Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке

Генеральной совокупностью случайной величины называют совокупность всех значений данной величины, которая подлежит изучению.

Однако в реальных условиях эксперимента невозможно изучить всю совокупность значений случайной величины – генеральную совокупность, поэтому исследования ведутся выборочно.

Часть значений случайной величины, которая отобрана для изучения, называется выборочной совокупностью, или выборкой.

Отдельные значения случайной величины называются вариантами

Число, указывающее, сколько раз встречается данная варианта, называется частотой

Результаты серии измерений записывают в виде вариационного ряда, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания с указанием частоты. Если случайная величина является непрерывной, то строят интервальный ряд: ряд разбивается на равные интервалы с указанием суммарной частоты вариант, входящих в интервал.

Затем решается вопрос, к какому виду распределения относится изучаемая выборка. Одним из методов определения закона распределения случайной величины по выборке является метод анализа гистограммы. Гистограмма – это столбчатая диаграмма (histos – столб) (рис.2). Для ее построения по оси абсцисс откладываются значения интервалов. На отрезках, соответствующих интервалам, строят прямоугольники, высота которых пропорциональна суммарной частоте вариант в интервале.

Рис. 2

Соединив середины верхних сторон прямоугольников плавной линией, получают кривую эмпирического происхождения, которую сравнивают с теоретическими кривыми ( рис.1).

Все дальнейшие расчеты и рассуждения относятся к нормальному закону распределения.

При изучении выборки определяют ее параметры (числовые характеристики):

среднее арифметическое выборки (выборочную среднюю) ,

дисперсию выборки

,

и среднее квадратичное отклонение выборки

,

где n-общее число наблюдений (объем выборки), k – число вариант.

Для большей выборки при n30 вычисление дисперсии производится по формуле

.

Так как выборка всегда ограничена количественно, экспериментальные числовые характеристики (параметры) лишь приблизительно отражают изучаемое распределение, поэтому выборочная средняя x_ср, дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются только оценкой среднего значения (математического ожидания) дисперсии и среднего квадратичного отклонения изучаемого распределения, т.е. генеральной совокупности.

Среднее квадратичное отклонение выборки является мерой отклонения любой варианты выборки от случайной величины.

Мерой отклонения среднего арифметического выборки от является средняя ошибка среднего арифметического . Средняя ошибка, в свою очередь, представляет собой среднее квадратичное отклонение среднего арифметического от случайной величины.

Предположим, что из единой генеральной совокупности берется I разных выборок. Для определенности будем считать их объемы одинаковыми и равными n. Их выборочные средние ()являются случайными величинами, для которых можно найти закон распределения и соответствующие параметры. Оказывается, что разные распределены по нормальному закону, а их математическое ожидание равно математическому ожиданию генеральной совокупности. Это позволяет при достаточно большой выборке ее среднее значение приближенно принять за генеральную среднюю, т.е. .

Однако для дисперсий положение несколько иное. Математическое ожидание дисперсий различных выборок, составленных из генеральной совокупности, отличается от генеральной дисперсии. Поэтому для оценки генеральной дисперсии вводят исправленную выборочную дисперсию

.

Эта величина не является ни выборочной, ни генеральной дисперсией. Однако если имеется много выборок одной генеральной совокупности, среднее значение (математическое ожидание) S приближается к генеральной дисперсии. При большой выборке , что видно из предыдущей формулы.

Такого рода оценка параметров генеральной совокупности или каких-либо измерений называется точечной.