Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений

 

Напомним, что комплексными числами называют числа вида где и – действительные числа, --- мнимая единица ( ). При этом называется действительной частью, а – мнимой частью комплексного числа . Число называется сопряженным числу а неотрицательное число называется модулем числа . Множество всех комплексных чисел обозначают буквой . Каждому комплексному числу соответствует единственная точка на плоскости или радиус-вектор этой точки. При этом ось называется действительной осью, с ось – мнимой осью. Сама плоскость называется комплексной плоскостью; ее тоже обозначают буквой . Угол называется аргументом комплексного числа . Ясно, что аргумент определяется неоднозначно. Главным значением аргумента называется угол лежащий в пределах (или в пределах ). Главное значение аргумента обозначается так: . Из рис. 1 видно, что Значит, комплексное число можно записать еще в виде Эта форма называется тригонометрической формой числа , а его первоначальная форма –алгебраической формой комплексного числа . Если воспользоваться формулой Эйлера

то можно получить еще одну форму комплексного числа называемую показательной формой числа .

Два комплексных числа называются равными, если равны одновременно порознь действительные и мнимые части этих чисел, т.е.

 

Действия над комплексными числами определяются равенствами:

 

 

 

Умножение комплексных чисел (и их деление) лучше производить в тригонометрической форме:

 

Отсюда вытекает известная фoрмула

 

называемая формулой Муавра. С помощью нее можно определить операцию извлечения корня -й степени из комплексных чисел.

Определение 2. Отображение , ставящее в соответствие каждому действительному числу единственное комплексное число называется комплексной функцией действительной переменной с областью определения

Над такими функциями можно производить обычные арифметические действия. Например,

 

Комплексная экспонента вычисляется по формуле Эйлера

 

Отсюда легко получить формулы для синуса и косинуса комплексного аргумента:

 

Производные комплексной функции действительного аргумента определим равенствами:

 

 

а интеграл – равенством

 

Например,

 

Пусть теперь дано дифференциальное уравнение

 

в котором участвуют только функции действительного аргумента (в том числе и комплексные функции действительной переменной ). Комплексное решение этого уравнения определяется так же, как и действительное решение: функция называется решением уравнения (11) на отрезке если она, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество на отрезке Задача Коши для уравнения (11) ставится аналогично (только здесь начальная точка может быть комплексной). Нас будет интересовать линейное дифференциальное уравнение

 

с действительными коэффициентами и с комплексной неоднородностью ( и – действительные функции). Ясно, что оператор остается линейным и в пространстве комплекснозначных функций. Докажем следующее утверждение.

Если комплексное решение уравнения (12) с действительными коэффициентами то его действительная и мнимая части являются решениями уравнений

 

В самом деле, в силу линейности оператора имеем

 

Приравнивая здесь отдельно действительную и мнимую части, получаем тождества

 

ч.т.д.

Полагая здесь получаем следующий результат.

Действительная и мнимая части комплексного решения однородного дифференциального уравнения с действительными коэффициентами также являются решениями этого уравнения (т.е. ).

Линейная зависимость и линейная независимость на отрезке системы комплекснозначных функций определяется так же, как и для системы действительных функций. Только здесь коэффициенты линейной комбинации могут быть комплексными числами. Все теоремы 1–8 предыдущей лекции остаются в силе и для комплексных решений.

В дальнейшем потребуется факт линейной независимости некоторых систем комплекснозначных и действительных функций, описанных ниже.

Система функций

 

где все числа (комплексные или действительные) попарно различны (т.е. ) линейно независима на произвольном отрезке

Доказательство. Запишем вронскиан

 

 

(здесь из каждого столбца вынесли общий множитель – соответствующую экспоненту). Стоящий здесь определитель (его называют определителем Вандермонда) равен произведению двучленов для всех таких, что , т.е. Этот факт можно показать по индукции, но мы не будем этого делать. Проверим его только для определителя Вандермонда

 

третьего порядка. Прибавляя ко второй строке определителя его первую строку, умноженную на ( ), а к третьей строке – вторую, умноженную на ( ), будем иметь

 

 

 

Итак, определитель Вронcкого имеет вид

 

Поскольку у нас при ( ) и экспонента в нуль не обращается, то на любом отрезке Свойство доказано.

Пусть дана система действительных функций

 

Если числа попарно различны, то указанная система функций линейно независима на любом отрезке

Доказательство. Проведем его для системы функций

 

Составим их линейную комбинацию и приравняем ее нулю:

 

Используя формулы

 

перепишем предыдущее тождество (15) в виде

 

где обозначено: По условию числа попарно не равны друг другу, но тогда попарно не равны друг другу и числа (учесть, что и – действительные числа). По свойству система функций линейно независима на любом отрезке . Значит, тождество (16) имеет место тогда и только тогда, когда одновременно

Из равенств

 

получаем, что тогда и числа Итак, в тождестве (15) все числа a значит система функций линейно независима на любом отрезке Свойство доказано.

Аналогичными рассуждениями может быть доказано следующее утверждение.

Если числа попарно не равны друг другу, то система функций

 

где – натуральные числа ( ), линейно независимы на произвольном отрезке Линейно независимой будет также система, образованная действительными и мнимыми частями функций (17).