Основы теории подобия

Так как у поверхности твердого тела имеется слой неподвижной жидкости, через который теплота передается только теплопроводностью, то для этого слоя можно использовать закон Фурье. Принимая, что ось у направлена перпендикулярно поверхности, можно записать:

.

Однако, с другой стороны .

Отсюда (2.3.1)

Это дифференциальное уравнение теплоотдачи.

В общем случае теплообмен определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими явлениями, поэтому математическое описание процесса включает систему дифференциальных уравнений, в которые входят уравнение энергии, уравнение движения вязкой жидкости (уравнения Навье – Стокса) и уравнение сплошности или неразрывности. Кроме того, эти уравнения должны быть дополнены условиями однозначности.

Ввиду сложности математического описания процессов конвективного теплообмена аналитическое решение дифференциальных уравнений и условий однозначности становится возможным только в результате существенных упрощений, которые в значительной степени снижают лрактическую ценность полученных результатов. Поэтому для получения расчетных зависимостей прибегают к экспериментальному изучению явления.

Коэффициент теплоотдачи зависит от многих параметров. Если каждый параметр при проведении экспериментов изменять независимо от других несколько раз, (например 10 раз) то общее число экспериментов будет измеряться миллионами. Для облегчения поиска расчетных зависимостей применяется метод анализа размерностей и теория подобия.

Метод анализа размерностей позволяет уменьшить число параметров, от которых зависит искомая величина путем объединения параметров в безразмерные комплексы, которые называются критериями подобия. Анализ уравнений конвективного теплообмена позволяет получить следующие основные критерии подобия. Они названы по именам ученых, внесшихсущественный вклад в изучение процессов теплопереноса и гидродинамики.

Критерий Рейнольдса (критерий режима движения жидкости) – характеризует отношение сил инерции и сил вязкости.

, (2.3.2)

скорость потока (м/с),

линейный параметр (длина пластины, диаметр канала) (м),

коэффициент кинематической вязкости (м²/с).

Критерий Грасгофа (критерий подъемной силы) – характеризует отношение подъемной силы и силы вязкого трения.

, (2.3.3)

коэффициент объемного расширения,

разность температур жидкости и стенки.

Критерий Прандтля (критерий физических свойств жидкости) – характеризует способность распространения теплоты в жидкости.

, (2.3.4)

плотность жидкости (кг/м³),

изобарная теплоемкость жидкости (Дж/кг·К),

коэффициент теплопроводности жидкости (В,т/м·К),

коэффициент температуропроводности (м²/с).

Критерий Нуссельта (критерий теплоотдачи) – характеризует отношение между интенсивностью теплоотдачи и температурным полем в пограничном слое.

, (2.3.5)

коэффициент конвективной теплоотдачи (Вт/м²·К).

Численное значение критерия подобия называется числом подобия. Звисимость между переменными, характеризующими какой-либо процесс, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия. При конвективном теплообмене уравнение подобия в общем случае имеет вид:

. (2.3.6)

 

 

При обобщении экспериментальных данных по изучению процессов конвективного теплообмена в инженерной практике наиболее широко используются следующие критерии теплового и механического подобия:

Критерий Нуссельта ,

характеризует соотношение конвективного теплового потока и теплового потока, переносимого путём теплопроводности;

Критерий подобия Рейнольдса, Re, характеризует соотношение между силой инерции и силой трения в движущимся потоке жидкости

,

где: - средняя скорость потока жидкости, - Коэффициент кинематической вязкости,.

Этот критерий используется для определения режима движения при вынужденном движении.

Критерий подобия Грасгофа, Gr, характеризует кинематическое подобие при свободной (естественной) конвекции жидкости

.

Критерий подобия Прандтля. Этот критерий определяет подобие температурных и скоростных полей в движущейся жидкости.

,

где - коэффициент температуропроводности жидкости, .

Критерий подобия Эйлера, характеризует подобие сил давления.

,

где - разность сил давления, Па.

Критерий подобия Био. Характеризует соотношение между тепловым сопротивлением тела и тепловым сопротивлением теплоотдачи

,

где - коэффициент теплопроводности материала поверхности теплообмена.

Входящая во все критерии подобия величина l представляет собой определяющий линейный размер поверхности теплообмена в литрах, который в наибольшей степени влияет на условия обтекания поверхности жидкостью.