Угол между двумя прямыми.

1). Пусть заданы две прямые:

и

Нормальные векторы прямых имеют координаты:

Угол между прямыми можно найти как угол между нормальными векторами:

.

Условие параллельности двух прямых:

.

Условие перпендикулярности:

т.е. .

2). Если прямые заданы каноническими уравнениями:

и ,

то их направляющие векторы: .

Аналогично с п.1). имеем:

Условие параллельности:

.

Условие перпендикулярности:

.

3). Если две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

,

тогда угол между прямыми можно вычислить по формуле:

,

при этом угол отсчитывается в направлении от первой прямой ко второй.

Условие параллельности:

.

Условие перпендикулярности:

.

Примеры:

1. Дано общее уравнение прямой: . Напишите различные типы уравнений этой прямой.

а). Уравнение прямой в отрезках;

б). Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

в). нормальное уравнение прямой;

.

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение: Воспользуемся уравнением

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и начало координат.

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

4. Написать уравнение прямой с направляющим вектором и проходящей через точку

Решение:

5. Найти угол между прямыми и

Решение:

6. Показать, что прямые и перпендикулярны.

Решение:

Найдём скалярное произведение и

, следовательно, прямые перпендикулярны.

7. Даны вершины треугольника . Найти уравнения медианы, высоты, биссектрисы, проведённых из вершины С.

С

 

А Н М К В

а). медиана СМ

точка М – середина отрезка АВ.

Найдём координаты точки М:

Итак, точка

Найдём уравнение СМ как прямой, проходящей через 2 точки М(3,3) и С(12,-1)

б). высота СН

Так как , то вектор , значит он является нормальным для прямой СН, также известны координаты точки С, через которую проходит прямая СН.

в). биссектриса СК

Воспользуемся следующим свойством биссектрисы: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.

Возьмём на биссектрисе СК текущую точку . По свойству имеем: . Но и есть расстояния от точки N до АС и ВС соответственно.

 

 

C

N

A K B Составим уравнения АС и ВС:

АС:

ВС:

Нормируем эти уравнения:

, следовательно, АС: ,

тогда ;

, следовательно, ВС: ,

тогда .

Так как

Для того, чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно прямых АС и ВС. Так как нормали из точки О в сторону АС и ВС сонаправлены, то соотношение примет вид:

СК: .

8. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку и составляющих с прямой угол .

Будем искать уравнение прямой в виде . Так как прямая проходит через точку А, то её координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. . Угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами можно найти по формуле:

.

Так как угловой коэффициент данной прямой равен , а угол , то

Имеем два значения k:

.

Найдём соответствующие значения b:

Получили две искомые прямые: .

9. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного прямой и осями координат равна 8.

Будем искать уравнение прямой в отрезках

, так как , то

 

 

 

10. При каких значениях параметра t прямые и параллельны?

Прямые, заданные общими уравнениями параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е.

11. Найти уравнение общей хорды двух окружностей:

Решение: Найдём точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

Соответственно, .

Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки , через которые проходит эта прямая:

12. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение: Нормируем уравнение прямой .

.