Реферат Курсовая Конспект
Матрицы и определители - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Прямоугольной Матрицей Порядка M×n Называется Таблица Чисел, Состоящая ...
|
Прямоугольной матрицей порядка m×n называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.
Сокращенно обозначается .
Числа называются элементами матрицы А.
Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n называют порядком матрицы.
Совокупность элементов образует главную диагональ квадратной матрицы, а элементы - побочную диагональ.
Так, для матрицы
главная диагональ – это числа 1, 4, 3, побочная диагональ – 7, 4, 6.
Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю:
Единичная матрица – это матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, все остальные элементы равны нулю:
Квадратная матрица, под главной диагональю которой стоят нули, называется верхнетреугольной; соответственно определяется нижнетреугольная матрица:
- верхнетреугольная матрица,
- нижнетреугольная матрица.
Симметричной называется квадратная матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.
Действия над матрицами
1. Суммой двух матриц и одного порядка называется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Из определения следует, что выполняются операции коммутативности сложения А+В=В+А и ассоциативности сложения А+(В+С)=(А+В)+С.
2. При умножении матрицы на число k каждый ее элемент умножается на это число.
Отсюда следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.
Операция умножения матрицы на число обладает свойствами:
(α+β)А=αА+β;
α (А+В)= αА+ αВ,
где α и β – числа.
3. Умножение матриц. Пусть заданы матрицы и .
Произведением А×В называется матрица С порядка m×k:
А·В=·=С=
элементы которой вычисляются по формулам:
;
и т.д.
Операция перемножения матриц не коммутативна, то есть АВ≠ВА.
4. Транспонирование матрицы - это операция, при которой строки матрицы становятся столбцами, и наоборот.
Пример. Найти матрицу С=В(3А-2В), где А=и В=.
Решение. 1) Найдем матрицу (3А-2В)= 3- 2=- =.
2) С=В(3А-2В) = =.
Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду
1) можно менять строки (столбцы) местами;
2) можно умножать элементы строки на одно и то же число, отличное от нуля;
3) можно складывать (вычитать) строки друг с другом.
Верхнетреугольная матрица, у которой под главной диагональю все элементы равны нулю, называется приведенной к ступенчатому виду. При этом элементы, стоящие на главной диагонали называются угловыми элементами.
Ранг матрицы А – это максимальное число линейно независимых строк этой матрицы.
Утверждение. В ступенчатой матрице строки, содержащие ненулевые угловые элементы, линейно независимы. Отсюда следует, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее угловых элементов.
Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса
Рассмотрим этот метод на примере матрицы А=
Поменяем вторую и первую строки местами (для ручного счета удобно, чтобы элемент был равен 1 или -1 (если это возможно)).
Получим матрицу
В дальнейшем первую строку менять не будем. Теперь с помощью элемента =-1 образуем нули в первом столбце, во второй, третьей и четвертой строках. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на число 2, из третьей строки вычтем первую, к четвертой прибавим первую строку:
Поменяем местами в этой матрице вторую и третью строки, и в дальнейшем первая и вторая строки меняться не будут. И с помощью элемента 1 получим нули во втором столбце в третьей и четвертой строках:
Здесь из третьей строки вычли вторую, умноженную на 5, а из четвертой – вторую, умноженную на 6.
Из четвертой строки вычтем третью, получим матрицу:
Угловые элементы -1, 1, 1, их число равно 3. следовательно, ранг матрицы равен 3.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Теорема 2. Любую прямоугольную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
бюджетного образовательного учреждения высшего... профессионального образования Московский государственный... университет экономики статистики и информатики МЭСИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Матрицы и определители
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов