Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана

 

Пусть функции имеют смысл на отрезке

Определение 1. Говорят, что система функцийлинейно зависима на отрезке , если существуют постоянные , не равные нулю одновременно, такие, что имеет место тождество

 

Если же тождество (3), где – постоянные, выполняется тогда и только тогда, когда все числа равны нулю ( то система функций называется линейно независимой на отрезке

Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость на промежутках причем не исключается и случай бесконечного промежутка. Заметим, что выражение называется линейной комбинацией функций а числа – коэффициентами линейной комбинации.

Пример 1. Доказать, что система функций

 

линейно независима на любом отрезке

Решение. Составим линейную комбинацию функций (4) и посмотрим, когда она тождественно обращается в нуль:

 

Слева стоит многочлен с коэффициентами Само тождество означает, что любое число из отрезка является корнем этого многочлена. Если хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, то получилось бы, что указанный многочлен имеет бесчисленное число корней, что невозможно. Значит, все числа равны нулю, поэтому функции (4) линейно независимы на отрезке

Пример 2. Будут ли линейно зависимыми на промежутке функции

?

Решение. Линейная комбинация тождественно обращается в нуль на промежутке , если взять числа Так как они не равны нулю (достаточно было бы, чтобы хотя бы одно из них не равнялось нулю), то указанные функции линейно зависимы на промежутке Ответ: да.

 

Теорема 3. Если система функций линейно завиcима на отрезке то хотя бы одна из них является линейной комбинацией других (на этом отрезке). Обратно: если одна из функций является на отрезке линейной комбинацией других, то система линейно зависима на отрезке

Доказательство. Пусть функции линейно зависимы на отрезке Тогда найдутся числа не равные нулю одновременно, такие, что

 

Пусть, например, Тогда можно записать

 

т.е. функция является линейной комбинацией функций Обратно: если выполняется тождество

 

то Мы видим, что тождество (3) имеет место при числах не равных нулю одновременно. Следовательно, система функций линейно зависима. Теорема доказана.

Очевидны следующие утверждения.

Если система функций содержит функцию то она линейно зависима (на отрезке , на котором указанные функции имеют смысл).

Если какая-нибудь подсистема системы функций линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Если система функций линейно зависима на отрезке , то она линейно зависима и на любом отрезке лежащем внутри отрезка

Если система функций линейно независима на отрезке то она линейно независима и на любом отрезке , содержащем отрезок (если, конечно, функции определены на отрезке ).

Заметим, что свойство линейной зависимости функций нельзя продолжить на больший отрезок, а свойство линейной независимости – сузить на меньший отрезок.Дадим эффективный способ проверки линейной зависимости или линейной независимости системы функций с помощью определителя Вронского.

Определение 2. Определителем Вронского (или просто вронскианом) системы функций , принадлежащих пространству , называется определитель

 

первую строку которого образуют данные функции а последующие строки являются производными функций предыдущей строки. Матрицу этого определителя мы будем называть матрицей Вронского.

Теорема 4 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции линейно зависимы на отрезке , то их вронскиан обращается тождественно в нуль на этом отрезке, т.е.

Доказательство. Поскольку функции линейно зависимы на отрезке то существуют числа не равные нулю одновременно, такие, что имеет место тождество

 

Дифференцируя это тождество раз, получаем еще тождество. Вместе с предыдущим тождеством они образуют однородную систему алгебраических уравнений:

 

которая (в силу линейной зависимости функций ) имеет при каждом ненулевое решение Но тогда определитель этой системы, являющийся определителем Вронского функций , обращается в нуль при каждом т.е. Теорема доказана.

Заметим, что обратное утверждение для произвольной системы функций не имеет место.

Пример 3. Показать, что функции

 

линейно независимы на отрезке но

Решение.Посмотрим, при каких постоянных и выполняется тождество При имеем Это тождество имеет место при и при произвольном На промежутке имеем откуда выводим, что Итак, тождество на всем промежутке имеет место лишь при Значит, функции и линейно независимы на отрезке С другой стороны,

 

 

 

т.е. определитель Вронского тождественно обращается в нуль на отрезке

Ситуация, описанная в этом примере, не реализуется, если и являются решениями однородного уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами. Это будет показано ниже. Теорему 4. применяют при установлении линейной независимости функций.

Следствие 1. Если вронскиан системы функций не равен нулю хотя бы в одной точке то указанные функции линейно независимы на отрезке

Действительно, если бы были линейно зависимы на отрезке , то тождественно обращался бы в нуль на этом отрезке, а значит, в частности, он был бы равен нулю в точке чего быть не может.