Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции

 

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности Сместимся из точки в точку Тогда аргумент функции получит приращение , а сама функция -- приращение

Определение 1. Если существует конечный предел

 

 

то его называют производной функции в точке и обозначают

 

С понятием производной тесно связано понятие дифференцируемости функции в точке

функция называется дифференцируемой в точке если её приращение в этой точке представляется в виде

 

где постоянная, не зависящая от При этом величина называется дифференциалом функции в точке и обозначается Разделив обе части равенства (2) на будем иметь Последнее равенство означает, что существует предел (1), т.е. что существует производная и что она равна Q. Таким образом, дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию производной . При этом и значит,

 

 

Как уже отмечалось выше, не любая (даже очень простая) функция дифференцируема в точке Для этого её мнимая и действительные части должны быть определенным образом подчинены друг другу в следующем смысле.

 

Теорема Коши-Римана. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке её действительная и мнимая части были дифференцируемы (как функции действительных переменных) и чтобы в этой точке имели место равенства

 

(равенства (3) называются условиями Коши-Римана).

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в точке {textit{ }} Тогда имеет место асимптотическое разложение (2). Запишем его более подробно:

 

где ^[4]. Отделяя здесь мнимые и действительные части, получим

 

Эти равенства означают, во-первых, что функции дифференцируемы как функции действительных переменных и в точке и, во-вторых, что имеют место равенства

 

в точке Таким образом, если функция дифференцируема в точке то имеют место условия Коши-Римана (3). Рассуждая обратным ходом, покажем, что при выполнении условий (3) функция будет дифференцируемой в точке Теорема доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что если } дифференцируема в точке то ее производную в этой точке можно вычислять по формуле или по формуле .

Пример 1. Проверить, будет ли функция дифференцируемой. Если да, то найти её производную.

Решение. Выделим сначала в мнимую и действительные части:

 

Теперь проверим условия Коши-Римана. Имеем

 

значит, условия (3) Коши-Римана выполняются для всех Следовательно, функция дифференцируема в любой точке Её производную находим по формуле .

Таким образом, как и ожидалось, мы получили, что Забегая вперёд, отметим, что производные всех элементарных однозначных комплексных функций находятся по тем же правилам, что и производные действительных функций. Например,

 

То же замечание справедливо и для отдельных ветвей многозначных функций. Например,

 

Введём теперь следующее важное понятие.

Определение 2. Функция называется аналитической в точке если она дифференцируема как в точке так и в некоторой её окрестности.

Аналитичность функции в точке равносильна тому, что удовлетворяет условиям Коши-Римана (3) в некоторой окрестности точки (включая и саму точку

 

Определение 3.Функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области }если она аналитична в любой точке этой области.

Заметим, что действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа: Это непосредственно вытекает из условий Коши-Римана. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.

Пример 2. Является ли функция аналитической хотя бы в одной точке?

Решение. Так как , то , . Условия Коши--Римана имеют вид: , и выполняются только в точке . Следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не аналитична. По определению запишем: . Таким образом, производная существует и равна нулю.

Так как мнимая и действительная части аналитической функции связаны условиями Коши-Римана (3), то определяется (с точностью до постоянного слагаемого) либо своей действительной, либо мнимой частью. Покажем это на примере.

Пример 3. Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть дополнительном условии .

Решение. Так как , то из условий Коши-Римана (3) находим производные действительной части:

 

 

Решив первое из этих уравнений, находим где -- произвольная функция переменной . Для определения дифференцируем по и подставляем в (2): , откуда и . Следовательно, и окончательно получим:

 

т.е. действительная часть восстанавливается с точностью до постоянного слагаемого. Условие позволяет найти эту постоянную однозначно: . Таким образом, .

Имеют место следующие утверждения.

 

1. Степенная функция с натуральным показателем аналитична во всей комплексной плоскости причем

 

2. Каждая ветвь

- фиксировано) функции аналитична в области причем

3. Комплексная экспонента аналитична во всей плоскости причем

4. Комплексные тригонометрические функции и аналитичны во всей плоскости причем То же утверждение имеет место и для гиперболических функций, причем

5. Каждая ветвь логарифми-

ческой функции аналитична в области причем

 

 

Все эти утверждения проверяются с помощью соотношений Коши-Римана.