Предел последовательности, предел функции

В математике под множеством называется совокупность, набор каких-либо предметов (объектов). Это не есть точное математическое определение. Также как и понятия точки, прямой, числа и т.д., понятие множества является одним из тех первоначальных, наиболее общих понятий, которые принимаются без определения.

Предметы, составляющие множество, называются элементами множества. То, что элемент входит во множество А, записывается так: (читается так: элемент принадлежит множеству А). Запись означает, что элемент не принадлежит множеству А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

Множество можно задать

1) перечислением его элементов (например, множество учеников в классе задается перечислением фамилий в классном журнале);

2) указанием некоторого свойства, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества (например, множество {2,4} может быть задано таким свойством: множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1<x<5).

Если А и В два множества, то запись А=В означает, что они состоят из одних и тех же элементов. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то говорят, что А – подмножество В, и пишут: . Например, множество учеников 10-го класса данной школы есть подмножество множества всех учеников этой школы.

Определение. Если одновременно с отношением имеет место отношение , то множества А и В называются равными, т.е. А=В.

Отношения над множествами иллюстрируются с помощью диаграмм Венна. Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие этому множеству.

Пусть дано какое-либо множество Е. мы будем рассматривать всевозможные подмножества данного множества Е. Исходное множество в таком случае называют универсальным множеством.

Пусть множество А есть некоторое подмножество универсального множества Е, тогда множество , состоящее из всех элементов множества Е, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А. например, если А – множество всех девочек в классе, то - множество всех мальчиков того же класса.

Операции над множествами

1. Объединение двух множеств А и В – это множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В.

Обозначается .

2. Пересечение двух множеств А и В – это множество С, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и В одновременно.

Обозначается .

3. Разность двух множеств А и В – это множество С, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

Обозначается .

Функции. График функции. Элементарные функции

Определение. Функцией (числовой функцией) называется отображение числового множества D в числовое множество Е.

Функцию записывают так: . Множество D называется областью определения функции, а его элемент - аргументом. Множество Е называется областью значений функции, а его элемент - функцией (значением функции, зависимой переменной).

Для того, чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения D; б) закон, по которому каждому числу ставится в соответствие число . Как следует из определения функции, каждому соответствует только одно , но это вовсе не исключает того, что разным значениям могут соответствовать одинаковые значения . Закон, по которому задается функция, можно задать разными способами: формулой (аналитический способ), графиком (графический способ), таблицей (табличный способ), словесной формулировкой.

Графиком функции называют множество точек на плоскости, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты – соответствующими значениями функции .

График функции представляет собой некоторую кривую на плоскости.

К основным элементарным функциям относятся следующие:

1. Степенная функция (- постоянное действительное число). При =0 степенная функция есть постоянная величина ; при =1 получается функция (прямая пропорциональная зависимость); если =2, то степенная функция является квадратичной; если =-1, то получается обратно пропорциональная зависимость .

2. Показательная функция (- положительное число, ). Особую роль в математике играет показательная функция с основанием , то есть функция . Число - иррациональное число, =2,718281828459… Функцию называют экспоненциальной функцией.

3. Логарифмическая функция (- положительное число, ). На практике часто используют логарифмы по основанию =10 – десятичные логарифмы. Для десятичного логарифма принята запись . Основание также играет особую роль, логарифм по основанию обозначают следующим образом: и называют натуральным логарифмом числа .

4. Тригонометрические функции

.

5. Обратные тригонометрические функции ,

.

Функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и операций «взятие функции от функции», называются элементарными функциями. Операцию «взятие функции от функции» также называют композицией функций. Функция, в которой вместо переменной записана другая элементарная функция называется сложной функцией и также относится к множеству элементарных функций.

 

Понятие числовой последовательности и ее предела

Если каждому натуральному числу по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число, то говорят, что задана числовая последовательность

Числа называются членами последовательности; называют общим членом последовательности.

Пример последовательности:

Введем понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого как угодно малого положительного числа существует номер N такой, что все члены последовательности с номерами n>N удовлетворяют следующему неравенству:

.

Обозначения: или .

Определение. Последовательность называется сходящейся, если она имеет (конечный) предел, и расходящейся, если она предела не имеет.

Теорема (критерий Коши, необходимое и достаточное условие сходимости последовательности). Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал номер N такой, что для всех m, n>N выполнялось неравенство .

Последовательность , удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Теорема (единственной предела последовательности). Последовательность не может иметь двух различных пределов.

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Теорема 1. Если последовательности и сходятся, то сходится и последовательности , причем

Теорема 2. Если последовательности и сходятся, то сходится и последовательности , причем

Теорема 3. Если последовательности и сходятся, то сходится и последовательности , причем

Теорема 4. Если последовательности и сходятся, причем для любого и , то последовательность также сходится и

.

Предел функции

Определение. Переменная величина стремится к пределу (- постоянное число), если абсолютная величина становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой.

Предел функции при

Пусть функция задана на некотором интервале .

Определение. Число называется пределом при , если для любого существует число такое, что для любого выполняется неравенство .

Предел функции при

Пусть функция определена во всех точках некоторого интервала , содержащего точку , кроме, может быть, самой точки .

Определение. Число называется пределом функции в точке (при ), если для любого (сколь угодно малого) положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех из - окрестности точки , исключая, быть может, саму точку (т.е. для всех , для которых выполняется неравенство ), будет выполняться неравенство .

Замечательные пределы

В математике важную роль играют два специальных предела, которые ввиду их важности названы «замечательными»:

- первый замечательный предел

- второй замечательный предел

 

Пример 1.

(здесь введена новая переменная ).

Пример 2. . Положим .

Получаем

.

Раскрытие неопределенностей

Иногда правила предельного перехода непосредственно неприменимы. Например, при отыскании , когда и или одновременно и . В этом случае надо проделать над дробью некоторые преобразования. Чтобы обозначить такие ситуации, говорят, что имеем дело с неопределенностью или , а вычисление предела называют «раскрытием неопределенности».

Пример 1. .

Пример 2. =

. (Чтобы убрать корни, умножили числитель и знаменатель на величину , сопряженную числителю).

Пример 3. . (Поделили числитель и знаменатель дроби на старшую степень ).

«Неопределенности» могут возникнуть и при вычислении предела произведения . Условно это записывается . Такую неопределенность легко преобразовать к или . Могут возникнуть также неопределенности вида .

Пример 4.

.

Сравнение бесконечно малых

Пусть и бесконечно малые (последовательности или функции).

1) Если конечный и отличный от нуля предел существует

,

то говорят, что и являются бесконечно малыми (б.м.) одного и того же порядка.

2) Если , то имеет высший порядок малости по отношению к (или - б.м. более высокого порядка, чем ).

3) Если , то имеет высший порядок малости по отношению к (или - б.м. более высокого порядка, чем).

4) Если , то две бесконечно малые и называются эквивалентными.

 

Таблица эквивалентных бесконечно малых при

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Пример.

.