рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Линейные системы общего вида

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Линейные системы общего вида

Линейные системы общего вида - раздел Математика, ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ Рассмотрим Систему Линейных Уравнений С N-Неизвестными ...

Рассмотрим систему линейных уравнений с n-неизвестными

а₁₁*х₁+а₁₂*х₂+….+а₁_n*х_n=b₁

а₂₁*х₁+а₂₂*х₂+….+а₂_n*х_n=b₂

_{……………………………………………} (1)

а_m₁*х₁+а_m₂*х₂+….+а_mn*х_n=b_m

Основной матрицей данной системы является матрица

а₁₁а_{12 ..…}а₁_n_.

а₂₁а_{22 ….}а₂_n

A = ………………

а_m₁а_m_{2 …...}а_mn

Матрица, которая получается из основной матрицы посредством добавления столбца свободных членов, называется расширенной матрицей:

а₁₁а_{12 ……}а₁_n b₁

а₂₁а_{22 …...}а₂_n b₂

A = ……….…………._.

а_m1а_{m2 …...}а_mnb_m

Систему (1) можно записать в виде: A*X=B , где:

x₁b₁

x₂b₂

X= … B = …

x_n b_m

Определение: Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

1. Умножение любого уравнения системы на число отличное от нуля.

2. Прибавление к одному из уравнений системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число отличное от нуля.

3. Перестановка местами 2-х уравнений.

При элементарных преобразованиях системы линейных уравнений те же преобразования производятся над расширенной матрицей системы.

Определение: Эквивалентными системами линейных уравнений называются системы, которые получаются одна из другой посредством элементарных преобразований.

Определение: Миноромматрицы называется определитель, образованный элементами этой матрицы, который получается из данной матрицы посредством выделения определенного равного числа строк и столбцов. Порядком минора называется порядок определителя (число строк определителя).

Примеры: 1 2 3 1 2

A = 2 8 9 M₂= 4 5 - минор 2-го порядка.

4 5 7

M₁= 1 - минор 1-го порядка.

Определение: Рангом матрицы называется наибольший порядок минора матрицы, отличного от нуля. r(A) – ранг матрицы

Пример: 1 2 3

A = 4 5 6 определим ранг:

2 4 6

1 2 3 1 2

M₃= 4 5 6 =0 M₂= 4 5 =1*5-4*2=-3

2 4 6

т.о. r(A)=2 - ранг матрицы равен 2

Определение: Базисным минором матрицы называется любой ее минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы.

Теорема:При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.

Определение: Ступенчатой матрицей называется матрица, которая имеет ступеньку из 0 (нулей), удовлетворяющую определенным свойствам (см. пример).

Примеры:

1 2 3

С = 0 1 4 - ступенчатая матрица r(C)=3

0 0 5

1 2 4 5

D = 0 0 1 2 - ступенчатая матрица r(D)=3

0 0 0 4

Теорема: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Теорема: Любую матрицу при помощи элементарных преобразований можно привести к ступенчатой.

Пример:

1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2

А = 2 0 1 3 ~ 0 -6 -1 -1 ~ 0 -6 -1 -1

3 3 2 4 0 -6 -1 -2 0 0 0 -1

При первом преобразовании:

- каждый элемент второй строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-2)

- каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом первой строки умноженным на (-3)

При втором преобразовании:

- каждый элемент третьей строки складываем с соответствующим элементом второй строки умноженным на (-1)

Теорема(критерий совместности Кронекера-Капелли): Система линейных уравнений совместна (имеет решения) тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

r(A)=r( A )

Следствие: Если ранги не равны, то системы соответственно не имеют решений.

Теорема(критерий определенности) : Совместная система линейных уравнений будет определенной, если ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных переменных.

Следствие: Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений, т.е. она неопределенная система.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

Сумма Объединение двух множеств А и В называется такое множество которое состоит только из тех элементов которые принадлежат хотя бы одному... В виде характеристического свойства А U В x x Icirc A или x Icirc B... Если изображают...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные системы общего вида

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Одним из основных математических понятий является понятие множества. Определение: Множествомназывают совокупность каких-то объектов,

Множества чисел и их обозначения
N - множество натуральных чисел- {1,2,3,…, n,…. } Z - множество целых чисел {…-3,-2,-1,0,1,2,………. } Q

Специальные математические символы
Для краткости записи произведения первых n-натуральных чисел вводят: 1*2*3*4*……..* n = n! , n –факториал. 1!=1 , 2!=1*2=2 , 5!=1*2*3*4*5=120, 0!=1 0-факториал. Д

Определители и их свойства
Определение1: Определителем второго порядка называется число, которое: - обозначается следующим символом &n

Свойства определителей
1. Если в определителе поменять местами строки и столбцы с одинаковыми номерами, то значение определителя при этом не изменится

Матрицы и их свойства
Определение: Матрицей размерности mxn (m на n) называют таблицу чисел, которая состоит из m строк и n столбцов. &n

Экономическая интерпретация действий над матрицами
Пусть имеется n-видов товара, причем известны их цены. Pi – цена соответствующего товара (i=1,2,3,….n). Xi – приобретенное количество соответствующего товара. Запишем это

Системы линейных уравнений
Определение. Уравнение вида а11*х1+а12*х2+….+а1n*хn=b1 (1) называют линейным

Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера
Рассмотрим систему из 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными. а11*х1+а12*х2+а13*х3=b1 а21

Решение систем линейных уравнений матричным способом
Рассмотрим систему: а11*х1+а12*х2+а13*х3=b1 а21*х1+а22*х2+

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из системы. Схема решения: 1. Выписываем расширенную матрицу системы и п

Экономическая интерпретация систем линейных уравнений
Пусть производится n видов продукции, для чего используется m видов сырья. Пусть известны величины: Xij – количество ресурса i-того вида, необходимого для производства продукции j

Действия над векторами

Свойства действий над векторами

Теоремы о проекции вектора на ось
Теорема 1: Проекция вектора на ось равна произведениюдлины вектора на косинус угла между вектором и числовой осью.

Длина вектора. Направляющие косинусы вектора
Z

Понятие базиса. Разложение вектора по базису
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат.

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения.

Следствия из свойств скалярного произведения.
1. Скалярные произведения одноименных ортов равны 1

Скалярные произведения векторов через координаты
&nbs

Векторное произведение двух векторов

Смешанное произведение векторов

Свойства смешанного произведения
&nbs

Геометрический смысл смешанного произведения векторов

N-мерные векторы
Определение: n-мерным вектором называют упорядоченную совокупность n чисел. a = (a1, a

Линейная зависимость (независимость) системы векторов
Определение: Система (1) называется линейно зависимой, если существуют числа k1, k2, …..kn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, но при этом выполняется

Разложение вектора по некоторому базису
Определение: Базисом системы векторов (1) называют такую ее подсистему, векторы которой линейно независимы, а любой вектор системы является

ЭЛЕМЕНТЫ аналитическОЙ геометриИ
4.1 Прямая линия на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости Пусть на плоскости нам дана некоторая прямая. Определ

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M1(x1,y1) M2(x2,y2) – две точки, через которые проходит заданная прямая y=k*x+b.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть даны две прямые: l1 : y = k1 * x + b1 l2 : y = k2 * x + b2 1) l1 êê

Общее уравнение прямой
Теорема: Любая прямая на плоскости есть множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению: A*x+B*y+C = 0 где A, B и C - числа, которые

Расстояние от точки до прямой
Даны: прямая A*x + B*y + C = 0

Уравнение плоскости в пространстве
Пусть в пространстве задана произвольная плоскость a, которая проходит через точку M0(x0,y

Угол между плоскостями
Пусть даны 2 плоскости a: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0 b: A2*x + B2*y + C2

Расстояние от плоскости до точки
a: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0 – плоскость; M(x1,y1,z1) – точка. Тогда расстояние от точки до п

Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
Даны точки: M1(x1,y1,z1) ; M2(x2,y2,z2) ; M3(x3,y3,z3

Прямая линия в пространстве
4.3.1 Параметрическое уравнение прямой в пространстве и каноническое уравнение прямой в пространстве Рассмотрим в пространстве прямую “l”

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки
Даны: M1(x1,y1,z1); M2(x2,y2,z2) – принадлежащие прямой l

Прямая, как линия пересечения двух плоскостей
Пусть две плоскости пересекаются по прямой. Имеем a: A1*x + B1*y + C

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Пусть в пространстве заданы прямые:

Угол между двумя прямыми

Кривые второго порядка на плоскости
Определение:Окружностью называют множество точек плоскости равноудаленных от данной точки, называемой центром, на заданное расстояние, называемое радиусом ок