Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана

 

Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимости степенного ряда

 

(с центром ), то легко найдем и область сходимости исходного ряда Поэтому впредь, если не оговорено противное, будем рассматривать степенные ряды .

Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно и в круге В любом замкнутом круге указанный ряд сходится равномерно.

Так же, как и в действительном анализе, здесь вводится понятие радиуса сходимости ряда.

Определение 2. Число называется радиусом сходимости ряда (2), если внутри круга этот ряд сходится абсолютно, а вне замкнутого круга он расходится. При этом круг называется кругом сходимости ряда .

Заметим, что при указанный степенной ряд сходится только в точке а при он сходится при всех комплексных Следующие примеры показывают, что эти случаи не исключаются: Примером ряда с ненулевым конечным радиусом сходимости может служить геометрическая прогрессия Заметим также, что на границе круга сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, ряд сходится условно в точке и расходится в точке

Здесь так же, как и в действительном анализе имеет место утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:

а) существует (конечный или бесконечный) предел

б) существует (конечный или бесконечный) предел (при этом предполагается, что существует номер такой, что ).

Тогда число радиус сходимости ряда .

Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности производные Тогда этой функции можно поставить в соответствие степенной ряд

 

Этот ряд называется рядом Тейлора, построенным по функции Возникают следующие естественные вопросы:

1) при каких условиях на функцию ряд сходится и какова область его сходимости?

2) при каких условиях на функцию ряд сходится именно к функции по которой он строится?

На первый вопрос можно ответить, применяя к признаки сходимости степенных

рядов. Ответ на второй вопрос содержится в следующем утверждении.

Теорема 2 (о разложимости аналитической функции в ряд Тейлора). Пусть функция аналитична в области Тогда в любом круге лежащем в области функция разлагается в степенной ряд

абсолютно сходящийся в круге Этот ряд необходимо является рядом Тейлора

для функции т.е.

Таким образом, разложение аналитической функции в степенной ряд единственно.

Доказательство. Возьмём произвольно точку и опишем круг охватывающий точку Так как функция аналитична в односвязной области то для неё справедлива интегральная формула Коши:

 

Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом:

[выносим за скобку вектор максимальной длины ]=

= Так как то геометрическая прогрессия

разлагается в равномерно сходящийся в круге степенной ряд

 

Поэтому

 

Подставляя это в (4), будем иметь

 

Учитывая, что (контур обходится против часовой стрелки)

 

получаем утверждение нашей теоремы.

Для комплексных функций имеют место стандартные разложения в степенные ряды.

 

Таблица 1. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды

 

 

Лекция 8. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце

 

Сначала введём следующее понятие.

Определение 3. Ряд вида

называетсядвухсторонним степенным рядом.

Ряд вида (5) сходится в области, в которой сходятся одновременно ряды

 

 

Ряд (6) сходится в области , т.е. вне замкнутого круга с центром в точке и радиуса , а ряд (7) – в круге . Поэтому: если 1) , то ряд (5) расходится всюду; 2) если , то ряд (5) сходится в кольце .

Пример 1[5].Определить область сходимости ряда

Решение. Для первого из рядов имеем , Следовательно, . Значит, первый ряд сходится в области . Для второго ряда имеем . Радиус его сходимости Значит, второй ряд сходится в области . Таким образом, исходный двухсторонний ряд ряд сходится в кольце .

Ранее была доказана теорема 2, из которой следует, что если функция аналитична в то в окресности любой точки она не может быть представлена в виде двухстороннего степенного ряда (5). Какие же функции представляются такими рядами? Ясно, что такие функции должны терять аналитичность в точке т.е. эта точка должна быть особой для Дадим более точное понятие особой точки.

Определение 4.Говорят, что точка является изолированной особой точкой для функции если сушествует проколотая окрестность такая, что функция аналитична в но в самой точке она либо не определена, либо на аналитична.

Определение 5.Изолированная особая точка функции называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел Если то точка называется полюсом. Полюс называется полюсом го порядка, если существует конечный предел И, наконец, точка называется существенно особой точкой для если не существует ни конечный, ни бесконечный предел

Нетрудно видеть, что если функция аналитична в точке то она разлагается в степенной ряд абсолютно сходящийся в круге с центром в точке и с радиусом, равным расстоянию от до ближайшей особой точки функции .

Следующее утверждение устанавливает условия разложимости функции в двусторонние степенные ряды.

Теорема Лорана.Если функция аналитична в кольце

 

то в любой точке этого кольца она разлагается в двухсторонний степенной ряд

 

абсолютно сходящийся к При этом коэффициенты ряда (8) вычисляются по формулам

 

где любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в кольце , охватывающий точку и обходимый против часовой стрелки.

Доказательства этого утверждения основано на применении интегральной формулы Коши и проводится по аналогии с доказательством теоремы Тейлора.

Заметим, что ряд (8) называется рядом Лорана для функции При этом его составляющая состоящая из отрицательных степеней двучлена называется его главной частью, а составляющая состоящая из неотрицательных степеней двучлена – правильной частью ряда Лорана (8) . На следующей лекции будет установлена связь типа изолированной особой точки функции и разложением в окрестности этой точки в ряд Лорана функции . Рассмотрим примеры[6].

Пример 2.Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение.Надо представить функцию в виде ряда Преобразуем данную функцию:

.

Первые два слагаемых в правой части (9) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , .

Применив формулу 1 таблицы 1, будем иметь

.

Дифференцированием по находим, что

.

Подставляя найденные разложения в формулу (9), получаем представление функции в кольце в виде ряда Лорана:

.

Пример 3.Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности .

Решение.Используем разложение (см. таблицу 1) . Полагая в нём , будем иметь .

Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае "кольцо" представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой .

Пример 4. Получить различные разложения в ряд Лорана функции с учетом её особых точек.

Решение.Функция имеет две особые точки: и . Следовательно, имеется три кольца с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) ; в) – внешность круга . Найдем ряды Лорана для функции в каждом из этих колец. Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей:

.

а) Разложение в круге . Преобразуем (10) следующим образом:

.

Используя формулу 1 из таблицы 1, получаем

.

Подставляя эти разложения в (11), приходим к разложению

Это разложение есть разложение в ряд Тейлора функции .

б) Разложение в кольце . Ряд для функции остается сходящимся в этом кольце, так как . Ряд для функции расходится для . Поэтому преобразуем следующим образом:

.

Применяя формулу 1 таблицы 1, получаем разложение

.

Этот ряд сходится, если , т.е. при . Подставляя найденные разложения получим, что

.

в) Разложение для . Ряд для функции при расходится, а ряд для функции сходится, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде:

.

Используя формулу 1 таблицы 1, получаем,что

.

Пример 4.Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Особые точки функции: .

а) Разложение в окрестности точки , т.е. в кольце . Представим функцию в виде суммы простейших дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в котором заменим на – , получим или .

б) Разложение в окрестности точки , т.е. в кольце . Имеем

 

.

 

 

 

[1] Здесь отрезок может быть заменен на промежутки причем могут быть равными

[2] Функции и называют ещё коэффициентами уравнения (5).

[3] Рисунки взяты из http://www.bestreferat.ru/referat-110504.html

[4] Очевидно, что

[5] См. учебное пособие “Острая О.В. Теория функций комплексного переменного.– Оренбург, 2008”.

[6] См. учебное пособие “Острая О.В. Теория функций комплексного переменного.– Оренбург, 2008”.