рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Степенные ряды

Степенные ряды - раздел Математика, МАТЕМАТИКА Определение. Ряд ...

Определение. Ряд

называется функциональным, если члены его являются функциями от переменной х.

Давая переменной х определенные числовые значения, получаем сходящиеся или расходящиеся числовые ряды.

Если в точке ряд сходится, то точка называется точкой сходимости. Если этот ряд расходится, то точка - точка расходимости ряда. Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Пример. Ряд сходится в интервале (-1; 1), так как при любом соответствующий числовой ряд есть геометрический ряд со знаменателем q=x. При этот ряд расходится. Следовательно, область сходимости исходного ряда есть интервал (-1; 1).

Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в област D, если для любого числа можно указать такое число , не зависящее от и не зависящее от , что при всех номерах неравенство справедливо для всех точек D (где - остаток ряда).

Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда удовлетворяют в области D неравенствам

,

где - члены некоторого сходящегося знакоположительного ряда

,

то функциональный ряд сходится равномерно в D.

Замечание. Ряды, для которых выполняются условия теоремы Вейерштрасса, называются правильно сходящимися.

Степенные ряды

Определение. Ряд

называется степенным рядом.

Это функциональный ряд по степеням , поэтому ряд начинается с члена , который называется свободным членом.

Нас будет интаресовать нахождение области сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля.

а) Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится, и притом абсолютно, в интервале , т.е. при всех , удовлетворяющих неравенству .

б) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всяком , большем по абсолютной величине, чем , т.е. при .

Кроме того, при исследовании степенных рядов можно воспользоваться одним из признаков сходимости знакоположительных числовых рядов, например, признаком Даламбера.

Совокпность всех , при которых степенной ряд сходится, называется интервалом сходимости ряда. Областью сходимости степенного ряда является интервал , к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть добавлены концевые точки .

- радиус сходимости степенного ряда, определяемый по формуле:

.

Замечание. При нахождении интервала сходимости редко пользуются последней формулой, а непосредственно применяют признак Даламбера.

Пример. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда, исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда , и применим к нему признак Даламбера

.

Область сходимости данного ряда является решением неравенства .

;

;

.

Следовательно, интервал сходимости есть (-1, 5), а радиус сходимости .

Исследуем поведение ряда на концах интервала:

а) , тогда исходный ряд примет вид Этот ряд расходится, так как не существует конечного предела n-го члена. Поэтому, точка не является точкой сходимости.

б) , тогда исходный ряд примет вид Этот ряд расходится, так как предел n-го члена равен бесконечности. Поэтому точка не является точкой сходимости.

Итак, интервал сходимости ряда - (-1, 5), а радиус сходимости .

 

6.4 Контрольные задания для студентов по разделам 3 – 6 «Математический анализ»

Задание 1. Найти пределы

Данные для выполнения задания 1 необходимо взять из таблицы 1 согласно своему варианту.

Таблица 1.

№ варианта Пределы
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)
а) ; б) ; в)

 

Задание 2. Вычислите производную функции

Данные для выполнения задания 2 необходимо взять из таблицы 2 согласно своему варианту.

Таблица 2.

№ варианта Функция


 

Задание 3. Исследуйте функцию, используя общую схему, и постройте ее график.

Данные для выполнения задания 3 необходимо взять из таблицы 3 согласно своему варианту.

Таблица 3.

№ варианта Функция

 

Задание 4. Найти неопределенный интеграл

Данные для выполнения задания 4 необходимо взять из таблицы 4 согласно своему варианту.

Таблица 4.

№ варианта Интеграл
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)

 

Задание 5. Найти определенный интеграл

Данные для выполнения задания 5 необходимо взять из таблицы 5 согласно своему варианту.

Таблица 5

№ варианта Интеграл

 

Задание 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Данные для выполнения задания 6 необходимо взять из таблицы 6 согласно своему варианту.

Таблица 6.

№ варианта Линии
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
, ,
, ,
,
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
, ,
, ,

Задание 7. Найти решение дифференциального уравнения первого порядка

Данные для выполнения задания 7 необходимо взять из таблицы 7 согласно своему варианту.

Таблица 7.

№ варианта Уравнение

 

Задание 8. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка

Данные для выполнения задания 8 необходимо взять из таблицы 8 согласно своему варианту.

Таблица 8.

№ варианта Уравнение
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а); б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)
а) ; б)

 

Задание 9. Исследовать сходимость ряда

Данные для выполнения задания 9 необходимо взять из таблицы 9 согласно своему варианту.

Таблица 9

№ варианта Числовой ряд

Задание 10. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

Данные для выполнения задания 10 необходимо взять из таблицы 10 согласно своему варианту.

Таблица 10

<

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТЕМАТИКА

бюджетного образовательного учреждения высшего... профессионального образования Московский государственный... университет экономики статистики и информатики МЭСИ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Степенные ряды

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

№ варианта Числовой ряд

Все темы данного раздела:

МАТЕМАТИКА
(для студентов заочной формы обучения) Учебное пособие   Ярославль 2012 УДК ББК     Жолудева

Матрицы и определители
Прямоугольной матрицей порядка m×n называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Определители
Важной характеристикой квадратной матрицы А порядка n является ее определитель 1. Рассмотрим это понятие для матриц второго порядка. Пусть задана матрица

Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными (1) Матрица А, составленная из коэ

Линейные пространства. Арифметические векторы
Множество V называется линейным пространством, если 1) задано правило, по которому для каждых 2-х элементов

Векторы на плоскости и в пространстве
Существует две категории величин: скалярные и векторные величины. Скалярные величины – это величины, которые определяются только числовым значением (например, масса, температура, объем); векторные

Аналитическая геометрия на плоскости
Установление связи между алгеброй и геометрией было, по существу, революцией в математике. Это позволило воспринимать математику как единую науку и способствовало ее быстрому развитию. Создателем м

Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве и ее уравнения Пусть в пространстве введена прямоугольная си

Предел последовательности, предел функции
В математике под множеством называется совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Также как и понятия точки, прямой, числа и т.д., понятие м

Производная функции и ее применение к исследованию функции
Непрерывные функции Определение 1. Функция называется непрерывной в точке

Неопределенный интеграл
Функия называется первообразной для функции

Определенный интеграл
Пусть функция задана на отрезке

Понятие функции нескольких переменных
Функции двух переменных Пусть на плоскости ХОУ имеется некоторое множество точек D и каждой точке

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функций двух переменных Определение. Частными производными в точке

Комплексные числа и действия над ними
Определение. Комплексным числом называется выражение

Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением (д.у.) называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит только от одного переменного, то д.у. наз

Дифференциальные уравнения второго порядка
Очень важным классом дифференциальных уравнений порядка выше первого вляется класс линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Преж

Знакоположительные ряды. Признаки сходимости
Пусть дана последовательность вещественных (действительных) чисел Числовым рядом называетс

Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница
Определение. Числовой ряд, члены которого поочередно имеют то положительные, то отрицательные знаки, называется знакочередующемся рядом и записывается в виде

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги