рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Дифференциальное Исчисление Функций Двух Переменных Определен...

Дифференциальное исчисление функций двух переменных

Определение. Частными производными в точке по и называют соответственно и .

Обозначения: , или , , или , или , .

Пример.

, .

Определение. Выражение вида

называется полным дифференциалом функции в точке .

Производная по направлению определяет скорость изменения функции в этом направлении и вычисляется следующим образом:

где - угол между вектором и осью ОХ.

Градиент функции

В каждой точке области D, где задана функция (скалярное поле), определим вектор , координатами которого будут частные производные , вычисленные в этой точке:

Вектор называется градиентом функции, и обозначают .

Экстремумы функции нескольких переменных

Функция в точке имеет максимум, если в любой точке достаточно малой - окрестности точки Р выполняется неравенство:

и минимум, если .

Теорема (необходимый признак экстремума функции ).

Если в точке экстремума функция имеет частные производные первого порядка, то они равны нулю:

Теорема (достаточный признак экстремума функции ).

Пусть в некоторой внутренней точке области D функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если выполнены равенства и выражение:

то в точке - экстремум. При этом если , то в точке - максимум, если , то в точке - минимум.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. 1) Составим и решим систему уравнений

; ; ; ; .

Таким образом, получили две точки, «подозрительные» на экстремум:

и .

2) Вычислим вторые производные данной функции:

, , .

Найдем значения этих производных в точках и :

а) : , , . Тогда .

Таким образом, точка не является экстремумом функции .

б) : , , . Тогда .

Таким образом, точка является экстремумом функции , а именно минимумом функции, так как .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИКА

бюджетного образовательного учреждения высшего... профессионального образования Московский государственный... университет экономики статистики и информатики МЭСИ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТЕМАТИКА
(для студентов заочной формы обучения) Учебное пособие Ярославль 2012 УДК ББК Жолудева

Матрицы и определители
Прямоугольной матрицей порядка m×n называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Определители
Важной характеристикой квадратной матрицы А порядка n является ее определитель 1. Рассмотрим это понятие для матриц второго порядка. Пусть задана матрица

Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными (1) Матрица А, составленная из коэ

Линейные пространства. Арифметические векторы
Множество V называется линейным пространством, если 1) задано правило, по которому для каждых 2-х элементов

Векторы на плоскости и в пространстве
Существует две категории величин: скалярные и векторные величины. Скалярные величины – это величины, которые определяются только числовым значением (например, масса, температура, объем); векторные

Аналитическая геометрия на плоскости
Установление связи между алгеброй и геометрией было, по существу, революцией в математике. Это позволило воспринимать математику как единую науку и способствовало ее быстрому развитию. Создателем м

Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве и ее уравнения Пусть в пространстве введена прямоугольная си

Предел последовательности, предел функции
В математике под множеством называется совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Также как и понятия точки, прямой, числа и т.д., понятие м

Производная функции и ее применение к исследованию функции
Непрерывные функции Определение 1. Функция называется непрерывной в точке

Неопределенный интеграл
Функия называется первообразной для функции

Определенный интеграл
Пусть функция задана на отрезке

Понятие функции нескольких переменных
Функции двух переменных Пусть на плоскости ХОУ имеется некоторое множество точек D и каждой точке

Комплексные числа и действия над ними
Определение. Комплексным числом называется выражение

Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением (д.у.) называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит только от одного переменного, то д.у. наз

Дифференциальные уравнения второго порядка
Очень важным классом дифференциальных уравнений порядка выше первого вляется класс линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Преж

Знакоположительные ряды. Признаки сходимости
Пусть дана последовательность вещественных (действительных) чисел Числовым рядом называетс

Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
Определение. Числовой ряд, члены которого поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки, называется знакочередующемся рядом и записывается в виде

Степенные ряды
Определение. Ряд называется функциональным, если члены его являются функциями от