Системы линейных уравнений

Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система уравнений вида:

Система называется однородной, если

Матрица называется матрицей коэффициентов.

Матрица называют расширенной матрицей системы.

Столбец называют столбцом неизвестных.

Столбец называют столбцом свободных членов.

С учётом этих обозначений можно записать систему в матричной форме

.

Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда , и общий случай, когда .

1) Квадратная система

Пусть дана СЛУ, в которой и .

Существуют три основных метода решения СЛУ:

а) метод Крамера

б) метод обратной матрицы

в) метод Гаусса

а) Обозначим

(определитель получается из заменой i-го столбца на столбец свободных членов)

Тогда

б) Рассмотрим СЛУ в матричной форме

Домножим слева на

Но произведение

Таким образом

 

в) При решении СЛУ методом Гаусса, расширенную матрицу системы приводят к треугольному виду с помощью элементарных преобразований

По данной матрице составляется система

Из последнего равенства найдём и подставим его в предыдущее

Из этого равенства найдём и подставим в предыдущее и т.д.

2) Общий случай

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

.

В случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, систему удобно решать методом Гаусса, который состоит в приведении расширенной матрицы к трапецеидальному виду путём применения элементарных преобразований. Если при этом на некотором этапе получается строка, в которой все элементы, кроме столбца свободных членов, равны нулю, то система несовместна (это случай, когда ). Если , то система имеет бесконечно много решений, и каждое решение зависит от не зависящих друг от друга параметров, т.е. степень свободы системы . В качестве параметров удобно брать «лишние неизвестные», которые объявляются свободными, остальные переменные – базисные выражаются через свободные.

Однородная система линейных уравнений

Расширенная матрица отличается от матрицы коэффициентов наличием нулевого столбца, т.е. . Значит, по теореме Кронекера-Капелли система всегда совместна. Одно решение очевидно - . Это решение называется тривиальным. Если , то решение единственное – тривиальное, если , то решений бесконечно много.

Обозначим базисные неизвестные , тогда

В матричной форме

Можно записать так:

, где

Решение называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы. Общее решение системы является линейной комбинацией фундаментальной системы решений.