ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

А. Р. МИРОТИН, Ж. Н. КУЛЬБАКОВА

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Лабораторный практикум

Для студентов математического факультета

Специальности 1-31 03 01 Математика

Гомель 2009

УДК 517 (075.08)

ББК 22.11 я 73

М 644

 

Рецензенты:

Ю. В. Малинковский, профессор, доктор физико-математических наук;

В. Н. Семенчук, профессор, доктор физико-математических наук.

 

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

 

 

Миротин, А. Р.

для студентов математического факультета специальности 1-31 03 01 Математика / А. Р. Миротин, Ж. Н. Кульбакова; М-во образования РБ, Гомельский…    

Введение

Учебная программа курса «Функциональный анализ и интегральные уравнения» предполагает в качестве формы контроля знаний выполнение лабораторных работ. Целью этих работ является закрепление теоретического материала путем самостоятельного решения задач. Настоящее пособие призвано оказать помощь студентам в овладении основными приемами и методами решения задач по функциональному анализу. Оно содержит задания лабораторных работ 5 семестра, взятые из пособия [3], а также примеры решения типовых задач. При этом важно отметить следующее:

– каждая лабораторная работа рассчитана на 4 – 6 часов аудиторных занятий (в зависимости от ее объема). На первом занятии обсуждаются узловые вопросы темы, а второе (и третье) отводятся для завершения работы и защиты отчета;

– задание каждой лабораторной работы, как правило, выполняется группой из 2 – 3 человек;

– лабораторная работа засчитывается, если должное владение материалом продемонстрировали все члены группы;

– количество защищенных лабораторных работ учитывается на экзамене в рамках рейтинговой накопительной системы оценки знаний студента.

Отчет по лабораторной работе должен быть оформлен в соответствии со следующими требованиями:

– он выполняется письменно каждым членом группы в специальной тетради;

– решение каждой задачи должно быть подробно обосновано и содержать ссылки на все используемые определения и теоремы.

 

 

Лабораторная работа 1

Метрические пространства. Сходящиеся

последовательности в метрических пространствах

 

Примеры решения задач

 

Задача 1 Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического

пространства X к точке a.

 

Пример 1 x_n = , a = |t| , X = C[-4;4].

Решение. Рассмотрим расстояние ρ_C(x_n , a)= | x_n(t) – a(t) |. Так как при всех

|x_n(t) – a(t)| = | – |t|| = – |t| == 0

при n, то ρ_C(x_n,a). Значит, x_n сходится к a в C[-4;4].

 

 

Пример 2 x_n(t) = t ⁿ - t ⁿ⁺¹ + t, a(t) = t, X = C[0;1].

 

Решение. Рассмотрим ρ_C(x_n , a) =|t ⁿ - t ⁿ⁺¹|. Обозначим tⁿ - tⁿ⁺¹ через Δ_n(t) и найдем наибольшее значение функции |Δ_n(t)| = Δ_n(t) = tⁿ - tⁿ⁺¹ на отрезке . Имеем = nt ^n-1 - (n+1)t ⁿ , =0, если t = 0 или t =,

= = = .

Δ_n(0) = 0, Δ_n(1) =0.

Значит (по правилу нахождения наибольшего значения функции на отрезке),

ρ_C(x_n,a) = 0 = 0,

а потому x_n сходится к a в C[0;1].

 

 

Пример 3 x_n =, a = (0,0,0,…), X = l₃.

Решение.

ρ₃(x_n , a) = при n .

Так как ρ₃(x_n , a) не стремится к нулю, то x_n не сходится к a в l₃.

 

 

Пример 4 x_n =, a = (0,0,0,…), X = l₂.

Решение.

ρ₂(x_n , a) = при n .

Значит, x_n сходится к a в l₂.

 

 

Пример 5x_n= n, a = , X=L₁[0;1] .

 

Решение.

(x_n , a) = = dt = .

Применим теорему Беппо Леви о предельном переходе под знаком интеграла. Обозначим f_n(t) =. Функция f_n(t) является интегрируемой на [0;1] для любого , и 0f₁(x) ≤ f₂(x) ≤ … ≤ f_n(t) ≤ … . Кроме того, . Значит, по теореме Б. Леви

 

(x_n , a) = dt = 0.

 

Следовательно, x_n сходится к a в L₁[0;1].

 

 

Пример 6 x_n (t)= , a(t) = t , X = L₁[0;1] .

 

Решение.

(x_n , a) = dt = = dt =

= = = =

при (мы воспользовались тем, что при ). Значит, x_n сходится к a в L₁[0;1].

 

 

Задача 2Является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным,

в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности x_n

в метрическом пространстве X ?

Пример 1 X = C_L[a;b] – пространство непрерывных функций с метрикой

ρ_L(x , y) = dt. Условие: последовательность x_n(t) поточечно

сходится к непрерывной функции a(t).

Решение. Не нарушая общности, можем считать, что a=0, b=1. Покажем, что условие не является ни необходимым, ни достаточным. Для выяснения достаточности условия рассмотрим следующую последовательность x_n, заданную на [0;1] графически:

 

Последовательность x_n сходится к a 0 поточечно на [0;1] (почему?), но

ρ_L(x_n , а) = dt = dt = = 1,

то есть ρ_L(x_n , a) не стремится к нулю. Значит, данное условие не является достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве C_L[a;b].

Теперь допустим, что x_na в C_L[0;1], то есть dt0 при . Покажем на примере, что отсюда не следует поточечная сходимость x_n к a. Рассмотрим последовательность x_n(t) = tⁿ и функцию a(t) 0. Имеем

ρ_L(x_n , а) = dt = = 0 при .

Значит, x_na=0 в C_L[0;1]. Но tⁿ не сходится к a= 0 поточечно, так как tⁿ1 при t = 1. Значит, данное условие не является необходимым для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве C_L[a;b].

.

 

 

Пример 2 X = l₂. Условие: = 0, где .

 

Решение. Положим . Тогда данное условие означает, что при . Докажем, что это условие является достаточным для сходимости последовательности x_n к а в пространстве l₂. Поскольку при выполнении этого условия <1 при достаточно больших n, то при этих n и при всех k имеем . Поэтому при этих n и при всех k. Значит, ρ₂(x_n , a)², а

это значит, что ρ₂(x_n , a) 0. Следовательно, x_na в l₂. Достаточность доказана.

Теперь покажем, что условие не является необходимым. Рассмотрим последовательность x_n = и точку a = из l₂. Имеем ρ₂(x_n , a) = 0 () как остаток сходящегося ряда. Значит, x_na в l₂ . Но в этом примере (сравните с гармоническим рядом), а потому данное условие не выполняется.

 

 

Задача 3Найти предел последовательности x_n в метрическом пространстве X, если он

существует.

 

Пример 1 X = l₁, x_n = .

 

Решение.1 способ. Допустим, x_n сходится к некоторому a в l₁. Так как для любого k справедливо неравенство ρ₁(x_n , a) , то имеем и покоординатную сходимость x_n к a. Но покоординатно x_n сходится к последовательности , которая не принадлежит пространству l₁ (ряд расходится по необходимому признаку). Мы пришли к противоречию. Значит, x_n не сходится в l₁.

2 способ. Так как ρ₁(x_n , x_n+1) = 1 при , последовательность x_n не является фундаментальной. Следовательно, x_n не сходится в l₁.

 

 

Пример 2X = , x_n = .

 

Решение. 1 способ. Допустим, x_n сходится к некоторому a в . Так как (x_n , a) для любого k, то имеем покоординатную сходимость x_n к a. Но покоординатно x_n сходится к последовательности

 

а=, для которой (x_n , a) =1 (почему?) при . Следовательно, x_n не сходится к a в , - противоречие.

2 способ. Заметим, что последовательность x_n не является фундаментальной в . Действительно, x_n+1 =, ρ(x_n , x_n+1) = 1 при . Так как x_n не фундаментальна в , то она не сходится в .

 

Задания лабораторной работы

 

 

Задача 1 Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического

пространства X к точке a, если выполнены следующие условия.

 

а)

№	X	xn	a
1.1.1	C[0;2]		t
1.1.2	C[0;5]
1.1.3	C[-3;3]		| t |
1.1.4	C[0;8]		t
1.1.5	C[0;1]		t
1.1.6	C[1;2]

 

 

б)

№	X	xn	a
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6

 

 

в)

№	X	xn	a
1.3.1	L2[0;2]
1.3.2	L4[0;3]		2t
1.3.3	[-1;2]		sin t
1.3.4	L1[0;1]
1.3.5	[-2;0]		2t2
1.3.6	L2[0;3]		t3

 

Задача 2 Является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным,

в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности x_n

в метрическом пространстве X ?

 

№	X	Условие
2.1	C[a;b]	t[a;b] существует предел числовой последовательности xn(t)
2.2		kN существует предел числовой последовательности xn(k)
2.3		= 0, где a=
2.4		kN существует предел числовой последовательности xn(k)
2.5		= 0, где a=
2.6		= 0, где a=

Задача 3 Найти предел последовательности x_n в метрическом пространстве X, если он

существует.

 

 

№	X	xn
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

 

Лабораторная работа 2

Топология метрических пространств

 

 

Примеры решения задач

Задача 1 Является ли данное множество открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве. Найти его замыкание, внутренние и граничные точки.

 

Пример 1 .

 

Решение. Множество не является открытым, и более того, ни одна его точка не является внутренней. Действительно, и для любого шара имеем , но , так как .

Множество является замкнутым, так как оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. Действительно, если в , , то и . А это значит, что .

Граница множества совпадает с самим множеством , что теперь сразу следует из формулы .

Множество не является ограниченным, так как последовательность ,

но .

 

Пример 2 .

 

Решение. Покажем, что является открытым. Возьмём , т.е. .

Тогда . Покажем, что шар . Возьмём .

Это значит, что . Тогда

.

Значит, .

Так как М открыто, то .

Множество М не является замкнутым, так как содержит не все свои предельные точки. Действительно, возьмём последовательность из М. Тогда , но , т.е. .

Замечание. Нормированное пространство X всегда связно, так как любые две его точки х и у можно связать непрерывным путем , лежащим в X, а потому в нем нет открытых и одновременно замкнутых собственных подмножеств.

Замыкание . Действительно, если x₀ принадлежит , то найдется последовательность равномерно сходящаяся к на [a,b]. А тогда

.

Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к х₀ равномерно (проверьте!), а потому х₀ принадлежит .

Теперь ясно, что граница.

Наконец, не является ограниченным, так как , но .

 

 

Пример 3 .

 

Решение. Покажем, что М открыто. Возьмём . Тогда , а потому . Рассмотрим . Для любого имеем , а тогда .

Покажем, что замыкание множества М есть . Действительно, если x₀ принадлежит , то найдется последовательностьравномерно сходящаяся к на [a,b]. А тогда . Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к равномерно на [a,b] (проверьте), а потому принадлежит .

Теперь ясно, что граница .

Очевидно, что данное множество ограничено.

 

 

Задача 2 Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в .

 

Пример 1 .

 

Решение. Множество замкнуто, так как содержит в себе все свои предельные точки. Действительно, если то (почему?). Но так как , то и . Значит, В.

Так как В замкнуто, то оно не является открытым, поскольку пространство связно (см. замечание в решении примера 2 к задаче 1), но легко дать и прямое доказательство. Действительно, точка e₁=(1,0,0,…) принадлежит В, но для любого точка , хотя и лежит в - окрестности точки .

Наконец, В ограничено, так как .

 

Пример 2 .

 

Решение. Множество не является открытым. Для доказательства покажем, что точка не является для него внутренней. Возьмём и найдём такое натуральное N, что . Тогда , но , поскольку .

Множество В не замкнуто. Действительно, рассмотрим . Тогда сходится к точке , так как при , но .

Множество В ограничено, так как .

 

Пример 3 .

 

Решение. Покажем, что множество открыто. Возьмём . Найдется такое , что . Если (шар рассматривается, конечно, в ), то . Тогда и . Теперь в силу неравенства Минковского имеем

 

.

 

Значит, , т.е. . Итак, .

Так как В открыто, то В не замкнуто по замечанию из решения примера 2 к задаче 1. Дадим прямое доказательство этого факта. Точки где , очевидно, принадлежат В. В то же время, сходится в к .

Покажем, что не ограничено. Рассмотрим последовательность

 

.

Имеем , так как

,

но в то же время при .

 

 

Пример 4 .

 

Решение. Покажем, что не является открытым. Возьмём и . Найдётся такое натуральное , что . Тогда , но .

Множество В не является и замкнутым. Для доказательства рассмотрим последовательность . Она сходится к точке , которая не принадлежит В, так как .

Множество В ограничено, поскольку неравенство влечет

.

 

 

Задания лабораторной работы

 

 

Задача 1 Является ли данное множество М открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренние и граничные точки.

 

№	М	№	М
1.1		1.4
1.2		1.5
1.3		1.6

 

Задача 2 Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в .

 

 

№		А	№		А
2.1			2.4
2.2			2.5	3/2
2.3			2.6

 

Лабораторная работа 3

Полнота метрических пространств

 

Примеры решения задач

Задача 1 Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти , если он существует.

Пример 1 , ,

где K – канторово множество.

 

Решение. Так как канторово множество имеет лебегову меру нуль, то и - множество меры нуль. Значит, п.в.

Покажем, что сходится к 0 в . Для этого рассмотрим

и воспользуемся разложением по формуле Тейлора:

при .

Получаем:

при .

Тот же результат мы получим, применив теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Итак, сходится к 0, а потому она фундаментальна.

 

Пример 2 , ,

 

Решение. Так как - множество меры нуль, то п.в. на [0;1]. Покажем, что эта последовательность не фундаментальна в нашем пространстве:

(мы воспользовались леммой Римана из теории рядов Фурье, согласно которой , но можно было бы вычислить интеграл и непосредственно).

 

 

Задача 2 Является ли метрическое пространство полным?

 

Пример 1Х=B[0,1] ­ пространство вещественнозначных ограниченных функций на [0,1], наделенное метрикой

.

 

Решение. Покажем, что любая фундаментальная последовательность () в B[0,1] является сходящейся. Ее фундаментальность значит, что : выполняется неравенство

(1)

Зафиксируем произвольное число . Тогда числовая последовательность () в силу (1) является фундаментальной в R. По причине полноты пространства Rпоследовательностьсходится. Положим, t[0,1]. Тем самым на [0;1] определена функция , к которой сходится поточечно. Осталось доказать, что

1) и 2) при .

С этой целью перейдем в (1) (а точнее, в неравенстве , справедливом при всех t из [0,1]) к пределу при . Получим, что

(2)

В частности, при выполняется оценка:

,

из которой следует ограниченность . Следовательно, . Наконец, формула (2) означает, что . Поэтому при .

.

 

Пример 2 () – пространство числовых последовательностей , удовлетворяющих условию: , где , ) ­ заданная числовая последовательность; .

 

Решение. Покажем, что данное пространство полно. Пусть () - фундаментальная последовательность в . Это значит, что

 

: . (1)

Тогда для любого фиксированного имеем , т. е. . Следовательно, для любого фиксированного числовая последовательность является фундаментальной, а потому сходится. Обозначим и положим . Осталось показать, что

1) и

2) при .

Из (1) следует, что любого фиксированного , что в пределе при дает . Переходя теперь к пределу при , получим , т.е.

 

: (2)

Возьмем какие-нибудь и и обозначим

 

.

Вследствие неравенства Минковского имеем

 

,

а это значит, что . Теперь (2) показывает, что при , а потому () сходится в нашем пространстве к .

 

 

Пример 3 Х=­ множество непрерывно дифференцируемых на [-1,1] функций с метрикой .

 

Решение. Рассмотрим последовательность и покажем, что она является фундаментальной, но не является сходящейся в нашем пространстве. Заметим, что эта последовательность поточечно сходится к функции Х., где

.

А так как , то по теореме Лебега при . Это означает, что в пространстве последовательность сходится к . Следовательно, она фундаментальна в Х. С другой стороны, если предположить, что последовательность сходится в данном пространстве Х к некоторой функции , то получим, чтоимеет два предела в ­ и , ­ противоречие. Итак, данное пространство не является полным.

 

Задания лабораторной работы

 

 

Задача 1 Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти , если он существует.

 

№	X		№	X
1.1			1.4
1.2			1.5
1.3			1.6

 

 

Задача 2 Выяснить, является ли заданное пространство полным.

 

2.1 А) Пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке [a;b] функций с метрикой .

Б) Пространство всех дважды дифференцируемых на отрезке [a;b] функций с метрикой .

2.2 А) Пространство числовых последовательностей , удовлетворяющих условию , с метрикой .

Б) Пространство всех непрерывных на отрезке [a;b] функций с метрикой .

2.3 А) Пространство всех ограниченных числовых последовательностей с метрикой .

Б) с метрикой .

2.4 А) Пространство сходящихся к нулю последовательностей с метрикой .

Б) с метрикой .

2.5 А) Пространство с сходящихся последовательностей с метрикой .

Б) , с метрикой .

2.6 А) Пространство ограниченных и непрерывных на интервале (a;b) функций с метрикой .

Б) с метрикой .

Лабораторная работа 4

  Примеры решения задач

Лабораторная работа 5

Компактные множества в метрических пространствах

 

Примеры решения задач

 

Задача 1 Выяснить, являются ли данные множества предкомпактными,

компактными в C[0;1].

 

Пример 1 а) М = {| a,b,α [0;1]};

б) М₁ = {| a,b [0;1], α (0;1)}.

Решение. Проверим для множества М условия теоремы Арцела-Асколи. Рассмотрим функцию f(t,a,b,α) = . Пусть К = [0;1]³. Тогда f непрерывна на [0;1]К и М=. Множество [0;1]К является компактом. По теореме Вейерштрасса f ограничена на [0;1]К, т.е. с t[0;1] (a,b,α) [0;1]³ справедливо неравенство c. Значит, М равномерно ограничено (впрочем, легко проверить и непосредственно, что при наших условиях 1).

Проверим равностепенную непрерывность множества М. По теореме Кантора f равномерно непрерывна на [0;1]К. Если обозначить через s = (a,b,α) произвольную точку из К, то равномерная непрерывность f означает, что >0 >0 из [0;1], таких, что |t₁ - t₂| <, и s₁,s₂ из К, таких, что ρ(s₁,s₂) <(ρ обозначает евклидову метрику в К), справедливо неравенство

 

.

Отсюда следует равностепенная непрерывность множества М (см. определение). Значит, по теореме Арцела-Асколи М предкомпактно.

Для доказательства компактности множества М теперь достаточно проверить его замкнутость в C[0;1]. Но это тоже следует из непрерывности функции f. В самом деле, если х ­ предельная точка множества М, то найдется последовательность функций из М, сходящаяся к х в C[0;1]. По свойству Больцано-Вейерштрасса из последовательности s_n точек множества К можно выбрать подпоследовательность , сходящуюся к точке . Тогда поточечно , а потому в силу единственности предела . Итак, М – компакт.

Далее, так как М₁ М, то множество М₁ предкомпактно. Но М₁ не является компактом, так как не замкнуто в C[0;1]. Действительно, функции х_n(t) = М₁, но предел этой последовательности х₀(t) = 1М₁.

 

 

Пример 2 М = {tⁿ | nN}.

 

Решение. Это множество является равномерно ограниченным, но не является равностепенно непрерывным. Действительно, возьмем = 1/4. Тогда >0 найдется такое натуральное n, что точки t₁=1 и t₂ =[0;1] удовлетворяют неравенству |t₁ - t₂| = <, но в то же время = >. Значит, по теореме Арцела-Асколи М не является предкомпактным, а потому и компактным множеством.

 

 

Пример 3 М = {| aR}.

 

Решение. Множество М равномерно ограничено, так как

t a1.

Множество М равностепенно непрерывно, так как >0 aR и t₁, t₂[0;1], таких, что |t₁ - t₂| <, имеем

|| = |t₁ - t₂| <.

Значит, по теореме Арцела-Асколи М предкомпактно.

Покажем, что М содержит все свои предельные точки. Пусть х есть предельная точка множества М, равномерно на [0;1]. В силу периодичности синуса можно считать, что . При этом промежуток удобно отождествлять с факторгруппой R/Z, т. е. с единичной окружностью, наделенной естественной топологией, в которой она компактна. (Отличие здесь в том, что если последовательность в R сходится к , то в этой топологии предел считается равным 0). Заметим, что в этой топологии существует . Действительно, если допустить противное, то найдутся две подпоследовательности и , имеющие различные пределы a’ и a’’соответственно. Но тогда , откуда a’ = a’’, ­ противоречие. Следовательно, . Значит, М – замкнутое множество, откуда следует, что М – компакт.

 

 

Задача 2 Является ли множество М предкомпактным в l₁?

 

Пример 1 M = {xl₁ | || <, || <, || = 1}.

 

Решение. Проверим критерий предкомпактности в l₁

1). Множество М является ограниченным, посколькуn2 |x_n | <, а потому

хМ < 1 + =.

2) Так как ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е.

>0 N : <.

Поэтому>0 N: хМ <<.

Значит, множество М предкомпактно.

 

 

Задания лабораторной работы

 

 

Задача 1 Выяснить, является ли множество М предкомпактным, компактным в C[0;1].

 

 

№	М	№	М
1.1	{atα | 1α10, |a|10}	1.4	{) | 0a, b1}
1.2	{atα | 0α1, 0 < a < 1}	1.5	{| 1a, b2}
1.3	{cos at | -1a1}	1.6	{| a1, b>1}

 

 

Задача 2 Является ли множество М предкомпактным в l_p?

 

 

№	р	М
2.1		{x| | xk | <, kN}
2.2		{x | < | xk | <, kN }
2.3		{x | | xk | , kN }
2.4		{x | | xk | , kN }
2.5		{x | x2k = 0, 0 < x2k+1 , kN }
2.6		{x | | xk | <, α }

 

Лабораторная работа 6

Сжимающие отображения

 

Примеры решения задач

Задача 1Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим?

Найти х₃, где х_к+1 = F(х_к), х₀ = 0. Оценить расстояние от х₃ до неподвижной

точки, если F является сжимающим.

Пример 1 .

Решение. Оценим расстояние в

(мы воспользовались неравенством ). Значит, F является сжимающим отображением с константой Липшица.

Построим последовательность . По условию поэтому

. А так как

,

где - неподвижная точка, то

 

Пример 2

 

Решение. Оценим расстояние в

Значит, f – сжимающее отображение с константой

По условию, . Тогда , , а потому

(на самом деле, как легко проверить, является неподвижной точкой).

 

Пример 3 .

 

Решение. Допустим, что отображение F является сжимающим, т.е.

 

.

 

При y=0 из этого неравенства следует, что

. (1)

Подставив в левую часть неравенства (1), получим

при

(мы воспользовались эквивалентностью при ).

Правая же часть неравенства (1), как легко проверить, при этом значении х равна . Следовательно, неравенство (1) при указанных и примет вид: ­ противоречие. Значит, F не является сжимающим. (Аналогичное решение получается и при ).

 

 

Задача 2Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному

уравнению в пространстве Х при При с точностью до

0,01 найти приближенное решение и сравнить его с точным решением.

(1)

 

Решение. Определим отображение по формуле

(2)

Тогда исходное уравнение запишется в виде и искомое решение есть неподвижная точка отображения . Метрическое пространство C[0;1] является полным, поэтому если мы покажем, что – сжимающее отображение C[0;1] в себя, то можно будет применить принцип сжимающих отображений. То, что отображение непрерывную на функцию переводит в непрерывную, в данном случае очевидно (а в общем следует из свойств интеграла, зависящего от параметра). Определим, при каких отображение является сжимающим. Известно, что отображение

(3)

является сжимающим в C[a;b], если где . При этом константа Липшица . (Заметим, что это утверждение дает лишь достаточное условие сжимаемости). В данном случае , . Следовательно, является сжимающим при т.е., в частности, при и .

Докажем, что не является сжимающим при . Если допустить, что – сжимающее, то для и некоторого должно выполняться неравенство

.

При , последнее неравенство примет вид . А так как ,

То получаем, что , откуда в пределе . Это противоречие доказывает, что не является сжимающим при .

Решим уравнение (1) при . При этом отображение - сжимающее, а потому для нахождения приближённого решения можно воспользоваться методом итераций (последовательных приближений). Из уравнения (1) следует, что его решение имеет вид

где (4)

Поскольку выбирается произвольно, возьмём . Дальнейшие приближения находятся по формулам , .

Установим номер k, при котором элемент будет давать точность приближения 0,01. Используем оценку погрешности (х - точное решение)

.

В нашем случае . Тогда

.

.

Следовательно,

,

А потому искомое k определяется из неравенства: . Поскольку k=3 ему удовлетворяет, будет приближенным решением исходного уравнения с точностью 0,01. Найдём :

,

.

Итак, приближённое решение с нужной точностью есть

Точное решение имеет вид (см. формулу (4)). Подставив в (1), получим:

. Отсюда , . Следовательно, точное решение есть

Сравним его с приближённым:

.

 

Замечание.Первую часть решения можно сократить, если воспользоваться тем фактом, что норма линейного оператора

в пространстве C[0;1] дается формулой

.

Поскольку норма есть точная константа в неравенстве ограниченности, отображение А₁ является сжимающим тогда и только тогда, когда То же верно и для отображения (почему?).

 

Задания лабораторной работы

 

 

Задача 1Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим?

Найти х₃, где х_к+1 = F(х_к), х₀ = 0. Оценить расстояние от х₃ до неподвижной

точки, если F является сжимающим.

 

№	X	F
1.1
1.2
1.3	C[-1;1]
1.4
1.5	C[-1;1]
1.6

 

 

Задача 2 Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному

уравнению в пространстве Х при ? При с точностью

до 0,01 найти приближённое решение и сравнить его с точным решением.

 

№	Х				Уравнение
2.1	C[0;1]
2.2	C[-1;1]
2.3	C[-2;2]
2.4	C[-1;1]
2.5	C[0;1]
2.6	C[-1;1]

 

Лабораторная работа 7

Линейные нормированные пространства

 

Примеры решения задач

Задача 1 Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?

 

Пример 1

Решение. Воспользуемся определением выпуклости. Возьмем и покажем, что . Действительно, так как и , то

Значит, множество А является выпуклым.

 

Задача 2 Проверить, является ли заданная система векторов в бесконечномерном

пространстве Х линейно независимой.

 

Пример 1

Решение. Покажем по определению, что система является линейно независимой. Пусть

. (1)

Подставив в это равенство t=a, получим , а потому

.

Сокращая на и снова полагая t=a, получим . Продолжая этот процесс, окончательно будем иметь .

Второе решение: алгебраическое уравнение (1) не может иметь более n корней, если не все его коэффициенты равны нулю (почему?).

 

Пример 2 .

Решение. Заметим, что .

Тогда , а значит, данные функции линейно зависимы.

 

Задача 3 Привести пример последовательности , сходящейся в Х, но не

сходящейся в Y, если пространства Х и Y наделены естественными нормами.

 

Пример 1 .

Решение. Рассмотрим последовательность. В пространстве она сходится к вектору , так как

при . Допустим, что . Так как

,

то сходится к а и в пространстве . В силу единственности предела отсюда следует, что . Но . Это противоречие доказывает, что в данная последовательность не сходится.

 

Пример 2

Решение. Рассмотрим последовательность , которая .

Тогда в имеем при , т. е. в .

Допустим, чтосходится в к некоторому . В силу неравенства Коши-Буняковского

.

Отсюда следует, что если в, то и в . В силу единственности предела, а=0. С другой стороны, легко проверить, что , ­ противоречие. Следовательно, в данная последовательность не сходится.

 

Пример 3

Решение. Рассмотрим последовательность . В имеем , но в 0 (). Значит, 0 в . Воспользовавшись неравенством: и рассуждая, как в предыдущих примерах, получим, что не сходится в .

 

Задача 4 Выяснить, являются ли нормы p и q эквивалентными в данном пространстве X.

 

Пример 1

Решение. Очевидно, . Допустим теперь, что

, т.е. .

При последнее неравенство примет вид: . Полученное противоречие доказывает, что p и q не эквивалентны.

 

Пример 2

Решение. Заметим, что . Допустим, что , т.е. , и положим здесь . Тогда последнее неравенство примет вид , т. е. . Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквивалентны.

 

Пример 3

Решение. Так как , то , т.е. . С другой стороны, так как , то , т.е. . Итак, мы доказали, что p и q – эквивалентные нормы.

 

Пример 4 .

Решение. В силу неравенства Коши-Буняковского . Допустим, что .

Возьмем . Тогда , и последнее неравенство примет вид: , что невозможно ни при каком a. Значит, нормы p и q не эквивалентны.

 

Задача 5 Построить изоморфизм между факторпространством L/M и одним из стандартных линейных пространств.

 

Пример 1

Решение. Возьмем произвольный элемент . Его класс эквивалентности есть

.

Это равенство показывает, что отображение инъективно. Очевидно также, что оно линейно и является сюръекцией (проверьте). Значит, f – изоморфизм линейных пространств.

 

Задания лабораторной работы

 

 

Задача 1Проверить, является ли функция p нормой в пространстве X. Образует ли пара

, где , метрическое пространство?

 

 

№	X	p(x)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

 

Задача 2Является ли множество А выпуклым в пространстве X?

№	X	A
2.1		неубывающие функции
2.2
2.3		многочлены степени n
2.4
2.5		многочлены степени k
2.6

 

Задача 3 Проверить, является ли данная последовательность векторов в бесконечномерном пространстве X линейно независимой.

 

 

№	X
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5		- функция Дирихле
3.6

 

Задача 4 Привести пример последовательности , которая сходится в X, но не сходится в Y, если пространства X и Y наделены естественными нормами.

 

 

№	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6
X
Y

 

Задача 5 Являются ли нормы p и q эквивалентными в пространстве E?

 

№	E	p	q
5.1
5.2
5.3
5.4	c
5.5
5.6

 

 

Задача 6 Построить изоморфизм между факторпространством L/M и одним из стандартных линейных пространств.

 

 

№	L	M
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6

 

Лабораторная работа 8

Линейные ограниченные операторы в банаховых

Пространствах

Примеры решения задач

Задача 1Пусть X,Y – нормированные пространства. Выяснить, совпадает ли область

определения оператора А с нормированным простран-

ством Х. Является ли оператор А линейным, непрерывным оператором из

D(A) в Y?

Пример 1 .

Решение. Если, то :=. В силу неравенства Коши-Буняковского

. (1)

Отсюда следует, что . Поэтому D(A)=X.

Оператор А не является линейным (рассмотрите, например, ). Исследуем его на непрерывность. Для любой точки оценим расстояние

(мы воспользовались числовым неравенством , а затем неравенством (1)). Поэтому получаем при что . Значит, оператор A непрерывен на.

Пример 2 .

Решение. В этом примере D(a)≠X, так как , но (в обоих случаях сходимость ряда исследуется с помощью интегрального признака; проделайте это). Очевидно, A является линейным оператором, поэтому исследование непрерывности равносильно исследованию ограниченности. Докажем, что A не является ограниченным. Допустим противное, то есть что . При последнее неравенство примет вид

, т.е. .

Поскольку частичные суммы ряда не являются ограниченными, мы пришли к противоречию. Значит, A не является непрерывным.

 

Пример 3 .

Решение. Здесь D(A)≠X, так как последовательность но . Далее, оператор A не является линейным (как в примере 1). Докажем, что он не является непрерывным. Действительно, возьмём следующую последовательность точек из :

.

Тогда в , так как

при .

В то же время

.

Таким образом, из того, что , не следует, что . Мы показали, что А не является непрерывным в нуле, значит, A не является непрерывным на D(A).

 

Пример 4 .

Решение. Очевидно, что D(A)X и что A - нелинейный. Покажем, что A не является непрерывным в нуле. Возьмём последовательность из C[0;1]. Она сходится к 0, так как при n→∞. Но в то же время

при n→∞.

Т.е. из того, что , не следует, что Значит, A не является непрерывным на D(A).

 

Задача 2 Доказать, что оператор является линейным ограниченным, и

найти его норму.

 

а) Оператор умножения, действующий из X в Y.

Пример 1 .

Решение. Ясно, что A линейный.

Так как

, (2)

то A ограничен с константой ограниченности 1/2. А так как норма оператора есть наименьшая из констант ограниченности, то .

Докажем теперь противоположное неравенство, т.е. что . Для этого постараемся подобрать такой ненулевой вектор х₀, для которого неравенство (2) превращается в равенство. Возьмём . Тогда, как легко подсчитать, .А так как , то . Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что .

 

б) Диагональный оператор, действующий из в .

 

Пример 1 .

Решение. Ясно, что A - линейный оператор. Так как

,

то оператор A ограничен, причем . Возьмём . Тогда . Значит, (почему?). Из полученных неравенств следует, что .

 

Пример 2 .

Решение. Оператор A - линейный. Докажем неравенство ограниченности:

. (3)

Значит, оператор А ограничен, причем .

В отличие от предыдущих примеров, здесь не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (3) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (3) мало отличались друг от друга. Возьмём (единица стоит на 2k-м месте). Тогда имеем, откуда (см. решение примера 1). Ввиду произвольности k отсюда следует, что . Окончательно получаем, что .

 

в) Оператор замены переменной.

Пример 1 .

Решение. Oчевидно, что оператор A линеен. Докажем его ограниченность:

, (4)

поскольку, как легко проверить, =1/4. Следовательно, . Далее, так как при неравенство (4) превращается в равенство, то (см. решения предыдущих примеров). Итак, .

Пример 2 .

Решение. Oчевидно, что оператор A линеен. Докажем его ограниченность:

= (5)

(мы воспользовались тем, что ). Значит, .

Как и в примере 2 пункта б не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (5) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (5) мало отличались друг от друга. Возьмём последовательность , состоящую из функций, сосредоточенных в окрестности точки z=1 и таких, что . Тогда

.

Значит, . Перейдем в последнем неравенстве к пределу при . Воспользовавшись тем, что при , получим:

.

Из полученных неравенств следует, что .

 

г) Интегральный оператор, действующий из X в Y.

Пример 1 .

Решение. Из свойства линейности интеграла следует, что А – линейный оператор. Далее,

. (6)

Значит, оператор А ограничен, причем . Заметим, что неравенство (6) превращается в равенство при x(t)=sgn(t), но эта функция не принадлежит C[-1;3]. Возьмем следующую последовательность функций из C[-1;3], которые «похожи» на sgn(t) при больших n (сделайте чертеж):

.

Легко видеть, что в . Вычислим в . Так как функция - четная на [-1;1], то

.

Значит, , а потому . Окончательно получаем, что.

 

Задача 3Для последовательности операторов X,YNorm и

установить: 1) сходится ли поточечно (сильно) к оператору А; 2) сходится

ли по норме к оператору А.

 

Пример 1

Решение. 1) Заметим, что .

при

как остаток сходящегося ряда. Значит, последовательность сходится поточечно (т.е. сильно) к оператору А.

2) Воспользуемся тем, что .

Возьмем (единица стоит на -м месте). Тогда

.

Так как , то не сходится по норме к А.

 

 

Задания лабораторной работы

Задача 1Пусть X,Y – нормированные пространства. Выяснить, совпадает ли область

определения оператора А с нормированным простран-

ством Х. Является ли оператор А линейным, непрерывным оператором из

D(A) в Y?

 

№	Х	Y	A
1.1
1.2
1.3		R
1.4
1.5		C
1.6

Задача 2 Доказать, что оператор А: ХY является линейным ограниченным, и найти его норму.

а) Оператор умножения, действующий из Х в Y.

№	Х	Y	A
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6

б) Диагональный оператор, действующий из в .

№	Х	Y	A
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6

 

в) Оператор замены переменной.

№	Х	Y	A
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6

г) Интегральный оператор, действующий из X в Y.

№	Х	Y	A
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.4.6

Задача 3 Для последовательности операторов X,YNorm и

установить: 1) сходится ли поточечно (сильно) к оператору А; 2) сходится

ли по норме к оператору А.

 

№	Х	Y	A	А
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6				Ax=x

 

Лабораторная работа 9

Обратные операторы

Примеры решения задач

Задача 1 Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор, и построить его.

 

Пример 1 ,

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А – биекция. Рассмотрим уравнение , которое равносильно системе уравнений

, .

Отсюда

. (1)

А так как

, (2)

то . Мы получили, что уравнение имеет единственное решение х из . Значит, А – биекция. Более того, из (1) следует, что обратный оператор задается формулой

Ограниченность этого оператора следует из оценки (см (2))

.

Пример 2

Решение. Очевидно, что А – линейный оператор.

Запишем его в виде

и рассмотрим уравнение , т. е.

(3)

 

Пусть

. (4)

Тогда (3) примет вид, откуда. Мы получили общий вид решения уравнения (3) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это в (4), без труда находим, что

 

.

Таким образом,

. (5)

 

Итак, уравнение (2) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (5). Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме

,

а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (5) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).

 

Задача 2 Пусть

1) Что представляет собой область значений R(A) оператора А?

2) Существует ли на R(A) левый обратный оператор В?

3) Является ли оператор ограниченным, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор ?

 

Пример 1 .

Решение. 1) Очевидно, что

 

–множество последовательностей из , первая координата которых равна нулю (проверьте). Заметим, что

2) Так как уравнение имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор В существует. Легко проверить, что

.

Действительно, при всех х из имеем .

3) Оператор В ограничен, так как

4) Поскольку уравнение не при всех у имеет решение (например, при ), то А не является сюрьекцией. А это значит, что правого обратного оператора не существует. Следовательно, А необратим.

 

Пример 2 .

Решение. 1) По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом (теорема Барроу) функция дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что у(0)=0. Обратно, если и у(0)=0, то по формуле Ньютона-Лейбница . Поэтому

 

2) Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу) при всех , то В – левый обратный для оператора А.

3) Покажем, что В не является ограниченным оператором. Допустим противное, т.е.

.

Возьмём . Тогда последнее неравенство примет вид . Противоречие.

4) Поскольку , то А не является сюръекцией. Значит, правого обратного оператора не существует. Следовательно, не существует и .

 

 

Задача 3Пусть , где - числовой параметр, Х- банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим?

Пример 1.

Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение x=y, т. е. линейное дифференциальное уравнение

. (6)

Нужно выяснить, при каких у этого уравнения для любого существует единственное решение . Другими словами, для любого краевая задача

(7)

для уравнения (6) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение. Воспользовавшись формулой для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка, получим общее решение уравнения (1):

. (8)

Требуется узнать, при каких для любого найдется такое С, при котором формула (8) дает решение задачи (7). Подставив (8) в (7), получим после упрощений

(9)

Возможны два случая.

а) . Тогда уравнение (9) имеет единственное решение

для любого . Следовательно, при этих существует обратный оператор, который мы найдем, подставив это С в равенство (8):

.

В силу теоремы Банаха об обратном операторе непрерывность этого оператора будет следовать из непрерывности оператора . Последний же факт легко доказать по Гейне. Действительно, если в пространстве , то это значит, что и равномерно на [0;1]. Но тогда и равномерно на [0;1].

б) . В этом случае уравнение (9) имеет вид

.

Так как правая часть этого уравнения при некоторых непрерывных у (например, при не будет равна 0, то при этих у уравнение (9) не имеет решения (относительно С), а потому оператор не сюръективен.

Итак, обратный оператор к оператору существует тогда и только тогда, когда . Причем при таких оператор непрерывно обратим.

 

Задания лабораторной работы

Задача 1 Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор

, и построить его.

 

№	X	Y	A
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

 

 

Задача 2 Пусть

1) Что представляет собой область значений R(A) оператора А?

2) Существует ли на R(A) левый обратный оператор В?

3) Является ли оператор ограниченным, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор ?

 

№	X	Y	A
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

 

Задача 3Пусть , где - числовой параметр, - банахово пространство. Выяснить, при каких существует обратный оператор к оператору , построить его. При каких оператор непрерывно обратим?

 

№		Y
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

ЛИТЕРАТУРА

 

1 Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. − Мн. : БГУ, 2003. − 430 с.

2 Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. − М. : Наука, 1972. – 496 с.

3 Антоневич, А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения: Лабораторный практикум / А.Б. Антоневич [и др.]. − Мн. : БГУ, 2003. − 179 с.

4 Кириллов, А. А. Теоремы и задачи функционального анализа / А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. − М. : Наука, 1979. – 381 с.

 

Учебное издание

Миротин Адольф Рувимович

Кульбакова Жанна Николаевна

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Лабораторный практикум

Для студентов математического факультета

Специальности 1-31 03 01 Математика

 

В авторской редакции

 

 

Подписано в печать . .09 (141). Формат 60х84 1/16. Бумага писчая № 1.

Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. .

Уч.-изд. .л . Тираж 100 экз.

 

 

Отпечатано в учреждении образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

246019, г. Гомель, ул. Советская, 104