Реферат Курсовая Конспект
Степенные ряды - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Определение. Ряд ...
|
Определение. Ряд
называется функциональным, если члены его являются функциями от переменной х.
Давая переменной х определенные числовые значения, получаем сходящиеся или расходящиеся числовые ряды.
Если в точке ряд сходится, то точка называется точкой сходимости. Если этот ряд расходится, то точка - точка расходимости ряда. Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Пример. Ряд сходится в интервале (-1; 1), так как при любом соответствующий числовой ряд есть геометрический ряд со знаменателем q=x. При этот ряд расходится. Следовательно, область сходимости исходного ряда есть интервал (-1; 1).
Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в област D, если для любого числа можно указать такое число , не зависящее от и не зависящее от , что при всех номерах неравенство справедливо для всех точек D (где - остаток ряда).
Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда удовлетворяют в области D неравенствам
,
где - члены некоторого сходящегося знакоположительного ряда
,
то функциональный ряд сходится равномерно в D.
Замечание. Ряды, для которых выполняются условия теоремы Вейерштрасса, называются правильно сходящимися.
Степенные ряды
Определение. Ряд
называется степенным рядом.
Это функциональный ряд по степеням , поэтому ряд начинается с члена , который называется свободным членом.
Нас будет интаресовать нахождение области сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля.
а) Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится, и притом абсолютно, в интервале , т.е. при всех , удовлетворяющих неравенству .
б) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всяком , большем по абсолютной величине, чем , т.е. при .
Кроме того, при исследовании степенных рядов можно воспользоваться одним из признаков сходимости знакоположительных числовых рядов, например, признаком Даламбера.
Совокпность всех , при которых степенной ряд сходится, называется интервалом сходимости ряда. Областью сходимости степенного ряда является интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть добавлены концевые точки .
- радиус сходимости степенного ряда, определяемый по формуле:
.
Замечание. При нахождении интервала сходимости редко пользуются последней формулой, а непосредственно применяют признак Даламбера.
Пример. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости
Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда , и применим к нему признак Даламбера
.
Область сходимости данного ряда является решением неравенства .
;
;
.
Следовательно, интервал сходимости есть (-1, 5), а радиус сходимости .
Исследуем поведение ряда на концах интервала:
а) , тогда исходный ряд примет вид Этот ряд расходится, так как не существует конечного предела n-го члена. Поэтому, точка не является точкой сходимости.
б) , тогда исходный ряд примет вид Этот ряд расходится, так как предел n-го члена равен бесконечности. Поэтому точка не является точкой сходимости.
Итак, интервал сходимости ряда - (-1, 5), а радиус сходимости .
6.4 Контрольные задания для студентов по разделам 3 – 6 «Математический анализ»
Задание 1. Найти пределы
Данные для выполнения задания 1 необходимо взять из таблицы 1 согласно своему варианту.
Таблица 1.
№ варианта | Пределы |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) | |
а) ; б) ; в) |
Задание 2. Вычислите производную функции
Данные для выполнения задания 2 необходимо взять из таблицы 2 согласно своему варианту.
Таблица 2.
№ варианта | Функция |
Задание 3. Исследуйте функцию, используя общую схему, и постройте ее график.
Данные для выполнения задания 3 необходимо взять из таблицы 3 согласно своему варианту.
Таблица 3.
№ варианта | Функция |
Задание 4. Найти неопределенный интеграл
Данные для выполнения задания 4 необходимо взять из таблицы 4 согласно своему варианту.
Таблица 4.
№ варианта | Интеграл |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) |
Задание 5. Найти определенный интеграл
Данные для выполнения задания 5 необходимо взять из таблицы 5 согласно своему варианту.
Таблица 5
№ варианта | Интеграл |
Задание 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Данные для выполнения задания 6 необходимо взять из таблицы 6 согласно своему варианту.
Таблица 6.
№ варианта | Линии |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
, , | |
, , | |
, | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
и | |
, , | |
, , |
Задание 7. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка
Данные для выполнения задания 7 необходимо взять из таблицы 7 согласно своему варианту.
Таблица 7.
№ варианта | Уравнение |
Задание 8. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка
Данные для выполнения задания 8 необходимо взять из таблицы 8 согласно своему варианту.
Таблица 8.
№ варианта | Уравнение |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а); б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) | |
а) ; б) |
Задание 9. Исследовать сходимость ряда
Данные для выполнения задания 9 необходимо взять из таблицы 9 согласно своему варианту.
Таблица 9
№ варианта | Числовой ряд |
Задание 10. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
Данные для выполнения задания 10 необходимо взять из таблицы 10 согласно своему варианту.
Таблица 10
№ варианта | Числовой ряд | |||
< |
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов