Сборник заданий МАТЕМАТИКА

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

«БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

 

 

Т.А. Ярцева

Н.В. Карабутова

МАТЕМАТИКА

Сборник заданий

для самостоятельной работы студентов

Издательство

Белгородского университета

кооперации, экономики и права

2013
АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

«БЕЛГОРОДСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КООПЕРАЦИИ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

 

 

Т.А. Ярцева

Н.В. Карабутова

Сборник заданий для самостоятельной работы студентов  

Ярцева Т.А., Карабутова Н.В.

  Сборник содержит задания для самостоятельной работы студентов по основным… Издание предназначено для студентов 1 курса всех специальностей факультета среднего профессионального образования.

Содержание

 

Введение ……………………………….…………………...…
Раздел 1. Алгебра……………………………………………..
Тема 1. Целые, рациональные и действительные числа…....
Тема 2. Комплексные числа………………………………..…
Тема 3. Корни и степени………………………………………
Тема 4. Логарифмы…………………………………………....
Тема 5. Преобразование алгебраических выражений………
Тема 6. Основы тригонометрии………………………………
Тема 7. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа………………………………………………..….
Тема 8. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства…………………………………………………….
Тема 9. Функции и их свойства………………………….…..
Тема 10. Показательная функция…………………………….
Тема 11. Логарифмическая функция……………………..…..
Тема 12. Тригонометрические функции…………………….
Тема 13. Рациональные и иррациональные уравнения…….
Тема 14. Показательные и логарифмические уравнения…...
Тема 15. Тригонометрические уравнения…………………...
Тема 16. Системы уравнений………………………………....
Тема 17. Рациональные, показательные и логарифмические неравенства……………………………………………..
Раздел 2. Начала математического анализа……………...
Тема 18. Предел и непрерывность функции………...……….
Тема 19. Производная, ее геометрический и механический смысл…………………………………………………...
Тема 20. Применение производной к исследованию функций и построению графиков……………………………….…
Тема 21. Использование производной для решения прикладных задач………………………………………………….
Тема 22. Первообразная и интеграл……………………….....
Тема 23. Применение определенных интегралов………...…
Раздел 3. Комбинаторика, теория вероятностей и статистика……………………………………………………….…..
Тема 24. Основные понятия комбинаторики. Бином Ньютона……………………………………………………………..
Тема 25. События и их вероятности….…………………...…
Тема 26. Дискретная случайная величина, закон ее распределения……………………………………………....................
Тема 27. Элементы математической статистики…………..
Раздел 4. Геометрия……………………………………….....
Тема 28. Прямые и плоскости в пространстве……………....
Тема 29. Многогранники……………………………………...
Тема 30. Тела и поверхности вращения………………..…….
Тема 31. Измерения в геометрии………………………..……
Тема 32. Координаты и векторы………………………….….
Список рекомендуемой литературы...….………………....…
Приложение………………………………………..………..…

ВВЕДЕНИЕ

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических, экономических и правовых исследованиях. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач, но и элементом общей культуры. Математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе подготовки современного специалиста.

Предлагаемое издание содержит задания по фундаментальным разделам математики, изучение которых составит основу математических знаний студента.

Сборник состоит из 32 тем. По каждой теме даны задания для самостоятельной работы, которые студент может выполнять на практических занятиях или во время внеаудиторной домашней работы.

В конце сборника имеется список рекомендуемой литературы, а также многочисленные приложения, содержащие необходимые теоретические сведения для успешного выполнения заданий.

 

РАЗДЕЛ 1. АЛГЕБРА

Тема 1. Целые, рациональные и действительные числа

  1. . 2. .

Тема 2. Комплексные числа

Задание 2.Решите уравнения.   1. . 2. .

Тема 3. Корни и степени

1. + .   2. + .

Тема 4. Логарифмы

Задание 9. Вычислите.   1. а) ; б) . 2. а) ; б) .

Тема 5. Преобразование алгебраических выражений

  1. . 2. . 3. . 4.

Тема 6. Основы тригонометрии

  1. 1350. 2. 1000. 3. 6000. 4. 270. 5. 1250. 6. 2100. 7. 3150. 8. 750. 9. 720. 10. 4150.

Арккотангенс числа

  1. . 2. . 3. . 4. .

Тема 8. Простейшие тригонометрические уравнения

И неравенства

    1. . 2. . 3. .

Тема 9. Функции и их свойства

  1. . 2. . 3. . 4. .

Тема 10. Показательная функция

  1.. 2.. 3.. 4.. 5. . 6. .

Тема 11. Логарифмическая функция

  1. . 2. .  

Тема 12. Тригонометрические функции

  1. . 2. . 3. . 4. .

7. . 8. .

9. . 10..

11..12..

13..14..

15.. 16..

17.. 18..

19.. 20..

21.. 22..

23.. 24..

25..

 

Тема 13. Рациональные и иррациональные уравнения

1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 6..

Тема 14. Показательные и логарифмические уравнения

  1.а) ; б) . 2. а) ; б) .

Тема 15. Тригонометрические уравнения

Задание 35. Решите уравнения.   1. а) ; б) .

Тема 16. Системы уравнений

Задание 36. Решите систему уравнений.   1. 2.

Тема 17. Рациональные, показательные и логарифмические

Неравенства

1. а) ; б) . 2. а) ; б) . 3. а) ; б) .

РАЗДЕЛ 2. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема 18. Предел и непрерывность функции

Задание 39.Найдите пределы функций. 1.при а); б); в).  

Тема 19. Производная, ее геометрический и механический смысл

  1.а) ; б) ; в) . 2. а) ; б) ; в) .

Тема 20. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

  1. . 2.. 3. . 4..

Тема 21. Использование производной для решения

Прикладных задач

Задание 48.Решите задачи, используя производную.   1.Какое число при сложении со своим квадратом дает наименьшую сумму?

Тема 22. Первообразная и интеграл

Задание 49.Найдите неопределенные интегралы.   1. а) ; б) ; в) .

Тема 23. Применение определенных интегралов

Задание 51.Вычислите площади фигур, ограниченных заданными линиями. Сделать чертеж.   1. , .

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА

 

Тема 24. Основные понятия комбинаторики.

Бином Ньютона

Задание 52.Вычислить значения выражений.   1. ; ; . 2. ; + . 3. ; + .

Тема 25. События и их вероятности

Задание 55.Пользуясь классическим определением, найти вероятности событий.   1.Абонент забыл две последние цифры номера и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры разные. Найти вероятность…

Тема 26. Дискретная случайная величина, закон

Распределения

1.Сумма очков, выпавших при одном подбрасывании двух шестигранных игральных костей. 2.Количество красных шаров среди трех шаров, вынутых наудачу из коробки, в… 3.Количество попаданий в мишень при четырех выстрелах, при условии, что вероятность попадания в мишень при одном любом…

Тема 27. Элементы математической статистики

  1.В команде баскетболистов игроки имеют рост (в см): 200, 192, 192, 200, 180,… 2.Подсчитали объем продаж магазина в течение 10 дней (в тыс. руб.): 45, 39, 33, 37, 31, 29, 41, 41. Найти среднее…

РАЗДЕЛ 4. ГЕОМЕТРИЯ

 

Тема 28. Прямые и плоскости в пространстве

   

Тема 29. Многогранники

  1.а = 2 м. 2. а = 20 см. 3. а = 3 см.  

Тема 30. Тела и поверхности вращения

  1.h = 10 см, r = 40 см. 2. h = 10 см, r = 4 см.  

Тема 31. Измерения в геометрии

  1.Основание прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетом 6 см и…  

Тема 32. Координаты и векторы

Задание 71.Найдите координаты заданной точки по координатам других точек.   1.На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек C(3; -2; 4) и В (0; 5; -1).

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

Основная

 

1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

2. Геометрия, 10–11: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 206 с.

 

Дополнительная

 

Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля. Учебник для образовательных учреждений начального и среднего профессионального образования. – М.: Академия, 2010. – 384 с.

2. Максимова О.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов средних специальных учебных заведений. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2006. – 320 с.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Действия с дробями

3. . 4. . Формулы сокращенного умножения

Свойства арифметических корней

1. . 2. 3. . 4. . 5. . 6. .

Логарифмы и их свойства

. Основное логарифмическое тождество: . 1. .

Формулы сложения

; ; ;

Формулы двойного аргумента

; ; ; ; .

Формулы половинного аргумента

; ;

.

 

Формулы преобразования суммы в произведение

; ; ;

Формулы преобразования произведения в сумму

 

;

;

.

 

Обратные тригонометрические функции

; ; ;

Простейшие тригонометрические уравнения

 

Частные случаи

Основные элементарные функции и их графики

   

Обратные тригонометрические функции

Производные основных элементарных функций

1. . 2. .   3. . 4. .

Основные правила дифференцирования

1. . 2. . 3. . 4. ,  

Свойства неопределенных интегралов

1. . 2. . 3. , где .

Свойства определенного интеграла

2. , где . 3. . 4. .

Площадь плоской фигуры

где у = f₂ (x), y = f ₁(x) – уравнения верхней и нижней границ фигуры; х = а, х =b – уравнения левой и правой границ фигуры.

Формулы комбинаторики

  Классическое определение вероятности: ,

.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий:

Вероятность противоположного события:

Вероятность появления хотя бы одного из событий:

P (A+A+A…+A) = 1– P () P ()).

Треугольник

a, b, с – длины сторон треугольника; h – высота треугольника;

Прямоугольный треугольник

a, b – катеты; c – гипотенуза;  

Равносторонний треугольник

, – радиусы вписанной и описанной окружностей; – площадь равностороннего треугольника. Прямоугольник

Квадрат

a – длина стороны квадрата;  

Параллелограмм

  a, b – длины сторон параллелограмма;  

Ромб

 

a – длина стороны ромба;

h – длина высоты ромба;

α – угол между сторонами ромба;

d₁, d₂ – длины диагоналей;

 

– площадь ромба;

 

, – формулы площади ромба.

Трапеция

  a, b – длины оснований трапеции; c, d – длины боковых сторон трапеции;

Окружность и круг

r – радиус круга, окружности;  

Свойства вписанных, описанных фигур

  Описанная вокруг треугольника ABC окружность имеет центр в пересечении…  

Куб

 

a – ребро куба;

– диагональ куба;

– площадь одной грани куба;

– площадь полной поверхности куба;

– объем куба.

Прямоугольный параллелепипед

  a – длина основания;

Призма

 

 

h – высота призмы;

– площадь полной поверхности призмы;

– объем призмы.

 

 

Пирамида

 

 

h – высота пирамиды;

 

– площадь полной поверхности пирамиды;

 

– объем пирамиды.

Усеченная пирамида

  h – высота усеченной пирамиды;

Цилиндр

  R – радиус основания цилиндра;

Конус

 

 

R – радиус основания;

h – высота конуса;

l – образующая конуса;

– площадь основания конуса;

– площадь боковой поверхности конуса;

– объем конуса.

Усеченный конус

  R – радиус нижнего основания;

Шар, сфера

 

 

R – радиус шара, сферы;

– площадь сферы;

– объем шара.

Векторы и координаты в пространстве

Координаты вектора , если и :   .

Таблица квадратов чисел от 1 до 100

 

12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100	112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361 202 = 400	212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900	312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521 402 = 1600	412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500
512 = 2601 522 = 2704 532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 572 = 3249 582 = 3364 592 = 3481 602 = 3600	612 = 3721 622 = 3844 632 = 3969 642 = 4096 652 = 4225 662 = 4356 672 = 4489 682 = 4624 692 = 4761 702 = 4900	712 = 5041 722 = 5184 732 = 5329 742 = 5476 752 = 5625 762 = 5776 772 = 5929 782 = 6084 792 = 6241 802 = 6400	812 = 6561 822 = 6724 832 = 6889 842 = 7056 852 = 7225 862 = 7396 872 = 7569 882 = 7744 892 = 7921 902 = 8100	912 = 8281 922 = 8464 932 = 8649 942 = 8836 952 = 9025 962 = 9216 972 = 9409 982 = 9604 992 = 9801 1002 = 10000

Таблица степеней чисел от 1 до 9

 

11 = 1 12 = 1 13 = 1 14 = 1 15 = 1 16 = 1 17 = 1 18 = 1 19 = 1 110 = 1	21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024	31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243 36 = 729 37 = 2187 38 = 6561 39 = 19683 310 = 59049
41 = 4 42 = 16 43 = 64 44 = 256 45 = 1024 46 = 4096 47 = 16384 48 = 65536 49 = 262144 410 = 1048576	51 = 5 52 = 25 53 = 125 54 = 625 55 = 3125 56 = 15625 57 = 78125 58 = 390625 59 = 1953125 510 = 9765625	61 = 6 62 = 36 63 = 216 64 = 1296 65 = 7776 66 = 46656 67 = 279936 68 = 1679616 69 = 10077696 610 = 60466176
71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2401 75 = 16807 76 = 117649 77 = 823543 78 = 5764801 79 = 40353607 710 = 282475249	81 = 8 82 = 64 83 = 512 84 = 4096 85 = 32768 86 = 262144 87 = 2097152 88 = 16777216 89 = 134217728 810 = 1073741824	91 = 9 92 = 81 93 = 729 94 = 6561 95 = 59049 96 = 531441 97 = 4782969 98 = 43046721 99 = 387420489 910 = 3486784401

 

Учебное издание

Ярцева Татьяна Александровна

Карабутова Наталья Владимировна

 

 

Математика

для самостоятельной работы студентов