Знакоположительные ряды. Признаки сходимости

Пусть дана последовательность вещественных (действительных) чисел

Числовым рядом называется бесконечная сумма членов числовой последовательности.

Краткая запись ряда:

Числа называются членами ряда, в частности - первый член ряда, - n-ый или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда как функция его номера: .

Введем суммы конечного числа членов ряда

, ,…, .

Сумма первых n членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм при неограниченном возрастании номера n, т.е.

.

Если конечный предел последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Определение. Ряд

,

все члены которого положительны , называется знакоположительным рядом.

Укажем сходимость некоторых числовых рядов, наиболее часто встречающихся на практике.

1. Геометрический ряд

а) при геометрический ряд расходится;

б) при геометрический ряд сходится.

2. Гармонический ряд является расходящимся рядом.

3. Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле) -

а) при ряд расходится;

б) при ряд сходится.

Теорема (необходимый признак сходимости).

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак сравнения). Даны два знакоположительных рядов:

(1)

(2)

 

Пусть члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда

.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1);

2) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость

Решение. Рассмотрим геометрический ряд . Он сходится, так как . Сравним члены исходного ряда и геометрического ряда: . Следовательно, исходя из признака сравнения (пункт 1) данный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость

 

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится: . Следовательно, согласно признаку сравнения (пункт 2), данный ряд расходится.

Теорема 2 (предельный признак сравнения). Предположим, что для рядов с положительными членами (1) и (2) выполняется предельное соотношение .

Тогда эти ряды ведут себя одинаково, т.е.:

1) если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2);

2) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость

.

Решение. Рассмотрим ряд, сравнимый с данным рядом, сходимость которого известна. Так как нас интересует поведение членов ряда при , то основную роль играют старшие члены в числителе и знаменателе. Поэтому сравним данный ряд с рядом, у которого общий член равен : . Поскольку ряд сходится (как обобщенный гармонический ряд), то в силу предельного признака сравнения данный ряд также сходится:

.

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть для знакоположительного ряда (1) существует предел отношения последующего члена к предыдущему

(возможно и бесконечность), тогда:

а) если , то данный ряд сходится;

б) если , то данный ряд расходится;

в) если , то данный ряд не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, требуется дополнительное исследование.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость

Решение. Имеем

.

Следовательно, данный ряд расходится.

Теорема 4 (признак Коши). Пусть для знакоположительного ряда (1) существует предел (может быть и бесконечность), тогда:

а) если , то ряд (1) сходится;

б) если , то ряд (1) расходится;

в) если , то ничего определенного о поведении ряда сказать нельзя, нужно дополнительное исследование.

Пример 5. Исследовать ряд на сходимость

.

Решение. Вычислим , следовательно, искомый ряд сходится.

Теорема 5 (интегральный признак Коши-Маклорена). Пусть члены знакоположительного ряда (1) являются значениями при х=1, 2, …, n некоторой положительной, непрерывной и убывающей на промежутке [1, ∞) функции f(x):

Тогда

а) если сходится несобственный интеграл , то сходится и ряд (1);

б) если расходится, то ряд (1) расходится.

Пример. Исследовать ряд на сходимость

.

Решение. В нашем случае полагаем для . Функция является положительной, непрерывной и убывающей на интервале [2, ∞).

Далее отметим, что

.

Таким образом, несобственный интеграл расходится. Следовательно, по интегральному признаку данный ряд также расходится.