Уравнения, допускающие понижение порядка

Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение

 

не содержащее в правой части неизвестную функцию. Оно легко решается последовательным интегрированием:

 

где произвольные постоянные. Нетрудно доказать так называемую формулу Коши для мерного повторного интеграла:

 

и, стало быть, записать решение (5) с помощью одномерного интеграла.

а) Уравнение, в котором отсутствуют неизвестная функция и её производные до порядка включительно:

 

Порядок уравнения (7) понизится на единиц, если ввести новую функцию

Действительно, после этой замены получим уравнение Если это

уравнение имеет общее решение то для решения исходного уравнения (7) надо проинтегрировать уравнение Это уравнение типа (4). Его решение вычисляется последовательным интегрированием.

б) Уравнение, в котором отсутствует в правой части независимая переменная

 

Здесь для понижения порядка надо ввести новую неизвестную функцию Чтобы не усложнять выкладки, рассмотрим уравнение второго порядка

 

Сделав замену будем иметь (учесть, что ):

 

При этом уравнение (8) приобретает вид т.е. является уравнением первого порядка. Найдя общее решение этого уравнения, получим решение исходного уравнения (8), если проинтегрируем уравнение Рассмотрим примеры.

Пример 2(Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Найти общее решение дифференциально-

го уравнения

Решение. Так как в уравнении отсутствуют сама функция и ее производная, то делаем

замену . Тогда и уравнение приобретает вид

 

Получили линейное однородное уравнение первого порядка. Решаем его методом разделения переменных:

 

Теперь находим решение исходного уравнения:

 

Пример 3(Кузнецов Л.А. Типовые расчеты). Решить задачу Коши

 

Решение. Так как в уравнении отсутствует независимая переменная то делаем замену замену Будем иметь (учесть, что ):

 

Исходное уравнение преобразуется к виду Начальное условие для функции

находим, полагая в этом равенстве Тогда

 

Итак, надо решить задачу Разделяя переменные, получим

 

Учитывая, что в окрестности точки функция положительна, будем иметь

Полагая в этом равенстве и учитывая, что , получаем, что

т.е. Значит,

 

Полагая в этом равенстве и учитывая, что найдём, что Следовате-

льно, Это и есть ответ.

 

Лекция 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. Однородные уравнения. Пространство решений, его размерность и базис (фундаментальная система решений). Структура общего решения.

Определитель Вронского. Условия линейной независимости решений однородного линейного дифференциального уравнения

 

 

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение

 

в котором неизвестная функция и все ее производные входят линейным образом (т.е. с целой неотрицательной степенью не выше первой). При этом функции называются коэффициентами уравнения (1), а правая часть – неоднородностью этого уравнения. Если в (1) отсутствует неоднородность то уравнение (1) называется однородным. Если же то уравнение (1) называется неоднородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (1) можно записать кратко , если обозначить через –дифференциальный оператор --гo порядка: