Определители.

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое det A или .

Определитель матрицы порядка 1 равен элементу матрицы.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса (треугольников) или правилом «35»

Правило Саррюса состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на 6 троек. Тройке придаётся знак «+», если элементы, входящие в неё, расположены на главной диагонали или в вершинах треугольника с основанием параллельным главной диагонали, или знак «-», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах треугольника с основанием параллельным побочной диагонали. Затем берётся сумма произведений элементов троек с учётом их знаков.

Правило «» использует схему

(к матрице добавлены первые два столбца)

Элементы матрицы соединены отрезками. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придаётся знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «-», если побочной. Определитель равен сумме произведений элементов троек с учётом их знаков.

Определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Для вычисления определителя иногда оказывается удобным приведение матрицы к треугольному виду с использованием свойств определителя.

Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

Свойства определителя

1). det A=detA

2). При перестановке двух строк меняется знак определителя.

3). Определитель матрицы, имеющей нулевую строку, равен нулю.

4). Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю.

5). Общий множитель строки можно вынести за знак определителя.

6). Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

7). Все свойства, перечисленные для строк, верны и для столбцов.

8). det(AB)=detAdetB.

Минором элемента называется определитель , полученный из матрицы А после вычёркивания i – й строки и j – го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется число .

Любой определитель можно разложить по любой строке или столбцу

det

det