Реферат Курсовая Конспект
Дифференциальные уравнения первого порядка - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Определение. Дифференциальным Уравнением (Д.у.) Называется Уравнение, Содержа...
|
Определение. Дифференциальным уравнением (д.у.) называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.
Если неизвестная функция зависит только от одного переменного, то д.у. называется обыкновенным; если от нескольких переменных и производные, входящие в д.у. – частные, то дифференциальным уравнением с частными переменными.
Так как наиболее частным случаем является изучение тех или иных характеристик процессов, протекающих во времени, то независимую переменную в обыкновенном д.у. будем обозначать через t, а функцию через х.
Наивысший порядок производной неизвестной функции, входящей в д.у. называется порядком дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой д.у. обращается в тождество.
Общий вид д.у. первого порядка есть
.
Задача Коши для д.у. первого порядка, разрешенного относительно производной:
найти определенную на некотором интервале функцию , имеющую на производную такую, что
для всех
и удовлетворяющую условию
,
где , а в точке определена функция .
Значения , при этом называются начальными данными, а условие - начальным условием.
Итак, задача Коши для д.у. состоит в нахождении решения д.у., удовлетворяющего заданному начальному условию.
Виды дифференциальных уравнений первого порядка
1. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными
Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение.
;
;
;
;
.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.
Разделим обе части д.у. на , получим уравнение
,
которое является уравнением с разделенными переменными.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение.
Разделим обе части уравнения на , получим
;
;
;
;
;
.
3. Однородные уравнения первого порядка
Уравнение вида
,
где - однородная функция нулевого измерения, называется однородным д.у. первого порядка.
Заменой , д.у. сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение.
;
.
Сделаем замену , , получим
;
.
Разделим обе части уравнения на , получим
;
;
;
;
.
Тогда, .
4. Уравнение Бернулли
Уравнение вида
называется уравнением Бернулли.
Для решения уравнения делают замену
.
Тогда уравнение Бернулли примет вид
;
.
Найдем из решения уравнения , найдем из решения уравнения .
Пример. Решить дифференциальное уравнение
Решение. Сделаем замену , получим
;
.
1) решим уравнение
;
;
;
;
;
2) решим уравнение
;
;
;
;
;
;
;
;
Тогда, .
5. Линейное уравнение первого порядка
Уравнение Бернулли при , т.е. дифференциальное уравнение вида
называется линейным уравнением первого порядка.
Замена и метод решения линейного д.у. первого порядка аналогичны замене и методам решения уравнения Бернулли.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Сделаем замену , получим
;
;
1) Решим уравнение ;
;
;
;
;
2) Решим уравнение ;
;
;
;
;
.
Тогда, решением д.у. является функция .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
бюджетного образовательного учреждения высшего... профессионального образования Московский государственный... университет экономики статистики и информатики МЭСИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Дифференциальные уравнения первого порядка
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов