Аналитическая геометрия в пространстве

Плоскость в пространстве и ее уравнения

Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат OXYZ. Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость Q. Поверхности Q соответствует некоторое уравнение . Поверхность, определяемая этим уравнением есть геометрическое место точек в пространстве , координаты которых x, y, z удовлетворяют этому уравнению. Это означает, что данному уравнению удовлетворяют координаты x, y, z каждой точки, лежащей на поверхности Q, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней. Уравнение называется уравнением данной поверхности Q.

1. Общее уравнение плоскости

,

где .

Уравнение плоскости, в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С или D равен нулю, называется неполным уравнением плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через точку с данным вектором нормали

Вектором нормали к плоскости называется ненулевой вектор , перпендикулярный к данной плоскости имеет вид:

.

3. Уравнение плоскости в отрезках

,

где - это координаты точек , , , лежащих на координатных осях.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки , ,

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

Решение.

; ;

;

;

;

.

Пример 2. Составить уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку .

Решение. ;

;

;

.

 

Прямая и ее уравнения в пространстве

1. Параметрические уравнения прямой в пространстве

2. Каноническое уравнение прямой в пространстве

.

Вектор - направляющий вектор прямой (вектор, параллельный данной прямой).

3. ,Общее уравнение прямой (прямая как пересечение двух плоскостей)

Рассмотрим две плоскости

;

.

Тогда уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей имеет вид:

.

Расстояние от точки до прямой

Пусть дана плоскость и точка . Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

.

Угол между плоскостями

Углом между двумя плоскостями

;

Считается угол между их нормалями и :

=.

Отсюда получим условие перпендикулярности двух плоскостей:

=0.

Условие параллельности двух плоскостей:

.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Пусть заданы канонические уравнения двух прямых:

;

Тогда острый угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами и вычисляется следующим образом:

=.

Условие перпендикулярности прямых:

=0.

Условие параллельности двух прямых:

.

Угол между прямой и плоскостью

Острый угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:

=.

Условие параллельности прямой и плоскости:

=0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

 

 

2.4 Контрольные задания для студентов по разделу 1 «Линейная алгебра» и разделу 2 «Элементы аналитической геометрии»

Задание 1. Найти скалярное произведение

Задание 2. При каком значении векторы и векторы ортогональны?

Задание 3. Найти векторное произведение векторов и ?

Задание 4. Являются ли векторы линейно зависимыми?

Задание 5. Вычислить объем треугольной пирамиды, построенной на векторах .

Данные для выполнения заданий 1, 2, 3, 4, 5 необходимо взять из таблицы 1 согласно своему варианту.

Таблица 1

Номер варианта

Задание 6. В треугольнике найти уравнение медианы, высоты, проведенных из вершины , а также уравнение средней линии , параллельной основанию . Вычислить длину найденной высоты.

Координаты точек заданы в таблице 2.

Таблица 2

Номер варианта
	(3,2)	(-2,5)	(6,-2)
	(-2,6)	(3,-1)	(1,4)
	(2,5)	(3,3)	(-1,4)
	(2,-3)	(1,0)	(-2,-4)
	(5,3)	(1,4)	(-2,-3)
	(-1,-2)	(0,-3)	(2,1)
	(1,5)	(-3,0)	(-6,1)
	(-3,-5)	(2,-2)	(1,0)
	(1,1)	(4,6)	(-5,-1)
	(3,2)	(4,-1)	(6,0)
	(5,-5)	(2,3)	(-4,-3)
	(1,4)	(2,2)	(-1,6)
	(2,-3)	(-6,2)	(4,0)
	(2,6)	(-1,-2)	(-3,-5)
	(-1,2)	(4,-2)	(6,0)
	(3,2)	(-2,5)	(-1,4)
	(-2,6)	(3,-1)	(-2,-4)
	(2,5)	(3,3)	(-2,-3)
	(2,-3)	(1,0)	(2,1)
	(5,3)	(1,4)	(-6,1)
	(-1,-2)	(0,-3)	(1,0)
	(1,5)	(-3,0)	(-5,-1)
	(-3,-5)	(2,-2)	(6,0)
	(1,1)	(4,6)	(-4,-3)
	(3,2)	(4,-1)	(-1,6)
	(5,-5)	(2,3)	(4,0)
	(1,4)	(2,2)	(-3,-5)
	(2,-3)	(-6,2)	(6,0)
	(2,6)	(-1,-2)	(6,-2)
	(-1,2)	(4,-2)	(1,4)

 

Задание 7. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой. Найти координаты фокусов, вершин и центра.

Варианты заданий:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

 

Задание 8. Преобразовать к полярным координатам уравнение линии.

Варианты заданий:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

 

Задание 9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , перпендикулярно прямой .

Варианты заданий:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) ,

15) ,

16) ,

17) ,

18) ,

19) ,

20) ,

21) ,

22) ,

23) ,

24) ,

25) ,

26) ,

27) ,

28) ,

29) ,

30) ,

 

Задание 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки .

Варианты заданий в таблице 3.

Таблица 3

Номер варианта
	(2,0,-4)	(2,0,-1)	(0,-1,-1)
	(0,0,1)	(1,-2,5)	(1,5,0)
	(2,1,0)	(2,1,-5)	(-1,1,1)
	(10,-10,-1)	(0,-1,0)	(2,1,-1)
	(1,1,1)	(1,1,-1)	(-4,-2,2)
	(0,0,1)	(1,-1,3)	(5,0,-1)
	(1,-2,-6)	(2,-4,-2)	(1,1,1)
	(-4,8,1)	(1,-2,1)	(-2,5,1)
	(1,1,0)	(1,-2,-1)	(-1,3,1)
	(3,0,-1)	(-1,1,1)	(1,-2,3)
	(0,-1,-1)	(-1,2,1)	(0,1,4)
	(1,5,0)	(2,-3,10	(1,2,-1)
	(-1,1,1)	(0,0,1)	(4,3,2)
	(2,1,-1)	(0,1,-1)	(1,2,-1)
	(-4,-2,2)	(-2,2,0)	(1,4,1)
	(5,0,-1)	(2,1,-1)	(1,2,-1)
	(1,1,1)	(4,3,1)	(2,0,-1)
	(-2,5,1)	(0,0,2)	(1,-2,5)
	(-1,3,1)	(0,0,-2)	(2,1,-5)
	(1,-2,3)	(1,1,1)	(0,-1,0)
	(0,1,4)	(3,2,-1)	(1,1,-1)
	(1,2,-1)	(4,1,0)	(1,-1,3)
	(4,3,2)	(1,4,3)	(2,-4,-2)
	(1,2,-1)	(3,0,-1)	(1,-2,1)
	(1,4,1)	(3,2,-2)	(1,-2,-1)
	(1,2,-1)	(1,-2,5)	(-1,1,1)
	(1,2,5)	(3,-6,0)	(-1,2,1)
	(1,1,1)	(-1,5,2)	(2,-3,10
	(2,3,0)	(0,3,-4)	(0,0,1)
	(0,2,0)	(2,2,2)	(0,1,-1)