рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Предел и непрерывность функции комплексной переменной

Предел и непрерывность функции комплексной переменной - Лекция, раздел Математика, Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например   Ниже Везде, Если Не Оговорено Противное, Все Функции Считаютс...

 

Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и – действительные величины.

Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и -- действительные величины.

 

Определение 8. Число называется пределом функции в точке (или при ), если

 

При этом пишут:

 

 

Геометрическая иллюстрация предела дана на рис. 6. Так же, как для действительных функций двух переменных, здесь действует правило: Так же, как для действительных функций двух переменных, здесь действует правило: если предел существует,то он не должен зависеть от того, по какому пути текущая точка стремится к предельной точке Если найдутся два различных пути, по которым функция имеет различные пределы, то не существует.

Из определения 8 вытекают следующие утверждения:

 

 

(если

 

Заметим, что для числа аргумент не определён (удобно считать, что он произвольный), поэтому произвольный.

 

Поскольку определение предела функции комплексного переменного дословно повторяет аналогичное определение функции действительного переменного, то для комплексных функций справедливы все теоремы о пределах (о пределе суммы, произведения, частного и т.д.), сформулированные ранее для действительных функций. Нет нужды повторять их. Отметим только, что здесь аналогичным образом вводятся классы

 

для которых справедливы те же свойства, что и действительных классов. Например,

 

Справедлива также таблица эквивалентных бесконечно малых, которую мы напомним в соответствующем месте.

Определение 9. Функция называется непрерывной в точке если:

а) определена в точке и некоторой её окрестности;

б)

Из свойства 1 вытекает, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда одновременно непрерывны в точке её действительная часть и мнимая часть Таким образом, непрерывность в комплексном анализе аналогична непрерывности в действительном анализе, а значит, и там и там свойства непрерывных функций аналогичны друг другу. Например, если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области то она ограничена в

В заключение приведем определения и свойства основных элементарных функций комплексного переменного. Некоторые из этих свойств будут обоснованы в следующей лекции.

1. Показательная функция определяется следующим образом:

 

Она обладает следующими свойствами:

10) Область определения показательной функции -- все множество

20) Модуль и аргумент показательной функции. Из формулы (2) находим, что , поэтому

 

 

30) Область значений показательной функции все множество , кроме нуля, т.к.

40)

50) т.е. показательная функция периодическая с основным периодом, равным .

60) -- формула Эйлера.

 

2. Тригонометрические функции и . Они определяются следующим образом:

 

Имеют место формулы

 

Эти функции обладают следующими свойствами:

 

70) Тригонометрические функции и определены для

 

90) ,

 

 

Из основного тригонометрического тождества и теорем сложения можно получить обычные тригонометрические формулы: формулы приведения, синус и косинус кратного аргумента, формулы понижения степени и т.д. Отметим, что и могут быть не ограниченными.

110) Функции являются периодическими с периодом .

3. Тригонометрические функции и определяются равенствами

 

Для них также сохраняются свойства "действительной" тригонометрии.

4. Гиперболические функции определяются равенствами:

 

Между тригонометрическими и гиперболическими функциями устанавливается связь:

 

Справедливо также соотношение

 

5. Логарифмическая функция -- комплекснозначный логарифм -- определяется как функция, обратная к показательной . Покажем, что

 

Пусть Имеем

 

 

Значит, т.е. имеет место формула (3).

Логарифм является бесконечнозначной функцией. Вводится понятие главного значения (однозначной ветви) логарифма: Справедливы соотношения:

 

 

 

Эти равенства следует понимать как равенства между множествами.

Заметим, что если положительное действительное число, то

 

В этом случае логарифмическая функция принимает бесконечное множество значений, одно из которых при действительно, т.е. главное значение логарифма совпадает с логарифмической функцией действительного аргумента.

6. Обратные тригонометрические функции определяются как решения соответствующих уравнений (например, функция есть обратная по отношению к , т.е. это решение уравнения и т.д.) Все эти функции бесконечнозначны и выражаются через логарифмические функции:

 

 

 

7.Обратные гиперболические функции вычисляются по формулам:

 

 

8. Степенная функция определяется по формуле

-- комплексные числа).

9. Показательная функция . По определению полагаем

 

Из представления видно, что эта функция представляет собой совокупность отдельных ветвей, отличающихся друг от друга множителем .

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например

семестр часть Дифференциальные уравнения... В каждой лекции все формулы определения и теоремы нумеруются так же как и в... Лекция Общие понятия Начальная задача задача Коши и теорема существования и единственности решения задачи Коши...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Предел и непрерывность функции комплексной переменной

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
Уравнение вида   где неизвестная функция, известные функции[2], называется линейным дифференциальным уравнением. Если то уравнение (1) называется однородным. Ес

Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
  Сначала дадим понятие решения уравнения (3). Определение 1.Решением уравнения (3) на отрезке называется такая функция которая удовлетворяет

Уравнения, допускающие понижение порядка
Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение

Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
  Пусть функции имеют смысл на отрезке Определение 1. Говорят, что система функцийлинейно зависима на отрезке , если существуют постоянные , не равные

Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
  Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение   Докажем следующий важный результат. Теорема 5. Пусть функции являются

Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
  Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение   Докажем следующее утверждение. Теорема 1(о структуре общего решения неоднородно

Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
  Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам: 1) построение фундаментальной системы решений соответствую

Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
  Напомним, что комплексными числами называют числа вида где и – действительные числа, --- мнимая единица ( ). При этом называется действительной частью, а – м

Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
  Напомним сначала, что корень характеристического многочлена называется корнем кратности если   Полезно заметить, что если полином имеет различных корне

Алгоритм 1.
1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производные на степени ( ). 2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности. 3)

Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
  Для неоднородного уравнения   с непрерывными на отрезке коэффициентами и неоднородностью был изложен метод вычисления частного решения называемый методом в

Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
  Равенство (1) называется формулой Муавра. Используя его, можно вывести формулу извлечения корня й степени из комплексного числа. Однако для этого надо ввести сначала понятие

Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции
  Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности Сместимся из точки в точку Тогда аргумент функции получит приращение , а сама функция -- приращение Опре

Геометрический смысл модуля и аргумента производной
  Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую

Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
  Напомним, что множество называется односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в можно стянуть в точку, не выходя из . Множество называется связным, если его гра

Первообразная функции комплексных переменных
  Функция называется первообразной функции в области в области если дифференцируема в и Теорема 1. Если однозначная функция дифферен

Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
  Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимост

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги