­­­­­­­­­­­­­­­­­ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Тверской государственный технический университет

­­­­­­­­­­­­­­­­­

 

Кафедра информатики и прикладной математики

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Методическая разработка для студентов заочников первого курса  

ФАМИЛИЯ, ИМЯ, ОТЧЕСТВО

НОМЕР СТУДЕНЧЕСКОГО БИЛЕТА (или ЗАЧЁТНОЙ КНИЖКИ)

НАЗВАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

НОМЕР КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

НОМЕР ВАРИАНТА

Номер варианта, который должен выполнить студент, соответствует последней цифре номера студенческого билета (или зачетной книжки)

 

 

ТЕМА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Матрицы. Действия над матрицами.

Часто записывают Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то матрица называется квадратной, в противном случае –…

Определители.

Определитель матрицы порядка 1 равен элементу матрицы. Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Обратная матрица

Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная. Обратная матрица находится по правилу

Ранг матрицы

При этом пишут rank A=r. Если ранг матрицы А равен r, то любой отличный от нуля минор порядка r называется базисным. Итак, для того чтобы вычислить ранг матрицы, необходимо вычислить все её… Очевидно, что ранг невырожденной матрицы равен порядку матрицы.

Системы линейных уравнений

Система называется однородной, если Матрица называется матрицей коэффициентов.

Примеры

1. Даны матрицы и число . Найти .

2. Дана матрица . Найти .

 

3. Даны матрицы

Найдите

I способ.

II способ.

4. Вычислить определитель

Вычислим определитель различными способами:

1) по правилу треугольников

2) разложим определитель по первой строке

3) приведём определитель к треугольному виду

5. Вычислить определитель

I способ.

Лучше разложить данный определитель по строке или столбцу, содержащим нули, т.к. наличие нуля уменьшает вычисления. Выберем, например, второй столбец.

 

II способ.

6. Найти , если . Сделать проверку.

1) , значит существует .

2) Найдём алгебраические дополнения

3)

4) Проверка

7. Методом элементарных преобразований найти для матрицы

8. Найти ранг матрицы

9. Решить систему уравнений

а) методом Крамера

б) матричным способом

в) методом Гаусса

а)

б)

существует

Найдём .

в)

По данной матрице запишем систему уравнений

Из последнего уравнения найдём , подставим его во второе уравнение, найдём , а затем из первого найдём .

10. Определить совместность системы

Ранг матрицы коэффициентов равен 2. Ранг расширенной матрицы равен 3. Следовательно, система несовместна.

11. Решить систему уравнений

 

Матрица приведена к трапецеидальному виду, под главной диагональю элемент равен нулю. Полученная матрица является расширенной матрицей системы, равносильной исходной. Ранг этой матрицы совпадает с рангом исходной. Поэтому заключаем, что система совместна, т.к. ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и равен 2. Система будет иметь свободных неизвестных и 2 базисных.

Пусть - базисные переменные,

- свободные

Тогда

Выразим из первого равенства через свободные

Общее решение может быть записано в виде

Замечание. Поскольку существует свобода выбора базисных и свободных переменных, то общее решение может быть записано в различных, но естественно, равносильных формах.

 

12. Решить систему уравнений.

 

Запишем систему уравнений

Из последнего уравнения . Так как , то в системе 3 базисные переменные и 2 свободные. Так как однозначно определена, то она базисная и пусть и - тоже базисные. Тогда - свободные. (За базисные неизвестные необходимо выбирать такие, при которых матрица коэффициентов не вырождена).

Выразим из второго уравнения через

Из первого уравнения найдём

.

Тогда общее решение системы имеет вид

, где

Обозначим

Эти векторы образуют фундаментальную систему решений.

Любое решение системы запишется в виде

 

ТЕМА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

 

Векторы. Основные определения.

B  

Скалярное произведение.

Свойства скалярного произведения: 1). 2).

Векторное произведение.

В случае, если поворот по часовой стрелке, тройка называется левой.    

Смешанное произведение.

Геометрические свойства: 1). Если V – объём параллелепипеда, построенного на векторах , то . Если -… 2). Вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.

Прямая на плоскости.

1). - общее уравнение прямой; 2). - уравнение с угловым коэффициентом. - угловой коэффициент и он равен… 3). - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору ;

Угол между двумя прямыми.

и Нормальные векторы прямых имеют координаты:

Плоскость в пространстве.

1). - общее уравнение плоскости; 2). - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному… 3). - уравнение плоскости в отрезках, - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;

Прямая в пространстве.

1). Общими уравнениями , что равносильно её заданию как линии пересечения двух плоскостей;

Предел последовательности

Обозначение . С геометрической точки зрения это означает, что в любой - окрестности точки… Последовательность называется бесконечно малой, если .

Предел функции

Обозначение . Число b называется пределом функции при слева, если каково бы ни было… .

Некоторые эталонные пределы

2. 5. 3. 6. 7. 9.

Непрерывность функции

Геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции в точках и будет мала, если достаточно мало. Определение. Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то она… Если функция определена при и при этом , то говорят, что функция непрерывна в точке справа.

Классификация точек разрыва

Точка функции называется точкой разрыва I рода, если существуют конечные односторонние пределы и .

Точка разрыва I рода называется устранимой, если .

Если односторонние пределы конечны, но не совпадают, то - неустранимая точка разрыва.

Точка функции называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Примеры.

1. . y

 

; 1

. x

- точка разрыва

I рода устранимая.

 

y

2. . 1

0 x

;

- точка разрыва I рода неустранимая.

3. y

.

 

; 0

- точка разрыва II рода.

 

 

4. Исследовать на непрерывность функцию

y=.

Естественно, что на интервалах (-∞;-2), (-2;0) и (0;+∞) функция непрерывна. Проверке подлежат только точки х = -2 и х = 0.

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку х = -2.

.

Вычислим односторонние пределы:

.

Так как односторонние пределы не совпадают, х = -2 - точка разрыва функции I рода неустранимая.

Рассмотрим точку х = 0.

x = 0 - точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

 

5. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

.

Решение. Область определения функции

Точка разрыва х = -10.

Найдем односторонние пределы:

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель (2х + 5)-15, но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рисунке.

 

 

 

 

 

Производная и дифференциал

Таблица производных простейших элементарных функций 1. 8. 2. 9.

Правило Лопиталя

Примеры 1. Найти пределы 1) 2)

Преобразование неопределённостей

1) или ; 2) ; 3)

Контрольная работа №1

Задание 1.Найти решение неоднородной системы линейных уравнений а) с помощью правила Крамера; б) методом Гаусса:

Задание 1

 

1) ; 6) ;

 

2) ; 7) ;

 

3) ; 8) ;

 

4) ; 9) ;

 

5) ; 10) .

 

Задание 2

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

 

Задание 3

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 4

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 5

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

 

Вычислить производные:

Задание 6

1) ; 6) ; 2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

 

8) ; 10) .

Задание 7

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

Задание 8

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

 

 

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.1

2. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики, т.1

3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.

5. Рябушко А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике, т.1.

6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу.

 

Программа к экзамену

Матрицы и определители (общие понятия). Прямоугольная, квадратная, единичная, транспонированная матрица. Свойства опре­делителей. Алгебраические дополнения и миноры. Разложение опреде­лителя по строке (столбцу).

Операции над матрицами. Линейные операции, умножение матриц. Невырожденная, обратная матрица. Элементарные преобразо­вания матрицы. Ранг матрицы. Нахождение обратной матрицы. Определение ранга.

Системы линейных уравнений. Однородная и неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Совместная система. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений, общее решение. Методы решения: правило Крамера, метод Гаусса.

Векторы (общие понятия). Определение вектора. Равенство, коллинеарность, компланарность векторов. Длина вектора. Проекция вектора на ось. Сложение векторов и ум­ножение вектора на число. Линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов. Разложение вектора по базису. Прямоугольные координаты и направляющие косинусы вектора

Умножение векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, геометри­ческий смысл, выражение через координаты сомножителей. Угол между векторами, условия их ортогональности, коллинеарности и компла­нарности.

Прямая линия. Уравнение прямой на плоскости, его различные формы. Расстояние от точки до прямой. Углы между прямыми, условия их параллельности, ортогональности.

Плоскость. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Углы между плоскостями, прямой и плоскостью, условия их параллельности, ортогональности.

Кривые второго порядка. Уравнения и свойства кривых второго порядка на плоскости:окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

Предел функции одной переменной. Предел функции в точке. Свойства сходящихся функций. Односторонние преде­лы. Первый и второй замечательные пределы.

Непрерывность функции. Непрерывность в точке и на отрез­ке. Точки разрыва функции.

Производная функции. Приращение функции и аргумента. Ге­ометрический и механический смысл производной (задачи о касатель­ной и скорости). Дифференцируемость функции. Производные высших порядков.

Правила дифференцирования. Производная суммы, произведе­ния и отношения функций. Дифференцирование сложной, параметричес­ки заданной и обратной функций.

Раскрытие неопределенностей. Применение производных для нахождения пределов неопределенных выражений. Первое и второе правила Лопиталя.

Локальный экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Схема нахождения экстремумов, наибольшего и наименьшего значения функции.

Построение графика функции. Определение экстремумов, областей монотонности, выпуклости и вогнутости кривой, точек перегиба. Правило нахождения асимптот графика функции. Общая схема построения графика.