рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Вид работы: Лекции
/
Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа - Лекция, раздел Математика, Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например Пусть Дано Неоднородное Дифференциальное Уравнение &...

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1(о структуре общего решения неоднородного уравнения). Если в уравнении (1) все коэффициенты и правая часть непрерывны на отрезке , то общее решение уравнения (1) (на этом отрезке) имеет вид

где – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения а – частное решение неоднородного уравнения (1), произвольные постоянные.

Доказательство. Применяя оператор к функции (2), будем иметь

Это означает, что функция (2) является решением уравнения (1) при произвольных значениях постоянных . Пусть теперь --- произвольная точка в ( ). Покажем, что решение задачи Коши

можно получить из (2) выбором определенных значений постоянных. Подчиняя (2) условиям (3), будем иметь

Определитель этой системы совпадает с вронскианом в точке и поскольку фундаментальная система решений линейно независима на отрезке , то указанный определитель системы (4) не равен нулю. Следовательно, система (4) имеет единственное решение а значит функция является решением задачи Коши (3). Тем самым показано, что функция (2) является общим решением неоднородного уравнения (1). Теорема доказана.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например

семестр часть Дифференциальные уравнения... В каждой лекции все формулы определения и теоремы нумеруются так же как и в... Лекция Общие понятия Начальная задача задача Коши и теорема существования и единственности решения задачи Коши...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
Уравнение вида где неизвестная функция, известные функции[2], называется линейным дифференциальным уравнением. Если то уравнение (1) называется однородным. Ес

Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
Сначала дадим понятие решения уравнения (3). Определение 1.Решением уравнения (3) на отрезке называется такая функция которая удовлетворяет

Уравнения, допускающие понижение порядка
Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение

Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
Пусть функции имеют смысл на отрезке Определение 1. Говорят, что система функцийлинейно зависима на отрезке , если существуют постоянные , не равные

Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение Докажем следующий важный результат. Теорема 5. Пусть функции являются

Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам: 1) построение фундаментальной системы решений соответствую

Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
Напомним, что комплексными числами называют числа вида где и – действительные числа, --- мнимая единица ( ). При этом называется действительной частью, а – м

Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
Напомним сначала, что корень характеристического многочлена называется корнем кратности если Полезно заметить, что если полином имеет различных корне

Алгоритм 1.
1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производные на степени ( ). 2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности. 3)

Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
Для неоднородного уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами и неоднородностью был изложен метод вычисления частного решения называемый методом в

Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
Равенство (1) называется формулой Муавра. Используя его, можно вывести формулу извлечения корня й степени из комплексного числа. Однако для этого надо ввести сначала понятие

Предел и непрерывность функции комплексной переменной
Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и – действительные величины. Ниже везде, есл

Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции
Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности Сместимся из точки в точку Тогда аргумент функции получит приращение , а сама функция -- приращение Опре

Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую

Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
Напомним, что множество называется односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в можно стянуть в точку, не выходя из . Множество называется связным, если его гра

Первообразная функции комплексных переменных
Функция называется первообразной функции в области в области если дифференцируема в и Теорема 1. Если однозначная функция дифферен

Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимост