Тема 9. Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

1. За заданим законом розподілу ймовірностей

 

хі	–2
рі	0,1	2а	0,3	0,1	3а

 

обчислити М (Х), D (Х), s (X). Знайти Мо.

2. Четверо студентів складають іспит з теорії ймовірностей. Імовірність того, що перший із них складе іспит, дорівнює 0,9; для другого і третього ця ймовірність дорівнює 0,8, а для четвертого – 0,7. Побудувати закон розподілу величини Х – числа студентів, котрі складуть зазначений іспит, і обчислити М (Х); s (X); As. Знайти моду випадкової величини.

3. Маємо три ящики. У першому з них міститься 6 стандартних і 4 браковані однотипні деталі, у другому – 8 стандартних і 2 браковані й у третьому – 5 стандартних і 5 бракованих деталей. Із кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Обчислити М (Х), s (X), As для дискретної випадкової величини Х – появи числа стандартних деталей серед трьох навмання взятих. Знайти Мо.

4. Задано функцію розподілу ймовірностей

 

 

Обчислити М (Х); s (X). Знайти Мо.

5. П’ять приладів перевіряють на надійність. Кожний наступний прилад підлягає перевірці лише тоді, коли перед цим перевірений прилад виявиться надійним. Імовірність того, що прилад витримає перевірку на надійність, дорівнює 0,8 для кожного із них. Обчислити М (Х), s (X) дискретної випадкової величини Х – числа приладів, що пройшли перевірку. Знайти Мо.

6. У лотереї розігрується один мотоцикл вартістю 500 грн. і годинник вартістю
40 грн. Знайти математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення виграшу.

7. При підкиданні трьох гральних кубиків гравець може виграти 18 грн., якщо на трьох кубиках випаде цифра 6; 1 грн. 40 коп., якщо на двох гральних кубиках випаде цифра 6, і 20 коп., якщо лише на одному кубику з трьох випаде цифра 6. Який у середньому буде виграш гравця? Яка має бути ставка за участь у грі, щоб вона була принаймні безкоштовною?

8. Знайти математичне сподівання і дисперсію кількoстi очків, що з’являться в результаті одного підкидання грального кубика.

9. Відомі значення: Знайти М (– 4Х + 5), D (– 4Х + 5).

10. Монета підкидається до першої появи герба. Знайти середню кількість підкидань.

11. Знайти М (Х²), якщо D (X) = 4, M (X) = 1.

12. Садівник восени посадив три саджанці: одну яблуню, одну грушу й одну вишню. Імовірність того, що саджанець яблуні весною прийметься, дорівнює 0,7. Для саджанців груші та вишні ця ймовірність становить відповідно 0,9 і 0,8. Обчислити математичне сподівання та дисперсію числа саджанців, які приймуться весною. Чому дорівнює Мо?

13. Статистична обробка інформації службою автодорожніх пригод дала такі наслідки: в інтервалі часу від 16 год 30 хв до 18 год 30 хв у робочі дні може відбутися 0, одна, дві або 3 автомобільні катастрофи з імовірністю відповідно 0,92; 0,04; 0,03; 0,01. Обчислити математичне сподівання числа катастроф у зазначений проміжок часу.

14. Фермер очікує, що в наступному році кури на його фермі знесуть 10000 яєць. Беручи до уваги різні витрати й коливання цін, фермер розраховує виручити не більше як 160 коп. за десяток яєць і витратити на них не більше як 80 коп. Імовірність можливих виграшів і витрати такі:

 

Ціна за 10 яєць, коп.					– 80
рі	0,2	0,5	0,2	0,04	0,06

 

Визначити очікуваний прибуток від продажу одного десятка яєць і всіх 10000.

15. Знайти математичне сподівання і дисперсію числа дільників випадкової величини Х – навмання вибраного натурального числа з множини

16. Чотири однакові електролампочки тимчасово викрутили з відповідних патронів і поклали в ящик. Потім із ящика навмання взяли по одній лампочці і навмання вкрутили в патрони. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини Х – числа лампочок, які вкручені в ті патрони, з яких вони були викручені.

17. Серед п’яти однотипних телевізорів є лише один справний. Щоб на нього натрапити, навмання беруть один із них і після відповідної перевірки відставляють його окремо від решти. Перевірка триває до появи справного телевізора. Визначити математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х – кількості перевірених телевізорів. Знайти Мо.

18. Задано закон розподілу ймовірностей:

 

хі	–5	–2
рі	0,1	0,3	0,2	0,3	0,1

 

Знайти М (2Х – 3); D (2Х – 3).

19. За заданим імовірнісним многокутником на рис. обчислити М (– 4Х + 1);
D (– 4Х + 1).

20. За заданою щільністю ймовірностей знайти М (Х), s (X); Me.

21. Задано . Знайти М (Х); D (Х); Ме; Мо.

22. Знаючи , знайти s (X); Me.

23. Закон розподілу ймовірностей зображено на рис. Знайти М (Х); s (X); Mo; Me.

 

 

24. Задано закон розподілу ймовірностей знайти D (Х); s (X); Me.

25. Задано . Знайти М (Х); s (X).

 

 

26. Задано . Знайти М (Х); D (Х).

27. Задано . Знайти а і F(x). Обчислити М (Х) і s (X).

 

28. Задано . Знайти Аs; Es.

29. Задано . Знайти Мо; Ме; As; Es.

30. Випадкова величина Х має щільність . Знайти а; М (Х); D (Х).

31. За заданою щільністю знайти a; M (X); s (X); Me.

32. Задано . Знайти а, Ме, Мо, Аs.

33. Задано . Знайти М (Х); D (Х); .

34. Випадкова величина Х має закон розподілу щільності ймовірностей рівнобедреного трикутника (рис.). Знайти M (X); D (X); s (X); m₃

 

 

35. Задано . Знайти a; F(x); M (X); D (X).

36. Задано Знайти а; F(x); M (X); D (X).

37. Задано . Знайти a; F(x); M (X); D (X).

38. За заданою функцією розподілу визначити а; b; М (Х); D (Х).

39. За заданою щільністю ймовірностей знайти М (Х), D (X).

40. Задано щільність імовірностей . Знайти М (Х); D (X); s (X).

41. Випадкова величина Х має щільність імовірностей Знайти а; М (Х).