рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница

Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Определение. Числовой Ряд, Члены Которого Поочередно Имеют То Положительные, ...

Определение. Числовой ряд, члены которого поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки, называется знакочередующемся рядом и записывается в виде

где (ряд может начинаться и с отрицательного члена).

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине

и стремятся к нулю

то знакочередующийся ряд сходится, и сумма его не превосходит первого члена.

Пример. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

Решение. Сравним члены данного ряда по абсолютной величине

Видим, то члены искомого ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Найдем .

Таким образом, согласно признаку Лейбница, искомый ряд сходится.

Сходимость произвольных рядов

Выясним вопрос о сходимости рядов

члены которых могут иметь произвольные знаки.

Теорема (достаточный признак сходимости числового ряда). Пусть дан ряд с членами произвольных знаков. Если сходится ряд

составленный из абсолютных величин его членов, то сходится и данный ряд.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Данный ряд является произвольным. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений исходного ряда:

(*)

и ряд

(**)

Члены ряда (*) не больше соответствующих членов ряда (**). Ряд (**) сходится, как обобщенный гармонический ряд, следовательно, сходится и ряд (*), а значит и исходный ряд.

Определение. Если числовой ряд сходится вместе с рядом, составленным из абсолютных величин его членов, то говорят, что числовой ряд сходится абсолютно.

Определение. Если числовой ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что числовой ряд сходится условно.

Пример. Определить, как сходится числовой ряд, абсолютно или условно?

Решение. Исследуем исходный ряд на сходимость.

Так как , следовательно, видим, что члены ряда убывают по абсолютной величине. Кроме того, .

Таким образом, согласно признаку Лейбница, искомый ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда:

Этот ряд расходится как обобщенный гармонический ряд (). Делаем вывод, что данный ряд сходится условно.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИКА

бюджетного образовательного учреждения высшего... профессионального образования Московский государственный... университет экономики статистики и информатики МЭСИ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТЕМАТИКА
(для студентов заочной формы обучения) Учебное пособие Ярославль 2012 УДК ББК Жолудева

Матрицы и определители
Прямоугольной матрицей порядка m×n называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Определители
Важной характеристикой квадратной матрицы А порядка n является ее определитель 1. Рассмотрим это понятие для матриц второго порядка. Пусть задана матрица

Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными (1) Матрица А, составленная из коэ

Линейные пространства. Арифметические векторы
Множество V называется линейным пространством, если 1) задано правило, по которому для каждых 2-х элементов

Векторы на плоскости и в пространстве
Существует две категории величин: скалярные и векторные величины. Скалярные величины – это величины, которые определяются только числовым значением (например, масса, температура, объем); векторные

Аналитическая геометрия на плоскости
Установление связи между алгеброй и геометрией было, по существу, революцией в математике. Это позволило воспринимать математику как единую науку и способствовало ее быстрому развитию. Создателем м

Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве и ее уравнения Пусть в пространстве введена прямоугольная си

Предел последовательности, предел функции
В математике под множеством называется совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Также как и понятия точки, прямой, числа и т.д., понятие м

Производная функции и ее применение к исследованию функции
Непрерывные функции Определение 1. Функция называется непрерывной в точке

Неопределенный интеграл
Функия называется первообразной для функции

Определенный интеграл
Пусть функция задана на отрезке

Понятие функции нескольких переменных
Функции двух переменных Пусть на плоскости ХОУ имеется некоторое множество точек D и каждой точке

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функций двух переменных Определение. Частными производными в точке

Комплексные числа и действия над ними
Определение. Комплексным числом называется выражение

Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением (д.у.) называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит только от одного переменного, то д.у. наз

Дифференциальные уравнения второго порядка
Очень важным классом дифференциальных уравнений порядка выше первого вляется класс линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Преж

Знакоположительные ряды. Признаки сходимости
Пусть дана последовательность вещественных (действительных) чисел Числовым рядом называетс

Степенные ряды
Определение. Ряд называется функциональным, если члены его являются функциями от