ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Определение: Множествомназывают совокупность каких-то объектов, объединенных по некоторому правилу или признаку. Примеры множеств: - натуральные числа, целые числа, действительные числа. Определение: Объекты, которые входят в состав множества, называют элементами данного множества.

Множества чисел и их обозначения

Z - множество целых чисел {…-3,-2,-1,0,1,2,………. } Q - множество рациональных чисел – это те числа, которые можно представить в… Q={m/n, mÎZ, nÎN}

Основные операции над множествами

1. Сумма (Объединение) двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

В виде характеристического свойства - А U В={x, xÎA или xÎB}

Если изображают

в виде кругов A B А U В

 

 

Пример:

А={1,2,3} B={2,4,5} А U В={1,2,3,4,5}

 

2. Произведение (Пересечение) двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В: А I В={x, xÎA и xÎB}

для рассмотренного

выше примера: A B А I В

А I В={2}

 

3. Разность двух множеств А и В (обозначается АВ) – называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В

АВ={x, xÎA и xÎ B} A B АВ

Для рассмотренного выше

примера:

АВ={1,3}

Логические символы

 

Для краткости записи, вместо слов: существует, найдется, будет использован символ $,

вместо слов любой, каждый, всякий ".

Примеры: $x, x+1ÎN ; "xÎX,X:2

Специальные математические символы

1*2*3*4*……..* n = n! , n –факториал. 1!=1 , 2!=1*2=2 , 5!=1*2*3*4*5=120, 0!=1 0-факториал.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Определители и их свойства

Определение1: Определителем второго порядка называется число, которое: - обозначается следующим символом            

Свойства определителей

1. Если в определителе поменять местами строки и столбцы с одинаковыми номерами, то значение определителя при этом не изменится(справедливо как для…                 … a11 a12 a13 a11 a21 a31

Матрицы и их свойства

            a11 a12 a13 …… a1n a21 a22 a23 …… a2n

Операции над матрицами

Определение: Матрица А равна матрице В, если в этих матрицах равны между собой все соответствующие элементы:

a_ij = b_ij для всех i,j

Матрицы одинакового порядка можно складывать и вычитать.

 

1. Сумма (разность) двух матриц:

a₁₁ a₁₂ b₁₁ b₂₁

A = a₂₁ a₂₂ B = b₁₂ b₂₂

 

 

a₁₁ ± b₁₁ a₁₂ ± b₁₂

A ± B = a₂₁ ± b₂₁ a₂₂ ± b₂₂

 

2. Умножение матрицы на число, отличное от нуля:

 

l*a₁₁ l*a₁₂

l*A = l*a₂₁ l*a₂₂ , l ¹ 0

 

3. Произведение двух матриц:

Умножать можно только те матрицы, для которых выполняется условие: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Сумма произведений элементов первой строки первой матрицы на элементы первого столбца второй матрицы определит элемент С₁₁ матрицы произведения. И таким образом для всех Cij элементов произведения:

 

a₁₁ a₁₂ b₁₁ b₁₂

A*B = a₂₁ a₂₂ * b₂₁ b₂₂ =

 

a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁ a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂

= a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁ a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂

 

Пример:

1 1

1 2 3 * 2 1 1+4+9 1+2+12 14 15

A*B = 4 5 6 3 4 = 4+10+18 4+5+24 = 32 33

 

Для суммы и произведения матриц справедливы следующие соотношения:

 

1) A+B=B+A 4) A+(B+C) = (A+B)+C

2) C*(A+B)=C*A+C*B 5) (a*A)*B = a*(A*B)

3) (A*B)*C=A*(B*C) 6) (a + b)*A = a*A+b*A

7) a*(A+B) = a*A+a*B

8) A*E=E*A=A , где E –единичная матрица.

Для матриц, в общем случае, умножение не перестановочно:

A*B ¹ B*A

 

Определение: Матрица А^-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если выполняется следующее соотношение:

А*А^-1=А^-1*А = Е

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

 

Теорема:Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель матрицы не равен нулю:

 

1 A₁₁ A₂₁ A₃₁

A^-1 = * A₁₂ A₂₂ A₃₂

DA A₁₃ A₂₃ A₃₃

 

a₁₁ a₁₂ a₁₃

для A = a₂₁ a₂₂ a₂₃ DA – определитель матрицы А

a₃₁ a₃₂ a₃₃

 

Доказательство:

 

Чтобы доказать, что матрица А^-1 является обратной для матрицы А, необходимо показать выполнение следующего равенства:

А*А^-1=А^-1*А=Е

 

1 A₁₁ A₂₁ A₃₁ a₁₁ a₁₂ a₁₃ 1

A^-1 *A = * A₁₂ A₂₂ A₃₂ * a₂₁ a₂₂ a₂₃ = *

DA A₁₃ A₂₃ A₃₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ DA

 

A₁₁*a₁₁+A₂₁*a₂₁+A₃₁*a₃₁ A₁₁*a₁₂+A₂₁*a₂₂+A₃₁*a₃₂ A₁₁*a₁₃+A₂₁*a₂₃+A₃₁*a₃₃

* A₁₂*a₁₁+A₂₂*a₂₁+A₃₂*a₃₁ A₁₂*a₁₂+A₂₂*a₂₂+A₃₂*a₃₂ A₁₂*a₁₃+A₂₂*a₂₃+A₃₂*a₃₃ =

A₁₃*a₁₁+A₂₃*a₂₁+A₃₃*a₃₁ A₁₃*a₁₂+A₂₃*a₂₂+A₃₃*a₃₂ A₁₃*a₁₃+A₂₃*a₂₃+A₃₃*a₃₃

 

1 DA 0 0 1 0 0

= * 0 DA 0 = 0 1 0

DA 0 0 DA 0 0 1

 

что и требовалось доказать.

Пример: Вычислить матрицу, обратную данной:

1 1 -1 1 1 -1

A = 4 -3 1 ; DA = 4 -3 1 = 1*(-3)*(-1) + 1*1*2 + 4*1*(-1) -

2 1 -1 2 1 -1

 

- 2*(-3)*(-1) – 1*1*1 – 4*1*(-1) = 3+2-4-6-1+4 = -2

 

-3 1 4 1

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ 1 -1 = 2 ; A₁₂ = (-1)¹⁺² 2 -1 = 6;

 

4 -3 1 -1

A₁₃ = (-1)¹⁺³ 2 1 = 10 ; A₂₁ = (-1)²⁺¹ 1 -1 = 0;

 

1 -1 1 1

A₂₂ = (-1)²⁺² 2 -1 = 1 ; A₂₃ = (-1)²⁺³ 2 1 = 1;

 

1 -1 1 -1

A₃₁ = (-1)³⁺¹ -3 1 = - 2 ; A₃₂ = (-1)³⁺² 4 1 = - 5;

 

1 1

A₃₃ = (-1)³⁺³ 4 -3 = - 7

1 A₁₁ A₂₁ A₃₁ 1 2 0 -2

A^-1 = * A₁₂ A₂₂ A₃₂ = - * 6 1 -5

DA A₁₃ A₂₃ A₃₃ 2 10 1 -7

Экономическая интерпретация действий над матрицами

Pi – цена соответствующего товара (i=1,2,3,….n). Xi – приобретенное количество соответствующего товара. Запишем это в виде матриц-столбцов.

Системы линейных уравнений

а11, а12,…. а1n, b1 - заданные числа (известные). х1, х2,…, хn - неизвестные числа. Определение. Упорядоченный набор чисел k1,k2,…kn называют решением уравнения (1), если при подстановке этих чисел в…

Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера

а11*х1+а12*х2+а13*х3=b1 а21*х1+а22*х2+а23*х3=b2 а31*х1+а32*х2+а33*х3=b3

Решение систем линейных уравнений матричным способом

а11*х1+а12*х2+а13*х3=b1 а21*х1+а22*х2+а23*х3=b2 а31*х1+а32*х2+а33*х3=b3

Линейные системы общего вида

а11*х1+а12*х2+….+а1n*хn=b1 а21*х1+а22*х2+….+а2n*хn=b2 …………………………………………… (1)

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

  Схема решения: 1. Выписываем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований сводим ее к ступенчатому виду.

Экономическая интерпретация систем линейных уравнений

Xij – количество ресурса i-того вида, необходимого для производства продукции j-того вида, а также известны: - bi –общий расход i-того ресурса

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Основные понятия

Все величины математики разделяются на скалярные и векторные.

Скалярными называются величины, которые полностью определяются при помощи числа, полученного в результате их измерения однозначной величиной, принятой за эталон (единицу эталона).

Векторныминазываются величины, для которых кроме числовых значений их размера необходимо указывать их направление в пространстве (скорость, сила).

Для геометрического изображения векторных величин служат направленные отрезки, т.е. отрезки, имеющие фиксированное направление в пространстве.

Вектором называют направленный отрезок, у которого указывают начало и конец.

B

a

 

A

AB или a - обозначают вектор.

 

Длиной вектора называют длину направленного отрезка.

Вектор называется нулевым, если его длина равна 0. Для нулевого вектора, естественно, нет определенного направления.

Два вектора называются равными, если равны их длины и они одинаково направлены.

Два вектора называются противоположными если их длины равны, а направления противоположны.

Два вектора называются коллинеарными, если эти вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых. тогда угол между коллинеарными векторами равен 180^о или 0⁰ ( a b ).

 

Три вектора называются компланарными, если эти вектора лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Ортомназывается вектор единичной длины.

 

Действия над векторами

Суммой векторов А и Вназывают вектор С: - начало которого совпадает с началом вектора А, - конец совпадает с концом вектора В,

Свойства действий над векторами

1. A+ B= B+ A                   … 2. A+(B+ C)=(A+ B) + C

Теоремы о проекции вектора на ось

                      ПрlAB = AB * cosj , Ðj = Ð( AB, l )  

Длина вектора. Направляющие косинусы вектора

Z aZ Пусть a = (aX, aY, aZ)    

Понятие базиса. Разложение вектора по базису

    Изобразим вектор a так, чтобы он выходил из начала координат:  

Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением векторов a и b называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. a * b = ï a ï*ï b ï* cos j a

Свойства скалярного произведения.

1) a * b = b * a - переместительное свойство                  … 2) ( l * a ) * b = l * (a * b )

Следствия из свойств скалярного произведения.

1. Скалярные произведения одноименных ортов равны 1                 … i 2 = j 2 = k 2 = 1

Скалярные произведения векторов через координаты

Пусть a = ax *i+ ay *j+ az*k b = bx *i+ by *j + bz *k Тогда на основании выше рассмотренных свойств                             …

Векторное произведение двух векторов

1) Длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b 2) c перпендикулярен a и c перпендикулярен b , c^a ; c ^b 3) вектор c направлен таким образом, чтобы кратчайший поворот от вектора a к вектору b происходил против часовой…

Смешанное произведение векторов

Определение: Скалярное произведение векторного произведения векторов a и b на вектор c называют смешанным произведением векторов a , b и c .                   … (a x b) *с = a * b *с

Свойства смешанного произведения

1) a * b * c = - a * c * b = - c * b * a a * b * c = b * c * a = c * a * b

Геометрический смысл смешанного произведения векторов

Пусть даны векторы a, b, c , которые не лежат в одной плоскости.     d Построим на них параллелепипед:

N-мерные векторы

a = (a1, a2, ….., an)   b = (b1, b2, …...., bn)

Линейная зависимость (независимость) системы векторов

                              … k1*a1 + k2* a2 +……. + kn*an = 0  

Разложение вектора по некоторому базису

  Для трехмерного пространства i (1,0,0) R3 базисом будут: j (0,1,0)

ЭЛЕМЕНТЫ аналитическОЙ геометриИ

Пусть на плоскости нам дана некоторая прямая. Определение: Угол между данной прямой и положительным направлением оси ОХ… Определение: Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом данной прямой ( k = tg a).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

M1(x1,y1) M2(x2,y2) – две точки, через которые проходит заданная прямая y=k*x+b.     y1 = k * x1 + b y = k*x + y1 - k * x1

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

l1 : y = k1 * x + b1 l2 : y = k2 * x + b2 1) l1 êê l2 тогда угол между прямыми j = 0 и tg j =0, а следовательно:

Общее уравнение прямой

Теорема: Любая прямая на плоскости есть множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению: A*x+B*y+C = 0 где A, B и C - числа, которые все одновременно не равны 0.

Частные случаи общего уравнения прямой

 

1) Если в общем уравнении коэффициент С=0,

то прямая проходит через O(0,0).

2) Если в общем уравнении коэффициент А=0,

то прямая параллельна оси OX.

3) Если в общем уравнении коэффициент В=0,

то прямая параллельна оси OY.

4) Если в общем уравнении коэффициенты А=С=0,

то это уравнение оси OX.

5) Если в общем уравнении коэффициенты В=С=0,

то это уравнение оси OY.

 

Уравнение прямой на плоскости в отрезках

 

Пусть дана прямая линия l: A*x + B*y + C = 0

Преобразуем данное уравнение:

 

A*x + B*y = - C , (A/-C)*x + (B/-C)*y = 1, откуда

 

x/a + y/b = 1 - уравнение прямой в отрезках,

где a = - C/A b = - C/B.

Модули коэффициентов a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях.

 

Расстояние от точки до прямой

Даны: прямая A*x + B*y + C = 0 и точка M(x1,y1), не принадлежащая прямой M(x1,y1)

Уравнение плоскости в пространстве

Z Через некоторую точку, перпендикулярную

Угол между плоскостями

  a: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0  

Расстояние от плоскости до точки

a: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0 – плоскость; M(x1,y1,z1) – точка. Тогда расстояние от точки до плоскости: M(x1,y1,z1) |A1*x1 + B1*y1 + C1*z1 + D1 |

Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

Даны точки: M1(x1,y1,z1) ; M2(x2,y2,z2) ; M3(x3,y3,z3) ; Все эти точки лежат в одной плоскости. Пусть M(x,y,z) – некоторая точка этой же плоскости.  

Прямая линия в пространстве

Рассмотрим в пространстве прямую “l” l S M M1(x1,y1,z1) Î l, S ôô l ,

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки

Даны: M1(x1,y1,z1); M2(x2,y2,z2) – принадлежащие прямой l l M2

Прямая, как линия пересечения двух плоскостей

  Имеем a: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0 b: A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть в пространстве заданы прямые:     (x – x1) (y – y1) (z – z1)

Угол между двумя прямыми

Ðj = Ð( l1, l2 ) = Ð(S1, S2)   cos j = (S1*S2) / êS1 ê*êS2 ê =

Кривые второго порядка на плоскости

Определение:Окружностью называют множество точек плоскости равноудаленных от данной точки, называемой центром, на заданное расстояние, называемое…   Y