Реферат Курсовая Конспект
Неопределенный интеграл - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Функия ...
|
Функия называется первообразной для функции на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равенство .
Совокупность всех первообразных для функции на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где С – произвольная постоянная. В записи функция называется подинтегральной функцией, а - подинтегральным выражением. Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны.
Основные свойства неопределенного интеграла
1.
2.
3.
4. , где - некоторое число
5.
Табличные интегралы
1.
2. , где
3.
4. , где
5.
6.
7.
8. , где
9.
10.
11.
12.
13.
Методы интегрирования
Основное содержание различных методов нахождения интегралов состоит в сведении искомого интеграла к табличному или сумме интегралов. В простейших случаях это удается сделать, используя лишь эквивалентные преобразования подынтегральной функции и, если необходимо, свойства интегралов.
1. Метод замены переменной
Пусть - функция, непрерывно дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Тогда
.
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Пример 1. Найти интеграл .
Решение. Сделаем замену , тогда , следовательно .
Тогда .
2. Метод интегрирования по частям
Пусть и - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула:
.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример 2. Найти интеграл .
Решение. Пусть , . Тогда ,
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
.
Для нахождения последнего интеграла вновь применим формулу интегрирования по частям, сделаем замену , . Тогда , .
Тогда .
Следовательно, искомый интеграл равен
.
3. Интегрирование рациональных выражений
Рассмотрим способы нахождения интегралов вида , где и - некоторые многочлены от переменной х.
Пусть знаменатель допускает разложение на линейные множители:
,
где при и - положительные целые числа. В этом случае дробь допускает представление в виде суммы простейших дробей:
,
где - некоторые неизвестные числа. Поэтому рассматриваемый метод интегрирования называется методом неопределенных коэффициентов.
В случае, когда многочлен не допускает разложения на линейные множители, в выражении дополнительно содержатся сомножители вида , тогда разложение дроби дополнительно содержит слагаемые вида
Пример 3. Найти интеграл .
Решение. Разложим подинтегралную функцию на простейшие дроби:
.
Таким образом, , т.е.,
Разложение подынтегральной функции имеет вид:
.
.
Для первого интеграла преобразуем функцию под знаком дифференцила: , для второго – выделим полный квадрат в знаменателе и воспользуемся заменой переменной , тогда .
Тогда,
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
бюджетного образовательного учреждения высшего... профессионального образования Московский государственный... университет экономики статистики и информатики МЭСИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Неопределенный интеграл
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов