Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения - Лекция, раздел Математика, Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например
Напомним Сначала, Что Корень Характеристического Многочлена Н...
Напомним сначала, что корень характеристического многочлена называется корнем кратности если
Полезно заметить, что если полином имеет различных корней ( – степень многочлена ), то все они имеют кратность Однократные корни называют еще простыми корнями .
Записав для многочлена формулу Тейлора
(остаточный член его равен тождественно нулю), получим с учетом равенств (6), что если – корень кратности , то представляется в виде
где – многочлен степени такой, что Очевидно, верно и обратное: если представляется в виде (7) , где то --- корень кратности многочлена
Построению фундаментальной системы решений в случае кратных корней характеристического уравнения предпошлем несколько вспомогательных утверждений.
Если – дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами то имеет место формула
Действительно, по (2) имеем Дифференцируя это тождество по и учитывая, что операторы и перестановочны при применении их к бесконечно дифференцируемой по и функции , будем иметь
Таким образом, справедливо тождество (8).
Пусть – корень кратности характеристического многочлена уравнения (21.26) с постоянными коэффициентами Тогда функций
линейно независимы на любом отрезке и являются решениями уравнения (1).
Доказательство. Пусть – любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Согласно имеет место тождество
где (см. ). Имеем
Полагая в последнем тождестве , будем иметь
Это означает, что функции (9) являются решениями уравнения (1). Эти функции линейно независимы на любом отрезке (см. утверждение предыдущей лекции). Свойство доказано.
Если – комплексный корень кратности уравнения с постоянными и действительными коэффициентами , то отделяя в (9) действительные и мнимые части, получаем линейно независимых действительных решений
Из этого факта и предыдущих утверждений вытекает следующий алгоритм построения фундаментальной системы решений однородного уравнения (1) с постоянными и действительными коэффициентами .
семестр часть Дифференциальные уравнения... В каждой лекции все формулы определения и теоремы нумеруются так же как и в... Лекция Общие понятия Начальная задача задача Коши и теорема существования и единственности решения задачи Коши...
Уравнения, допускающие понижение порядка
Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение
Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам:
1) построение фундаментальной системы решений соответствую
Алгоритм 1.
1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производные на степени ( ).
2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности.
3)
Предел и непрерывность функции комплексной переменной
Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и – действительные величины.
Ниже везде, есл
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую
Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимост
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов