рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

По высшей математике

По высшей математике - раздел Математика, Государственное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального...

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермская государственная медицинская академия

имени академика Е.А. Вагнера

Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию»

 

 

Методические разработки

к практическим занятиям

по высшей математике

и

математической статистике

 

 

ПЕРМЬ-2009

 

Авторы-составители:

Кирко Г.Е.- д-р физ.-мат. наук, проф., Кустова Я.Р., Афанасьев А.Л., Корякина А.Г., Смирнова З.А., Зернина Н.В., Сазонова Н.К., Черемных М.Р.

 

УДК

ББК

М….

Методические разработки к практическим занятиям по высшей математике и математической статистике: учебное пособие для студентов первого курса медицинских вузов/ Г.Е. Кирко и др./ Пермь: ГОУ ВПО ПГМА им. ак. Е.А. Вагнера Росздрава, 2009-117 с.

 

В предлагаемые методические разработки включено около 400 задач по различным вопросам высшей математики, предусмотренным действующей учебной программой.

Цель разработок – научить студентов медицинского института решать задачи по основным разделам высшей математики. В начале каждой главы приведены основные формулы и уравнения и даны примеры решения типовых задач, в которых отражены вопросы методики решения задач по данному разделу курса высшей математики. Некоторые задачи содержат материал, связанный с практическим использованием аппарата высшей математики в биологии и медицине. Пособие предназначено для студентов первого курса лечебного, педиатрического, стоматологического и медико-профилактического факультетов медицинских вузов.

 

ISBN

Рецензенты:

 

Кафедра физики Пермского государственного университета, зав. кафедрой, д.ф.-м.н., профессор Путин Г.Ф.

Вахрин М.И. .- к.ф.-м.н., доцент, зав. кафедрой физики и математики Пермской государственной фармацевтической академии.

 

Печатается по решению ученого совета ГОУ ВПО ПГМА им. ак. Е.А. Вагнера Росздрава.

 

 

УДК

ББК

 

ISBN ©ГОУ ВПО ПГМА им. ак. Е.А. Вагнера Росздрава, 2009

© Коллектив авторов, 2009

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

  Стр
Глава I. Пределы  
Глава 2. Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной  
  §1. Понятие производной  
  §2. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций.  
  §3. Дифференцирование сложной функции  
  §4. Производные высших порядков  
  §5. Дифференциал функции  
  §6. Применение производной при решении прикладных задач  
Глава 3. Исследование функций методами дифференциального исчисления  
§1. Интервалы монотонности функции  
  §2. Экстремум функции  
Глава 4. Неопределенный интеграл  
  §1. Непосредственное интегрирование  
  §2. Интегрирование способом подстановки (методом замены переменной)  
  §3. Интегрирование по частям  
  §4. Применение неопределенного интеграла при решении прикладных задач  
Глава 5. Определенный интеграл  
  §1. Определенный интеграл и его непосредственное интегрирование  
  §2. Приложение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур  
  §3. Приложение определенного интеграла к решению физических задач.  
Глава 6. Дифференциальные уравнения  
  §1. Основные понятия  
  §2. Уравнения с разделяющимися переменными  
  §3. Однородные дифференциальные уравнения  
  §4. Задачи на составление дифференциальных уравнений  
Глава 7. Элементы теории вероятностей и математической статистики  
  §1. Основные понятия  
  §2. Числовые характеристики распределения случайных величин  
  §3. Нормальный закон распределения случайных величин  
  §4. Генеральная совокупность. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке  
  §5. Интервальная оценка. Интервальная оценка при малой выборке. Распределение Стьюдента  
  §6. Проверка гипотез. Критерии значимости.  
  §7. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.  
    7.1. Характер взаимосвязи между признаками  
    7.2. Проведение корреляционного анализа с помощью коэффициента парной корреляции  
    7.3. Элементы регрессионного анализа  
Лабораторные работы по статистической обработке результатов  
  1. Статистическая обработка данных измерения роста  
  2. Задания для проведения статистического анализа совокупности данных  
Приложение.    
  П1. Правила приближенных вычислений  
  П1.1 Запись приближенных чисел  
  П1.2. Правила округления  
  П1.3. Вычисление с приближенными числами  
Ответы.    
Список литература  
         

 

 

«Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой»

Леонардо да Винчи,

G.36v (Записная книжка, 186 страница)

Глава 1

 

ПРЕДЕЛЫ

Если для <e, то . Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах: Если существуюти то

Глава 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Понятие производной

Производной от функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к…

Или

Примечание.

Производная обозначается также как (Читается «дэ игрек по дэ икс».) Штрихом производная обозначается только в том случае, если она берется по .

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Исходя из определения производной, можно найти производную любой дифференцируемой функции.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти производную функции

(1)

Дадим приращение , тогда получит приращение :

,

отсюда

.

Функция задается формулой (1). Тогда

=

=

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

=.

Найдем предел этого отношения при :

=()=

Следовательно, по определению производной

2. Найти производную функции

(2)

Находим приращение функции отсюда

= и

=

Таким образом,

Итак,

3. Найти производную функции

(3)

Находим приращение функции

Воспользуемся формулой

Отсюда

и

=.

Итак,

=

 

 

Исходя из определения производной, найти производные следующих функций:

2.1. (Ответ: -) 2.5. (Ответ:)
2.2. (Ответ: ) 2.6. . (Ответ: )
2.3. (Ответ: ) 2.7. . (Ответ: )
2.4. Ответ:) 2.8. . (Ответ: 6(x-1))

 

 

Основные правила дифференцирования.

Дифференцирование основных элементарных функций.

Пусть C –постоянная, - функции, имеющие производные, тогда: 1. 2.

Дифференцирование сложной функции.

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем . Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной…

Производные высших порядков

. Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная…

Дифференциал функции

Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента: Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

Имеем

- дифференциал первого порядка,

- дифференциал второго порядка.

3. Вычислить приближенное значение .

Рассмотрим функцию. Полагая , и применяя формулу , получаем

.

4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Воспользуемся формулой . Полагая R=3, , имеем

.

Следовательно, площадь круга радиуса 3,02м имеет приближенное значение

.

5. Вычислить приближенно .

Рассмотрим функцию и положим x=8,

Тогда, воспользовавшись формулой ,

найдем

.

.

Таким образом, »2,0008.

6. На сколько увеличилось ребро куба, если объем его изменился с 27 м3 до 27,2 м3?

Если - ребро куба, то его объем . Задача сводится к отысканию приращения функции при и .

Приращение найдем, исходя из приближенного равенства

. Подставляем соответствующие значения и получаем

(м).

 

Найти дифференциалы следующих функций:

 

2.141. (Ответ: )   2.142. (Ответ: )  
2.143 (Ответ: )     2.144. (Ответ)

Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков.

 

2.145. Ответ: ; ; .
2.146. Ответ: ; ;.
2.147. Ответ: ; ; .  
2.148. Ответ: ;; .

 

2.149. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом. ( Ответ: ; ; ).

2.150. Вычислить и для функции при и ( Ответ: ; ).

2.151. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом.

(Ответ:;; ; ).

2.152. На сколько измениться сторона квадрата, если его площадь уменьшится с 16 м2 до 15,82 м2? (Ответ:0,0225 м)

2.153. Найти приближенное значение объема шара радиусом R=2,01 м. (Ответ:34,04 м3).

2.154. Найти приближенное значение . (Ответ:)

2.155. Найти приближенное значение .(Ответ:2,999)

2.156. Найти приближенное значение .(Ответ:1,035)

2.157. Найти приближенное значение . (Ответ:0,88)

2.158. Поверхностная энергия жидкости рассчитывается по формуле: . Здесь - энергия единицы площади, равная коэффициенту поверхностного натяжения, - площадь свободной поверхности жидкости. Найти изменение поверхностной энергии мыльного пузыря при увеличении его радиуса с 5 см до 5,2 см (площадь поверхности сферы ). Коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды в условиях данной задачи принять равным 0,04 Дж/м2 . (Ответ:Дж).

2.159. Резиновый шар наполняется газом. Найти приближенно абсолютное и относительное изменение поверхности шара при увеличении его радиуса от 10,0 см до 10,5 см.

(Ответ:м2; )

 

2.160. Период колебания математического маятника , где м/с2, а см. Найти изменение периода колебаний при уменьшении длины на 1 см. (Ответ:с)

2.161. Разность потенциалов между внутренней частью клетки и внешней средой обусловлена различием концентрации ионов внутри и вне клетки. Величина этой разности потенциалов в милливольтах для одновалентных ионов при температуре 180 определяется формулой , где .

Рассчитать изменение при увеличении от 20 до 22. Учесть, что . (Ответ: мВ).

 

 

Применение производной при решении

Прикладных задач

В частности, если зависимость между пройденным путем и временем при прямолинейном движении выражается формулой , то скорость движения в любой момент… Например. 1. Точка движется прямолинейно по закону . выражается в метрах, а - в секундах. (Обратите внимание на то, что…

Решение. Скорость прямолинейного движения

Подставим значение =1с и получим (м/с). Ускорение прямолинейного движения равно второй производной пути по времени и,… 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется с течением времени по закону , где A, B,…

Глава 3

 

Исследование функций методами

Дифференциального исчисления

Интервалы монотонности функции

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными. Монотонность функции характеризуется знаком первой производной . Если в некотором… Рассмотрим примеры. 1. Даны функция и точки . В каких из перечисленных точек функция возрастает? Убывает?

Решение.

Найдем производную заданной функции: .

при <0 - функция убывает, при >0 - функция возрастает, при <0 - функция убывает.

Экстремум функции

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или… Правило отыскания экстремумов функции: 1. Вычислить производную .

ГЛАВА 4

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ[4]

 

§1. Непосредственное интегрирование.

Функция называется первообразной для функции , если

или

.

 

Любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым С.

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от этой функции:

Основные свойства неопределенного интеграла

1. или   2.

Интегрирование способом подстановки

  Способ подстановки заключается в том, чтобы, преобразовав подынтегральную…  

Интегрирование по частям.

где u, v –дифференцируемые функции, зависящие от х, нахождение интеграла… Например:

Глава 5

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл и его непосредственное

интегрирование.

 

Определенным интегралом в пределах от а до b от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента x от значения x=a до значения x=b:

.

Основные свойства определенного интеграла

  Рассмотрим следующие примеры. 1). Вычислить интеграл

Глава 6

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется… Порядком дифференциального уранения называется порядок старшей производной,… Функция y=j(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

Поделив все члены уравнения на , получим уравнение

,

в котором переменные разделены.

Общее решение уравнения находим почленным интегрированием

Например.

1). Найти общее решение уравнения

.

Поделим обе части уравнения на :

.

Интегрируя обе части уравнения, получим

,

откуда

.

Так как С- произвольная постоянная, то ее можно заменить на . Тогда

,

это и есть общее решение данного уравнения.

2). Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Найдем общее решение данного уравнения. Для этого разделим переменные:

или

.

Интегрируя, получаем

.

Используя начальные условия, подставляем в выражение общего решения заданные значения переменных , тем самым определяем значение производной постоянной С:

.

Из последнего равенства получаем С = -1.

Итак, искомое частное решение :

.

Найти общее решение дифференциальных уравнений.


 

6.4 6.8
6.5 6.9
6.6 6.10
6.7 6.11

Найти общее и частное решение дифференциальных уравнений:

 

6.12 , если . 6.15 , если .
6.13 , если . 6.16 , если .
6.14 , если . 6.17 , если .

Однородные дифференциальные уравнения.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=Ux, где U- новая искомая функция. Дифференцируя равенство… . Подставив выражения y и в уравнение, имеем

Задачи на составление дифференциальных уравнений.

Скорость распада радия пропорциональна его имеющемуся количеству R. Найти закон распада радия, если известно, что через 1600 лет останется половина… Решение. Пусть R- количество радия в момент времени t, а R0- его…

Глава 7

Элементы теории вероятностей

И математической статистики

 

Основные понятия

 

Теория вероятности и методы математической статистики широко используются при изучении заболеваемости, физического развития населения, физиологических и биохимических показателей. Это обусловлено тем, что многим биологическим явлениям свойственны статистические закономерности, которые обнаруживаются при изучении случайных совокупностей.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым (статистическим) случайным событиям, и их количественную оценку. Математическая статистика позволяет систематизировать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.

Важнейшими понятиями теории вероятности и математической статистики являются понятия: «случайное событие», «вероятность случайного события», «случайная величина».

Случайным событием А называют событие, которое в одинаковых условиях эксперимента может произойти, а может и не произойти, и о появлении которого не может быть сделано точного предсказания.

Вероятность случайного события – это количественная оценка объективной возможности появления данного события.

, где – количество появлений события А. Переменные величины, которые принимают различные значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств, называют…

Числовые характеристики распределения

Случайных величин

Математическое ожидание – наиболее вероятное значение случайной величины. Для дискретных величин оно равняется сумме произведений каждого возможного… , (3) где n-количество значений случайной величины.

Нормальный закон распределения случайных величин

Существуют различные законы распределения случайных величин. Для непрерывных величин наиболее распространенным является так называемый нормальный закон распределения или закон Гаусса. В соответствии с этим законом распределяются масса тела, рост человека, физиологические показатели и многое другое. В ряде случаев этот закон применим для анализа распределений дискретных случайных величин.

Функция плотности вероятностей нормального закона распределения случайных величин имеет следующий вид:

, (9)

где основание натурального логарифма, математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение случайной величины .

График этой зависимости называется кривой нормального закона распределения или кривой Гаусса (рис.1). Кривая имеет колоколообразную форму, она симметрична и асимптотически приближается к нулю. Из рисунка видно, что наиболее вероятным значением случайной величины является математическое ожидание . При отклонении величины в большую или меньшую сторону вероятность ее уменьшается.

Рис. 1

На кривой имеются две характерные точки, где выпуклость ее переходит в вогнутость. Абсциссы этих точек равны и .

 

Таблица 1

Интервал Р,%  
  68,3
  95,0  
  95,5  
  99,0  
  99,7  
  Здесь через обозначено .  
               

Зная функцию плотностей вероятностей, можно рассчитать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений . Например, вероятность попадания в интервал между значениями и равна:

,

или, графически, вероятность попадания оказывается равной площади криволинейной трапеции, заштрихованной на графике, приведенном на рис.1в.

Рассчитано (табл.1), что вероятность появления случайной величины в интервале составляет 0,68, в интервале примерно 0,95, а в интервале вероятность появления случайной величины составляет 0,997.

 

 

Генеральная совокупность.

Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке

Часть значений случайной величины, которая отобрана для изучения, называется выборочной совокупностью или выборкой. Отдельные значения случайной величины называются вариантами Число, указывающее… Результаты серии измерений записывают в виде вариационного ряда, в котором варианты расположены в порядке возрастания…

Интервальная оценка. Интервальная оценка

Точечная оценка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. При небольшом объеме… В этом случае указывается интервал (доверительный интервал или доверительные… Иначе говоря, определяет вероятность, с которой осуществляются следующие неравенства:

Проверка гипотез. Критерии значимости

В этом случае для анализа используется так называемый t-тест, или t-критерий Стьюдента, который называют еще критерием достоверности, или критерием… В рассматриваемом нами случае t-критерий можно рассчитать как ,

Элементы корреляционного и регрессионного анализа

Взаимосвязь между различными параметрами, признаками, присущими живому организму, является объектом пристального внимания врача. Анализ этих взаимосвязей, постоянно меняющихся в процессе жизнедеятельности, – один из основных этапов в клиническом изучении течения заболевания и выздоровления, определении прогноза заболевания.

 

Характер взаимосвязи между признаками

Зависимость, при которой одному и тому же числовому значению первого признака соответствует только одно числовое значение второго признака ,… В живой природе такая однозначная четкая взаимосвязь встречается редко. Чаще… Существуют несколько видов выражения корреляционной взаимосвязи.

Проведение корреляционного анализа

С помощью коэффициента парной корреляции

Например, измеряем рост и вес человека, или рост и размер обуви. Каждое измерение представлено точкой в двумерном пространстве: Рис. 4 … Несмотря на то, что величины носят случайный характер, в общем, наблюдается некоторая зависимость – величины…

Элементы регрессионного анализа

              Чтобы получить уравнение , требуется аппроксимировать (лат. approximare… а б Рис. 10

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Статистическая обработка данных измерения роста.

1.Взять результаты измерений роста[5] 100 человек, сведенные в вариационный ряд (см. приложение) и перенести их в таблицу 1.(100 измерений взято для…   Таблица 1 № варианты Значение варианты xi Частота варианты li xili 1. …

П.1.2. Правила округления

1. Если первая отбрасываемая цифра больше пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если отбрасываемая цифра меньше пяти, то… 2. Когда отбрасывается только цифра 5, а последующих цифр младших разрядов… 3. Если округляемое число – ошибка, то при отбрасывании цифры 5 увеличиваются на единицу и четная и нечетная цифры. …

П.1.3. Вычисления с приближенными числами.

Значащими цифрами числа называется число надежно установленных цифр в записи результата измерения. Так в записи 23,21 см мы имеем четыре значащих… В процессе измерений или в ходе вычислений не следует сохранять в… Результат любого арифметического действия с приближенными числами есть также приближенное число, в котором могут быть…

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Герасимов А.Н.. Медицинская статистика: учебное пособие / А.Н. Герасимов- М.: МИА, 2007.-475с.

2. Кучеренко В.З.. Применение методов статистического анализа для изучения общественного здоровья и здравоохранения: учебное пособие для медицинских вузов / В.З. Кучеренко.- М.: ГЭОТАР- Медиа, 2007.-245с.

3. Павлушков И.В. Основы высшей математики с математической статистикой: учебник для мед. и фармац. вузов / И.В.Павлушков.-изд. 2-е исправ.- М.: ГЭОТАР- Медиа, 2007.-422с.

4. Ремизов А.Н. Курс лекций: учебник /А.Н.Ремизов, А.Я. Потапенков - изд. 3-е..- М.: Дрофа, 2006.-720с..

5. Чернов В.И.. Математическая статистика с основами высшей математики: учебник / В.И. Чернов и др. - Воронеж: ГОУ «Воронеж. гос. мед. акад. им Н.Н Бурденко» , 2006.-317с.

 

 

Учебное издание

Методические разработки к практическим занятиям по высшей математике и математической статистике

Учебное пособие

Для студентов первого курса

Медицинских вузов

Кирко Г.Е., Кустова Я.Р., Афанасьев А.Л., Корякина А.Г., Смирнова З.А., Зернина Н.В., Сазонова Н.К., Черемных М.Р.   Редактор Н.А. Щепина

– Конец работы –

Используемые теги: высшей, математике0.042

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: По высшей математике

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Вопрос о взаимосвязи математики и философии (Милетская школа, Пифагорейская школа, Элейская школа, Демокрит, Платоновский идеализм, Система философии математики Аристотеля)
Наряду с этим прогрессирующая математизация науки оказывает активное воздействие на философское мышление.Совместный путь математики и философии… Известно, что греческая цивилизация на начальном этапе своего развития… Папирус Райнда ок. 2000 г. до н.э. начинался с обещания научить совершенному и основательному исследованию всех вещей,…

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Определение Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением если же... Определение Наивысший порядок производных входящих в уравнение называется порядком дифференциального...

Шпоры по Высшей математике
G Величинаопределителя не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавитьсоответствующие элементы какой-либо другой, предварительно… Тот факт, что элемент апринадлежит множеству А, обозначается так а АG… Sin a x a x в . х х0 II. lim 1 1 x x eСЛЕДСТВИЕ Если a x БМВ при х х0, то lim 1 a x 1 2 x frac12 y 1 a x yen frac12…

З навчальної дисципліни Математика для економістів: ВИЩА МАТЕМАТИКА, ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА
КИІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ... Імені В Гетьмана... КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ...

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
К У Р С В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И... А times Е Е times А А... Очевидно что для любых матриц выполняются следующее свойство...

Организация общения в условиях высшей школы. Модели общения преподавателя высшей школы
Педагогическое общение – специфическая форма общения, имеющая свои особенности и в то же время подчиняющаяся общим психологическим закономерностям,… Человеческие взаимоотношения, в т.ч. и в учебном процессе, должны строится на… Создается оптимальная база для позитивных изменений в познавательной, эмоциональной, поведенческой сферах каждого из…

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ОСНОВАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Печатается по решению редакционно-издательского
Брестский государственный университет имени А С Пушкина... Т С Онискевич...

Типовой расчет по высшей математике
Кафедра высшей математики... Типовой расчет по высшей математике... Раздел Теория вероятностей...

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Н Л ГАМЕРШМИД Г В ПРУСАКОВА... МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ...

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО... МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ...

0.036
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам
  • КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ mailto aalar yandex ru... К У Р С В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К И...
  • КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ На сайте allrefs.net читайте: "Лекции по математике часть1. КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ"
  • Кафедра высшей математики и информатики САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра высшей математики и информатики...
  • Вопросы и ответы по высшей математике Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за Полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью,… Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в классном… Свойство является характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те…
  • Некоторые функции высшей математики Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом… Таким образом , в области интеграл cходится равномерно. Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при .Докажем дифференцируемость этой функции при . Заметим что функция…