МАТЕМАТИКА

Ярославский филиал федерального государственного

бюджетного образовательного учреждения высшего

профессионального образования «Московский государственный

университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)»

 

Жолудева В.В.

 

МАТЕМАТИКА

Учебное пособие   Ярославль 2012

Содержание

Раздел 1. Линейная алгебра………………………………………………………4

1.1 Матрицы и определители………………………………………4

1.2 Системы линейных уравнений…………………………..........11

1.3 Векторные пространства. Арифметические векторы……….16

1.4 Контрольные задания для студентов по разделу 1 «Линейная алгебра»………………………………………………………...19

 

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии…………………………..........23

2.1 Векторы на плоскости и в пространстве…………………….23

2.2 Аналитическая геометрия на плоскости……………………..27

2.3 Аналитическая геометрия в пространстве…………………...34

2.4 Контрольные задания для студентов по разделу 2 «Элементы аналитической геометрии»…………………………………...36

 

Раздел 3. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной………………………..42

3.1 Предел последовательности, предел функции………………42

3.2 Производная функции и ее применение к исследованию функций………………………………………………………..48

3.3 Неопределенный интеграл……………………………………54

3.4 Определенный интеграл. Несобственный интеграл………...56

 

Раздел 4. Математический анализ. Функции нескольких переменных……...58

4.1 Понятие функции нескольких переменных…………………58

4.2 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных……………………………………………………59

 

Раздел 5. Математический анализ. Дифференциальные уравнения………….61

5.1 Комплексные числа и действия над ними……………….…..61

5.2 Дифференциальные уравнения первого порядка…………...62

5.3 Дифференциальные уравнения второго порядка…………...66

 

Раздел 6. Математический анализ. Числовые и степенные ряды…………….69

6.1 Знакоположительные числовые ряды. Признаки сходимости…………………………………………………….69

6.2 Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница.....72

6.3 Степенные ряды……………………………………………….74

6.4 Контрольные задания для студентов по разделам

3 – 6 «Математический анализ»……………………………...76

 

Раздел 1. Линейная алгебра

Матрицы и определители

Сокращенно обозначается . Числа называются элементами матрицы А.

Определители

1. Рассмотрим это понятие для матриц второго порядка. Пусть задана матрица .

Системы линейных уравнений

(1) Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется…

Линейные пространства. Арифметические векторы

1) задано правило, по которому для каждых 2-х элементов можно построить третий элемент , называемый суммой и и обозначаемый ; 2) задано правило, которое позволяет для каждого элемента и для каждого числа… 3) правила построения суммы и произведения элемента на число удовлетворяющих следующим аксиомам:

Контрольные задания для студентов по разделу 1

«Линейная алгебра»

 

Задание 1. Дана матрица С. Определите ранг матрицы С.

Данные для своего варианта возьмите из таблицы 1.

 

Задание 2. Даны матрица А и вектор b.

1) вычислите определитель матрицы А

2) найдите матрицу , сделайте проверку

3) найдите решение системы уравнений Ах=b

Данные для своего варианта возьмите из таблицы 1.

 

Таблица 1

№ варианта	Задание 1	Задание 2
С	А	х	b

 

 

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Векторы на плоскости и в пространстве

Векторную величину можно задать в виде направленного отрезка – вектора. Вектор может быть обозначен прописной латинской буквой и т.д., или двумя… Нулевой вектор – это вектор, начало и конец которого совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Аналитическая геометрия на плоскости

1) Прямоугольная система координат – две взаимно перпендикулярные прямые (горизонтальная и вертикальная) с заданным масштабом. 2) Полярная система координат Пусть на плоскости даны некоторая точка О и проходящая через нее ось ОХ. Положение любой точки М плоскости…

Аналитическая геометрия в пространстве

Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат OXYZ. Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость Q. Поверхности Q соответствует… 1. Общее уравнение плоскости ,

Раздел 3. Математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Предел последовательности, предел функции

Предметы, составляющие множество, называются элементами множества. То, что элемент входит во множество А, записывается так: (читается так: элемент… Множество можно задать 1) перечислением его элементов (например, множество учеников в классе задается перечислением фамилий в классном…

Производная функции и ее применение к исследованию функции

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, существует и этот предел равен… . Пример. Проверим непрерывность функции в произвольной точке :

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где С – произвольная… Основные свойства неопределенного интеграла 1.

Определенный интеграл

В каждом из отрезков разбиения выберем произвольно точку и положим . Тогда сумма вида называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Раздел 4. Математический анализ. Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных

Пусть на плоскости ХОУ имеется некоторое множество точек D и каждой точке поставлено в соответствие по некоторому правилу число . Тогда говорят, что… Определение. Переменная величина называется функцией двух независимых… Пример. Пусть и - длины сторон прямоугольника, - его площадь. Тогда - функция двух независимых переменных и , заданная…

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Определение. Частными производными в точке по и называют соответственно и . Обозначения: , или , , или , или , . Пример.

Раздел 5. Математический анализ. Дифференциальные уравнения

Комплексные числа и действия над ними

Два комплексных числа и отличающиеся только знаком мнимой части, называются комплексно сопряженными. Числа и равны (), если и . Для геометрического изображения комплексного числа введем понятие комплексной плоскости. На плоскости ХОУ комплексное…

Дифференциальные уравнения первого порядка

Если неизвестная функция зависит только от одного переменного, то д.у. называется обыкновенным; если от нескольких переменных и производные,… Так как наиболее частным случаем является изучение тех или иных характеристик… Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в д.у. называется порядком дифференциального уравнения. …

Дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Прежде всего, остановимся на изучении однородных линейных дифференциальных… Уравнение вида

Раздел 6. Математический анализ. Числовые и степенные ряды

Знакоположительные ряды. Признаки сходимости

Числовым рядом называется бесконечная сумма членов числовой последовательности. Краткая запись ряда: Числа называются членами ряда, в частности - первый член ряда, - n-ый или общий член ряда.

Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница

, где (ряд может начинаться и с отрицательного члена). Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине

Степенные ряды

называется функциональным, если члены его являются функциями от переменной… Давая переменной х определенные числовые значения, получаем сходящиеся или расходящиеся числовые ряды.