Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной - Лекция, раздел Математика, Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например Уравнение Вида
Где Неизвестная Функция, Известные Фу...
Уравнение вида
где неизвестная функция, известные функции[2], называется линейным дифференциальным уравнением. Если то уравнение (1) называется однородным. Если то (1) называют неоднородным уравнением. Часто называют свободным членом уравнения (1) или неоднородностью.
Теорема 1.Пусть в уравнении (1) функции непрерывны на отрезке Тогда уравнение (1) с начальным условием имеет на отрезке
единственное решение и это решение может быть записано в виде
Доказательство.Найдем решение уравнения (1). Применим для этого так называемый метод вариации произвольной постоянной Лагранжа, который состоит в следующем.
Решим сначала однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):
Затем вычислим решение уравнения (1), варьируя постоянную в решении однородного уравнения, т.е. будем определять решение уравнения (1) в виде где неизвестная функция. Подставляя предполагаемое решение в уравнение (1), будем иметь
откуда находим Значит, общее решение уравнения (1) можно записать в виде
Подчиняя его начальному условию найдём, что Следовательно, решение уравнения (1) с начальным условием имеет вид (2). Теорема доказана.
Замечание 1.Так как второе слагаемое в есть частное решение ( ) неоднород-
ного уравнения (1) (проверьте это!), а первое слагаемое суть общее решение соответствующего однородного уравнения, то для линейных дифференциальных уравнений имеет место утверждение: общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е.
Замечание 2.В отличие от нелинейных уравнений, имеющих, как правило, локальные решения, линейные дифференциальные уравнения имеют “глобальные решения,” т.е. они существуют на отрезке на котором непрерывны коэффициенты уравнения (1).
И наконец, отметим, что так называемое уравнение Бернулли:
приводится к линейному уравнению делением обеих частей на и дальнейшей заменой переменной
Пример 1(Кузнецов Л.А. Типовые расчеты).Решить задачу Коши
Решение.Можно было бы сразу воспользоваться формулой (6), но мы ещё раз продемонстрируем метод Лагранжа. Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
Вычисляя общее решение исходного уравнения в виде , будем иметь
Значит, общим решением данного неоднородного уравнения является функция
Подчиняя её начальному условию будем иметь Следовательно, решением исходной задачи Коши будет функция
Если в уравнении порядок то это уравнение называют уравнением высшего порядка. Мы будем рассматривать уравнения высших порядков, разрешённые относительно старшей производной:
Областью определения уравнения (1) называется множество
семестр часть Дифференциальные уравнения... В каждой лекции все формулы определения и теоремы нумеруются так же как и в... Лекция Общие понятия Начальная задача задача Коши и теорема существования и единственности решения задачи Коши...
Уравнения, допускающие понижение порядка
Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение
Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам:
1) построение фундаментальной системы решений соответствую
Алгоритм 1.
1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производные на степени ( ).
2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности.
3)
Предел и непрерывность функции комплексной переменной
Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и – действительные величины.
Ниже везде, есл
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую
Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимост
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов