га були під чорним паром; 3 га – під картоплею; 3 га – під кормовими травами) дістали такі результати:
| Фактор | Врожайність, ц/га |
| Чорний пар | 26,6; 26,6; 30,6 |
| Площа під картоплею | 24,3; 25,2; 25,2 |
| Площа під кормовими травами | 26,6; 28,0; 31,0 |
За рівень значущості береться a = 0,01.
2. Експериментально досліджувався вплив на зносостійкість колінчатих валів технології їх виготовлення – вплив фактора А, який має чотири рівні, тобто застосовувалися чотири технології виготовлення валів.
Одержані результати наведено в таблиці:
| Ступінь впливу фактора А | Кількість відпрацьованих місяців |
| А1 | 9; 8; 10; 12 |
| А2 | 10; 12; 11; 8 |
| А3 | 8; 16; 10; 18 |
| А4 | 9; 18; 10; 8 |
При рівні значущості a = 0,01 перевірити вплив технологій на зносостійкість валів.
3. Для перевірки впливу методики навчання виробничим навикам на якість підготовки із випускників виробничо-технічного училища навмання вибирають чотири групи учнів, які після закінчення навчання за різними методиками тестувалися на кількість виготовлених однотипних деталей протягом робочої зміни.
Результати тестування наведено в таблиці:
| Ступінь впливу фактора А (методики) | Кількість виготовлених деталей за робочу зміну |
| А1 | 60, 80, 75, 80, 85, 70 |
| А2 | 75, 66, 85, 80, 70, 80, 90 |
| А3 | 60, 80, 65, 60, 86, 75 |
| А4 | 95, 85, 100, 80 |
При рівні значущості a = 0,05 з’ясувати вплив методики навчання на якість підготовки учнів.
4. Залежність урожайності пшениці досліджується від сорту пшениці, яких чотири. Результати досліджень наведені в таблиці:
| Ступінь впливу фактора А (сорт пшениці) | Урожайність, ц/га |
| А1 | 28,7; 26,7; 21,6; 25,0; 28,2 |
| А2 | 24,5; 28,5; 27,7; 28,7; 32,5 |
| А3 | 23,2; 24,7; 20,0; 24,0; 24,0 |
| А4 | 29,0; 28,7; 20,5; 28,0; 27,0 |
При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив сортності пшениці на її врожайність.
5. Стальні болти з різною добавкою компоненти А в сталі, з якої вони виготовлялися, були піддані випробуванням на міцність.
Результати цих випробувань наведено в таблиці:
| Ступінь впливу фактора А (відсоткова добавка) | Міцність, кг/мм2 |
| А1 | 25; 28; 20; 22 |
| А2 | 29; 22; 21; 18 |
| А3 | 19; 25; 30; 22 |
| А4 | 18; 30; 24; 20 |
При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив добавки компоненти на міцність болта.
6. Електролампочки напругою 220 В виготовлялися на трьох заводах із використанням різних технологій. З кожної партії, що надходили в науково-дослідний інститут від кожного заводу, навмання брали по чотири електролампочки і піддавали їх випробуванням на тривалість горіння.
Результати цього експерименту наведено в таблиці:
| Ступінь впливу фактора А (технології виготовлення) | Тривалість горіння, год |
| А1 | 90; 85; 105; 110; 95 |
| А2 | 80; 110; 115; 90; 105 |
| А3 | 75; 120; 110; 90; 85 |
При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив технологій виготовлення на тривалість горіння лампочок.
7. Рейтинг лівих партій, що вимірювався у навмання вибраних шести районах на Заході України, у центральній її частині і на Сході, дав такі результати:
| Ступінь впливу фактора А | Рейтинг, % |
| А1 (західні райони) | 14,5; 5,6; 23,8; 6,4; 26,2; 14,5 |
| А2 (центральні райони) | 22,5; 12,2; 24,8; 16,8; 11,9; 26,6 |
| А3 (східні райони) | 13,4; 20,8; 30,8; 20,8; 6,4; 12,3 |
При рівні значущості a = 0,001 з’ясувати, чи впливає істотно регіон України на рейтинг лівих партій.
8. На дослідних ділянках, кожна з яких має площу 6 га, досліджувалась залежність урожайності пшениці від внесення в ґрунт добрив
А1, А2, А3, А4.
Результати експерименту наведено в таблиці:
| Ступінь впливу фактора А (тип добрива) | Урожайність, ц/га |
| А1 | 25,6; 36,2; 22,8; 30,2; 32,5; 28,4 |
| А2 | 28,5; 40,6; 42,8; 36,4; 22,4; 29,6 |
| А3 | 24,4; 38,6; 48,4; 50,2; 28,4; 22,8 |
| А4 | 29,5; 52,8; 24,2; 22,8; 56,2; 48,4 |
При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив типу добрива, що вноситься в ґрунт, на урожайність пшениці.
9. З кожної із 8 партій однотипних заготовок навмання бралися заготовки, які оброблялися на трьох верстатах-автоматах різної модифікації. Кількість деталей, виготовлена верстатами, досліджувалася на стандартність.
Результати досліджень подано в таблиці:
| Фактор А (тип верстатів-автоматів) | Кількість деталей, виготовлених верстатами-автоматами, що відповідають стандарту |
| А1 | 100; 86; 90; 89; 95; 22; 80; 79 |
| А2 | 99; 82; 98; 88; 100; 96; 98; 100 |
| А3 | 100; 88; 86; 98; 98; 100; 99; 99 |
При рівні значущості a = 0,01 перевірити вплив модифікації верстатів-автоматів на якість виготовлених деталей.
10. Проводилось дослідження розподілу числа кров’яних тілець у певній одиниці об’єму крові в людей, що перебували певний час у трьох зонах на різній відстані від Чорнобильської АЕС та в зоні, вільній від радіації.
Результати досліджень наведено в таблиці:
| Фактор А (зони) | Кількість кров’яних тілець |
| А1 (в зоні АЕС) | 6; 8; 3; 2; 6; 9 |
| А2 (на відстані 50 км) | 5; 4; 10; 11; 6; 8 |
| А3 (на відстані 100 км) | 5; 4; 13; 12; 10; 15 |
| А4 (вільна від радіації зона) | 18; 16; 21; 20; 22; 21 |
При рівні значущості a = 0,01 з’ясувати вплив перебування людини в певній зоні на кількість кров’яних тілець.
11. Залежність між зростом Y та масою дітей Х наведена в таблиці:
| Y = yi, м | 0,620 | 0,580 | 0,640 | 0,650 | 0,670 | 0,680 | 0,695 | 0,699 | 0,710 |
| Маса X = xi, кг | 0,531 | 0,524 | 0,541 | 0,550 | 0,559 | 0,620 | 0,632 | 0,672 | 0,682 |
| Y = yi, м | 0,715 | 0,725 | 0,781 | 0,790 | 0,795 | 0,800 | 0,810 | 0,850 | 0,860 |
| Маса X = xi, кг | 0,689 | 0,692 | 0,694 | 0,698 | 0,690 | 0,710 | 0,720 | 0,725 | 0,730 |
12. Залежність кількості проданих пар чоловічого взуття Y від його розміру Х наведена в таблиці:
| Y = yi, шт. | ||||||||
| X = xi |
13. Вимірювання температури в грудні, здійснені у двох містах, що умовно позначені А і В, наведено в таблиці:
| Місто А Y = yi,°С | – 10,2 | – 11,5 | – 12,4 | – 12,8 | – 13,0 | – 13,5 | – 14,2 | – 14,6 |
| Місто В X = xi,,°С | – 20,2 | – 20,5 | – 21,4 | – 21,8 | – 22,0 | – 22,5 | – 22,8 | – 22,8 |
| Місто А Y = yi,°С | – 14,6 | – 15,7 | – 16,4 | – 17,2 | – 17,5 | – 18,2 | – 18,6 | – 18,9 |
| Місто В X = xi,,°С | – 23,2, | – 24,1 | – 24,5 | – 25,1 | – 25,8 | – 26,0 | – 26,5 | – 27,0 |
14. Зі старшого класу навмання вибраної середньої школи було відібрано групу учнів. Дані про їх середньорічні оцінки з математики та решти дисциплін в балах наведено в таблиці:
| Y = yi | ||||||||||
| X = xi |
| Y = yi | |||||||||
| X = xi |
15. Конденсатор було заряджено до повної напруги в певний момент часу t, після цього він починає розряджатися. Залежність напруги Y від часу розряджання Х наведено в таблиці:
| Y = yi | |||||||
| X = xi |
| Y = yi | |||||||
| X = xi |
16. Залежність урожайності пшениці Y від глибини зволоження Х наведено в таблиці:
| Y = yi, ц/га | ||||||||||
| X = xi, см |
| Y = yi, ц/га | ||||||||||
| X = xi, см |
17. Показники товарообігу Y та суми витрат Х, які досліджувалися в 20-ти магазинах, наведено в таблиці:
| Y = yi, грн. | ||||||||||
| X = xi, грн. |
| Y = yi, грн. | |||||||||
| X = xi, грн. |
18. Результати вимірювання чутливості Y відеоканалу та звукового каналу Х наведено в таблиці:
| Y = yi | ||||||||||
| X = xi |
| Y = yi | ||||||||||
| X = xi |
19. Залежність величини зносу різця Y від тривалості роботи Х показано в таблиці:
| Y = yi, мм | 30,0 | 29,1 | 28,4 | 28,1 | 28,0 | 27,7 | 27,5 | 27,2 | 27,0 |
| X = xi, год |
| Y = yi, мм | 26,8 | 26,5 | 26,3 | 26,1 | 25,7 | 25,3 | 24,3 | 24,1 | 24,0 |
| X = xi, год |
20. Залежність кров’яного тиску Y людини (в умовних одиницях) від довжини руки Х наведена в таблиці:
| Y = yi, умов. од. | |||||||||
| X = xi, см | 62,1 | 61,1 | 61,0 | 60,5 | 60,0 | 59,0 | 58,5 | 58,0 | 57,5 |
| Y = yi, умов. од. | |||||||||
| X = xi, см | 56,5 | 56,0 | 55,5 | 55,0 | 54,5 | 54,0 | 53,5 | 53,0 | 52,5 |