рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Матрицы и определители

Матрицы и определители - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Прямоугольной Матрицей Порядка M×n Называется Таблица Чисел, Состоящая ...

Прямоугольной матрицей порядка m×n называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Сокращенно обозначается .

Числа называются элементами матрицы А.

Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n называют порядком матрицы.

Совокупность элементов образует главную диагональ квадратной матрицы, а элементы - побочную диагональ.

Так, для матрицы

главная диагональ – это числа 1, 4, 3, побочная диагональ – 7, 4, 6.

Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю:

Единичная матрица – это матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, все остальные элементы равны нулю:

Квадратная матрица, под главной диагональю которой стоят нули, называется верхнетреугольной; соответственно определяется нижнетреугольная матрица:

- верхнетреугольная матрица,

- нижнетреугольная матрица.

Симметричной называется квадратная матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.

Действия над матрицами

1. Суммой двух матриц и одного порядка называется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Из определения следует, что выполняются операции коммутативности сложения А+В=В+А и ассоциативности сложения А+(В+С)=(А+В)+С.

2. При умножении матрицы на число k каждый ее элемент умножается на это число.

Отсюда следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.

Операция умножения матрицы на число обладает свойствами:

(α+β)А=αА+β;

α (А+В)= αА+ αВ,

где α и β – числа.

3. Умножение матриц. Пусть заданы матрицы и .

Произведением А×В называется матрица С порядка m×k:

А·В=·=С=

элементы которой вычисляются по формулам:

;

и т.д.

Операция перемножения матриц не коммутативна, то есть АВ≠ВА.

4. Транспонирование матрицы - это операция, при которой строки матрицы становятся столбцами, и наоборот.

Пример. Найти матрицу С=В(3А-2В), где А=и В=.

Решение. 1) Найдем матрицу (3А-2В)= 3- 2=- =.

2) С=В(3А-2В) = =.

 

Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду

1) можно менять строки (столбцы) местами;

2) можно умножать элементы строки на одно и то же число, отличное от нуля;

3) можно складывать (вычитать) строки друг с другом.

Верхнетреугольная матрица, у которой под главной диагональю все элементы равны нулю, называется приведенной к ступенчатому виду. При этом элементы, стоящие на главной диагонали называются угловыми элементами.

Ранг матрицы А – это максимальное число линейно независимых строк этой матрицы.

Утверждение. В ступенчатой матрице строки, содержащие ненулевые угловые элементы, линейно независимы. Отсюда следует, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее угловых элементов.

Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса

Рассмотрим этот метод на примере матрицы А=

Поменяем вторую и первую строки местами (для ручного счета удобно, чтобы элемент был равен 1 или -1 (если это возможно)).

Получим матрицу

В дальнейшем первую строку менять не будем. Теперь с помощью элемента =-1 образуем нули в первом столбце, во второй, третьей и четвертой строках. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на число 2, из третьей строки вычтем первую, к четвертой прибавим первую строку:

 

Поменяем местами в этой матрице вторую и третью строки, и в дальнейшем первая и вторая строки меняться не будут. И с помощью элемента 1 получим нули во втором столбце в третьей и четвертой строках:

Здесь из третьей строки вычли вторую, умноженную на 5, а из четвертой – вторую, умноженную на 6.

Из четвертой строки вычтем третью, получим матрицу:

Угловые элементы -1, 1, 1, их число равно 3. следовательно, ранг матрицы равен 3.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Теорема 2. Любую прямоугольную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИКА

бюджетного образовательного учреждения высшего... профессионального образования Московский государственный... университет экономики статистики и информатики МЭСИ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Матрицы и определители

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТЕМАТИКА
(для студентов заочной формы обучения) Учебное пособие   Ярославль 2012 УДК ББК     Жолудева

Определители
Важной характеристикой квадратной матрицы А порядка n является ее определитель 1. Рассмотрим это понятие для матриц второго порядка. Пусть задана матрица

Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными (1) Матрица А, составленная из коэ

Линейные пространства. Арифметические векторы
Множество V называется линейным пространством, если 1) задано правило, по которому для каждых 2-х элементов

Векторы на плоскости и в пространстве
Существует две категории величин: скалярные и векторные величины. Скалярные величины – это величины, которые определяются только числовым значением (например, масса, температура, объем); векторные

Аналитическая геометрия на плоскости
Установление связи между алгеброй и геометрией было, по существу, революцией в математике. Это позволило воспринимать математику как единую науку и способствовало ее быстрому развитию. Создателем м

Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве и ее уравнения Пусть в пространстве введена прямоугольная си

Предел последовательности, предел функции
В математике под множеством называется совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Также как и понятия точки, прямой, числа и т.д., понятие м

Производная функции и ее применение к исследованию функции
Непрерывные функции Определение 1. Функция называется непрерывной в точке

Неопределенный интеграл
Функия называется первообразной для функции

Определенный интеграл
Пусть функция задана на отрезке

Понятие функции нескольких переменных
Функции двух переменных Пусть на плоскости ХОУ имеется некоторое множество точек D и каждой точке

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функций двух переменных Определение. Частными производными в точке

Комплексные числа и действия над ними
Определение. Комплексным числом называется выражение

Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением (д.у.) называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит только от одного переменного, то д.у. наз

Дифференциальные уравнения второго порядка
Очень важным классом дифференциальных уравнений порядка выше первого вляется класс линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Преж

Знакоположительные ряды. Признаки сходимости
Пусть дана последовательность вещественных (действительных) чисел Числовым рядом называетс

Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
Определение. Числовой ряд, члены которого поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки, называется знакочередующемся рядом и записывается в виде

Степенные ряды
Определение. Ряд называется функциональным, если члены его являются функциями от

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги