Задачи на составление дифференциальных уравнений - раздел Математика, Математической статистике Рассмотрим Конкретный Пример.
Скорость Распада Радия Пропорциональна...
Рассмотрим конкретный пример.
Скорость распада радия пропорциональна его имеющемуся количеству R. Найти закон распада радия, если известно, что через 1600 лет останется половина первоначального количества. Какой процент радия окажется распавшимся через 100 лет?
Решение. Пусть R- количество радия в момент времени t, а R0- его первоначальное количество. Тогда скорость распада радия равна и является отрицательной величиной, т.к. R с течением времени убывает. Согласно условию задачи имеем: , где k>0 - коэффициент пропорциональности, подлежащий определению. Интегрируем полученное уравнение:
Осталось найти k и C. Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальным условием: R=R0 в начальный момент времени t=0. Тогда R0=С. Итак, закон распада радия имеет вид
Для нахождения k воспользуемся следующим условием: при t=1600. Отсюда
Таким образом, окончательно получаем
При t=100 имеем
Следовательно, через 100 лет распадается 4,2% первоначального запаса радия.
Решить задачи.
6.26 Тело за 10 мин охлаждается от 100 до 60°С. Температура окружающего воздуха равна 20°С. Считая скорость остывания тела пропорциональной разности температур тела и окружающего его воздуха, определить, за какое время тело остынет до 30°С.
Указание. Пусть Т- температура тела в момент времени t. Тогда дифференциальный закон охлаждения тела имеет вид
.
6.27. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 1,5 м/с. Через 4с после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 1 м/с. Считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки, найти ее скорость через 50с после остановки мотора. Указание. Пусть V- скорость лодки после выключения мотора в момент времени t. Тогда зависимость между V и t имеет вид , где m- масса лодки.
6.28. Поглощение светового потока тонким слоем воды пропорционально толщине слоя и потоку, падающему на его поверхность. При прохождении через слой толщиной 2м поглощается 1/3 первоначального светового потока. Определить, какой процент первоначального светового потока дойдет до глубины 4м.
Указание. Пусть Q- световой поток, падающий на поверхность на глубине h. Тогда dQ = - kQdh.
6.29. Скорость тела V, брошенного вниз с начальной скоростью V0, определяется равенством V=V0+gt. Найти уравнение движения данного тела.
6.30. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна начальному количеству бактерий. Найти зависимость изменения количества бактерий от времени.
6.31. Найти закон роста клеток с течением времени, если для пальчиковых клеток скорость роста пропорциональна длине клетки l в данный момент.
Указание. Пусть , где a,b- постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.
6.32. По какому закону происходит разрушение клеток в звуковом поле, если скорость их разрушения пропорциональна начальному количеству N?
6.33. Скорость укорочения мышц описывается уравнением , где х0- полное укорочение, х - укорочение в заданный момент. Найти закон сокращения мышц, если при t=0 величина укорочения была равна нулю.
Интервалы монотонности функции
Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Как возрастаю
Интегрирование способом подстановки
(метод замены переменной)
Способ подстановки заключается в том, чтобы, преобразовав подынтегральную функцию, свести интеграл к табличному виду.
&n
Случайных величин
Обычно для описания распределения случайной величины бывает достаточно определить несколько числовых характеристик (параметров). Наиболее распространенные из них: математическое ожидание (среднее з
Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
Генеральной совокупностью случайной величины называют совокупность всех значений данной величины, которая подлежит изучению.
Однако в реальных условиях эксперимента невозможн
Интервальная оценка. Интервальная оценка
при малой выборке. Распределение Стьюдента
Точечная оценка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности
Проверка гипотез. Критерии значимости
Очень часто перед исследователем встает задача: выяснить, являются ли различия между средними арифметическими двух выборок
Элементы корреляционного и регрессионного анализа
Взаимосвязь между различными параметрами, признаками, присущими живому организму, является объектом пристального внимания врача. Анализ этих взаимосвязей, постоянно меняющихся в процессе жизнедеяте
I. Статистическая обработка данных измерения роста
В работе статистически обрабатываются данные измерения роста определенной группы населения. Необходимо построить гистограмму, вычислить среднее арифметическое
Новости и инфо для студентов