Реферат Курсовая Конспект
МАТЕМАТИКА - раздел Математика, Государственного Образовательного Учреждения...
|
ГосударственноГО образовательноГО учреждения
Высшего профессионального образования
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ПРОВОСУДИЯ
Казанский филиал
Кафедра правовой информатики, информационного права и естественно-научных дисциплин
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс
Для студентов заочной формы обучения
направление подготовки 080200 «менеджмент»
Казань
Автор: Галяутдинова, Л.Р., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры правовой информатики, информационного права и естественнонаучных дисциплин Казанского филиала ГОУ ВПО РАП.
Рецензенты: Крепкогорский В.Л., доктор ф.-м. н., доцент, профессор кафедры «Высшая математика» КГАСУ.
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 080200 «менеджмент».
Одобрен на заседании кафедры правовой информатики, информационного права и естественнонаучных дисциплин Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанского филиала ГОУ ВПО РАП (протокол № ___ от ___ ______________ 20___ г.).
Утвержден Учебно-методическим советом Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанского филиала ГОУ ВПО РАП (протокол № ___ от ___ ______________ 20___ г.).
© КФ ГОУ ВПО РАП, 2011 .
© Галяутдинова, Л.Р. , 2011 .
Содержание
Введение. 4
Объем дисциплины и виды учебной работы.. 5
Тематический план дисциплины.. 5
Программа курса. 6
Планы аудиторных занятий. 7
Методические рекомендации по изучению дисциплины и по организации самостоятельной работы студентов 10
Контрольная работа. 63
Литература. 67
Вопросы для подготовки к экзамену. 68
Введение
Дисциплина "Математика" относится к циклу общих математических и естественнонаучных дисциплин.
Данная дисциплина изучается на первом курсе студентами специальности по направлению подготовки 080200 Менеджмент (квалификация (степень) "бакалавр").
Форма обучения студентов – заочная.
Учебно-методический комплекс составлен на основе государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования, государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки бакалавра по направлению подготовки 080200 Менеджмент. Изучение данной дисциплины занимает важное место в формировании бакалавра-менеджера, создает необходимую базу для изучения методов решения задач математического моделирования, связанных с организацией и планированием различных процессов. Кроме того, умение мыслить логически, корректно употреблять математические понятия и символы для выражения количественных и качественных отношений необходимо для общей подготовки студентов, независимо от области, в которой они в дальнейшем будут работать.
Цели и задачи дисциплины:
Целью изучения курса «Математика» является развитие:
1) навыков мышления;
2) навыков использования математических методов и основ математического моделирования;
3) математической культуры у обучающегося.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих общекультурной компетенции (ОК):
– владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-15).
Изучение дисциплины «Математика» наряду с другими дисциплинами способствует приобретению следующих общекультурных компетенций:
– владением культурой мышления, способностью к восприятию, обобщению и анализу информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-5);
– умением логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь (ОК-6);
В результате изучения дисциплины студенты должны
иметь представление:
– о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений;
– о математическом моделировании;
знать:
– основные понятия и инструменты алгебры и геометрии, математического анализа, теории вероятностей, математической статистики;
уметь:
– решать типовые математические задачи, используемые при принятии управленческих решений;
– обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные;
владеть:
– математическими методами решения типовых организационно-управленческих задач.
Тема 3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
Случайные события, их классификация. Классическое определение вероятности. Действия над событиями. Элементы комбинаторики. Вероятность суммы и произведения событий. Условная вероятность. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Дискретные случайные величины, законы распределения, числовые характеристики. Непрерывные случайные величины, законы распределения, числовые характеристики. Равномерное, показательное, нормальное распределения. Распределение Бернулли (биномиальное) и Пуассона.
Статистические методы обработки экспериментальных данных. Случайная выборка из генеральной совокупности, ее табличное и графическое представление. Точечные и интервальные оценки параметров. Элементы теории корреляции. Коэффициент корреляции. Линия регрессии.
Планы аудиторных занятий
Лекция №1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Матрицы. Действия с ними. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу). Ранг матрицы.
Метод координат. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Линии на плоскости (прямая, гипербола, парабола, окружность). Уравнения плоскости в пространстве.
Лекция №3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
Случайные события, их классификация. Классическое определение вероятности. Действия над событиями. Элементы комбинаторики.
Дискретные случайные величины, законы распределения, числовые характеристики. Непрерывные случайные величины, законы распределения, числовые характеристики.
Статистические методы обработки экспериментальных данных. Случайная выборка из генеральной совокупности, ее табличное и графическое представление. Точечные и интервальные оценки параметров.
Практическое занятие №1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Матрицы, действия с ними. Вычисление определителей. Решение СЛАУ методом Крамера. Решение СЛАУ методом Гаусса.
Основная литература
2. Информатика и математика для юристов: Учебник для студентов вузов, обучающихся по юридическим специальностям / С.Я. Казанцев, В.Н. Калинина, О.Э. Згадзай; Под ред. С.Я. Казанцев, Н.М. Дубинина. - 2-e изд., перераб. и доп. – Изд.:ЮНИТИ-ДАНА, 2010. 560с.
3. Математика для юридических специальностей: Учебное пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / С.Я. Казанцев, О.Э. Згадзай, Н.Х. Сафиуллин. - (Университетский учебник ; Высшая математика и ее приложения к юриспруденции. –ИЦ: Академия , 2011. –224с.
Дополнительная литература
1. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. Учебное пособие.1-ое издание. Изд-во: Питер–2010г., 464 стр.
2. Кремер Н.Ш. МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ: ОТ АРИФМЕТИКИ ДО ЭКОНОМЕТРИКИ 2-е изд. Учебно-справочное пособие. М.:Издательство Юрайт, 2011г. –646с.
3. Малыхин В.И. Высшая математика.2-е изд. Гриф УМО МО РФ. Инфра-М, 2010г. –365с.
4. Красс М.С. Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата. Учебник.– Инфра-М, 2011г. –472с.
5. Шипачев. Высшая математика: Базовый курс. Учебное пособие для вузов. 8-ое издание. Серия: Бакалавр. Изд-во: Юрайт, 2011г., - с.
Практическое занятие №2. Элементы математического анализа.
Правила дифференцирования. Вычисление производных. Общая схема исследования функций и построение графиков: монотонность, экстремум функции, выпуклость графика функции, точки перегиба, асимптоты функций.
Основная литература
1. Математические методы и модели исследования операций: Учебник / А.С. Шапкин, В.А. Шапкин. - 5-e изд., Изд.: Дашков и Ко, 2012. – 400с.
2. Математика для юридических специальностей: Учебное пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / С.Я. Казанцев, О.Э. Згадзай, Н.Х. Сафиуллин. - (Университетский учебник ; Высшая математика и ее приложения к юриспруденции. –ИЦ: Академия , 2011. –224с.
Дополнительная литература
1. Кремер Н.Ш. МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ: ОТ АРИФМЕТИКИ ДО ЭКОНОМЕТРИКИ 2-е изд. Учебно-справочное пособие. М.:Издательство Юрайт, 2011г. –646с.
2. Красс М.С. Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата. Учебник.– Инфра-М, 2011г. –472с.
3. Шипачев. Высшая математика: Базовый курс. Учебное пособие для вузов. 8-ое издание. Серия: Бакалавр. Изд-во: Юрайт, 2011г., - с.
Практическое занятие №3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
Задачи на непосредственное вычисление вероятностей. Вероятность суммы и произведения событий. Условная вероятность. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Равномерное, показательное, нормальное распределения. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Коэффициент корреляции.
Основная литература
1. Математические методы и модели исследования операций: Учебник / А.С. Шапкин, В.А. Шапкин. - 5-e изд., Изд.: Дашков и Ко, 2012. – 400с.
2. Математика для юридических специальностей: Учебное пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / С.Я. Казанцев, О.Э. Згадзай, Н.Х. Сафиуллин. - (Университетский учебник ; Высшая математика и ее приложения к юриспруденции. –ИЦ: Академия , 2011. –224с.
Дополнительная литература
1. Кремер Н.Ш. МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ: ОТ АРИФМЕТИКИ ДО ЭКОНОМЕТРИКИ 2-е изд. Учебно-справочное пособие. М.:Издательство Юрайт, 2011г. –646с.
2. Красс М.С. Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата. Учебник.– Инфра-М, 2011г. –472с.
3. Шипачев. Высшая математика: Базовый курс. Учебное пособие для вузов. 8-ое издание. Серия: Бакалавр. Изд-во: Юрайт, 2011г., - с.
Пример 1.
Пример 2. Предприятие выпускает продукцию трех видов P1, P2, P3 и использует сырье двух типов. Нормы расходов сырья заданы таблицей 1. План выпуска продукции задан таблицей 2. Найти необходимое количество сырья каждого типа.
S1 | S2 | P1 | P2 | P3 | ||
P1 | ||||||
P2 | ТаТабл.2 | |||||
P3 | ||||||
ТТабл.1 |
Решение. Перемножаем матрицы
Ответ. Сырья первого типа нужно 730 единиц, а второго – 980 единиц.
Системы линейных уравнений.
Системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными является система:
Пример.
Основной матрицей системы называется матрица из коэффициентов:
Введём также матрицы столбцы неизвестных и свободных членов
, .
Тогда систему можно записать в матричной форме: .
О: Решением системы называется любой набор чисел , который при подстановке в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных обращает их в тождества. Система называется совместной, если она имеет решение, несовместной, если решения нет. Совместная система называется определённой, если решение единственно и неопределённой, если решений бесконечно много.
Решить систему - это значит найти все значения неизвестных, которые при подстановке в уравнения системы превращают их в правильные равенства (тождества). Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечное множество решений или вообще не иметь решений.
При решении систем линейных уравнений можно использовать методы Гаусса, Крамера или метод обратной матрицы.
Метод Крамера.
Разберем этот метод решения на примере системы
Вычислим основной определитель системы
и определители и
Тогда
Метод применим если основной определитель
При система имеет бесконечно много решений, если
,
и не имеет решения, если хотя бы один определитель .
Пример. Решить систему
Решение.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пример. Решить систему
Решение. Запишем коэффициенты системы и правые части уравнений в матрицу, которая называется расширенной матрицей системы:
.
Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы.
При решении системы можно прибавлять к строке расширенной матрицы другую строку, умноженную на какое-нибудь число. Мы стремимся получить нули во всех точках ниже диагонали основной матрицы.
.
Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к третьей – первую умноженную на (-2).
Нам осталось получить один ноль в третьей строке и втором столбце. Для этого прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-1).
.
Этой матрице соответствует система
Из последнего уравнения Подставляем это значение во второе уравнение: Подставляем эти значения в первое уравнение
Ответ:
Пример 2. Решить систему
Записываем матрицы системы и преобразуем их
Число неизвестных больше, чем число уравнений, значит можно ожидать, что решений будет бесконечное множество или их вообще не будет. Сравним ранги основной и расширенной матриц. Любой минор третьего порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю. С другой стороны существуют миноры второго порядка неравные нулю. Например, .
Этот минор принадлежит обеим матрицам, поэтому ранги обоих матриц равны 2. По теореме Кронекера-Капелли система, в которой ранги основной и расширенной матриц совпадают должна иметь решения. Так как число неизвестных на единицу больше чем ранги обеих матриц, то система имеет бесконечное множество решений и одно из неизвестных можно положить свободным, а другие выразить через него. Например, пусть z - свободная переменная. Выразим y из второго уравнения:
Подставим эти значения в первое уравнение: .
Ответ: Система имеет множество решений. При любом значении z тройка чисел является решением системы.
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства
Свойства неопределенного интеграла
.
.
или ..
. (1.1)
.
Интегрирование функций. Таблица основных формул интегрирования
1., | 6., |
2. , | 7., |
3., | 8., |
4., | 9., |
5., | 10.. |
Все формулы вытекают из таблицы производных.
Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, замена переменной
Определенный интеграл
Методы интегрирования
Решение.
.
Интеграл сходится.
2. Найти .
Решение.
.
Интеграл расходится, так как не существует.
Тема 3. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.
Для вероятностных задач необходимо уметь находить вероятность определенного события . При условии, что используется классическая вероятностная схема с равновероятными элементарными событиями, подсчет такой вероятности сводится к вычислению отношения , где - число всех элементарных событий, а - число элементарных событий, входящих, в событие . Обычно для вычисления значений и используются методы комбинаторики.
Основные понятия теории вероятностей
Понятия пространства элементарных событий и
случайного события. Основные формулы комбинаторики
Теория вероятностей изучает модели экспериментов, исходы которых неоднозначно определяются условиями опыта (случайного эксперимента).
О: Элементарными событиями называются всевозможные исходы опыта. Пространством (множеством) элементарных событий называется совокупность всех элементарных событий данного опыта: .
Будем считать, что - конечное или счётное множество.
Рассмотрим примеры.
1). Бросается игральная кость. Количество возможных исходов опыта , , - выпадение .
2). Подбрасывается монета. Количество возможных исходов , , - выпадение герба, - выпадение решки.
3). Подбрасываются две монеты. Количество возможных исходов , .
При определении числа элементарных событий, входящих в конечное пространство , используются такие понятия комбинаторного анализа, как перестановки, сочетания, размещения.
О: Соединениями называются различные комбинации из элементов множества , подчинённые определённым условиям. Перестановками из элементов называются соединения, содержащие - элементов и отличающиеся их порядком. Размещениями из элементов по () называются соединения из элементов, составленные из данных элементов, отличающихся друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Сочетаниями из элементов по () называются соединения из элементов, составленные из данных элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Для подсчёта числа соединений существуют следующие формулы:
число перестановок из элементов:
;
число размещений из элементов по :
;
число сочетаний из элементов по :
.
Пример. .
1). Перестановки: , , , , , ; .
2). Размещения из 3-х элементов по 2: , , , , , ; .
3). Сочетания из 3-х элементов по 2: , , ; .
О: Случайным событием называется подмножество множества элементарных событий: . называется достоверным событием, (пустое множество) – невозможным.
В результате эксперимента случайное событие может произойти или не произойти.
Примеры.
1). Бросается игральная кость. Событие - появление цифры , - появление , т.е. в входят 3 элементарных события.
2). Бросаются две игральные кости. Пространство элементарных событий число элементарных событий 36. Пусть - появление таких цифр (), что их сумма .
3). Из карточек сложно слово из 6-ти букв «победа». Выбираем наугад две буквы, - обе выбранные буквы являются согласными. Пространство элементарных событий состоит из элементарных событий. Случайное событие состоит из элементарных событий.
Схема испытаний Бернулли
Пусть один и тот же опыт повторяется раз, испытания независимы, в результате каждого испытания может наступить или нет событие . Пусть - вероятность наступления , тогда . Такая схема испытаний называется схемой Бернулли. Найдём вероятность того, что событие произойдёт при испытаниях раз.
Пространство элементарных событий состоит из произведений событий или : , , . Событие , состоящее в том, что событие произойдёт при испытаниях раз включает те , в которых содержится раз, их . По формуле (13.7): , поэтому по (12.3) . Формула
(13.10)
называется формулой Бернулли.
Пример. Найти вероятность того, что четырехзначный номер первого встречного автомобиля содержит две цифры 5.
Решение. Так как , (число цифр в номере), , событие - данная цифра номера 5, - не 5, , , то .
При больших значениях , подсчёт проводят по приближённой формуле(локальная теорема Лапласа)
, , .
Если велико, а , , то применяют приближённую формулу Пуассона:
, . (13.11)
Последнюю формулу называют законом редких событий.
Случайные величины
Контрольная работа
Прежде чем решать задачи необходимо подставить в условие значения ваших параметров: m – ваш личный номер в студенческом билете (зачетной кгижке), N=1
Элементы математического анализа
Примеры заданий на самостоятельную работу
1.Даны матрицы Найти их сумму, произведение AB и разность A - B.
2.Записать систему в матричной форме
3.Вычислить определитель.
4.Решить систему с помощью метода Крамера
5. Решить систему линейных уравнений с помощью метода Гаусса,
6.Найти точки экстремума данной функции:
7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданном интервале:
8. Найти области определения функций:
, , .
9. Вычислить производные функций:
; ;
; ;
; .
10. Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке .
11. Найти дифференциал функции .
12. Найти производные третьего порядка от функции .
13. Исследовать функции и построить графики этих функций:
; ; .
14. Найти интегралы:
1). 2)
3) 4).
5). 6).
7). 8).
9). 10).
15. На вступительных экзаменах по математике тридцать абитуриентов набрали баллы: 7,10, 8, 7, 6, 8,9, 9, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 8, 9, 8, 7, 7, 6, 8, 9, 7, 8, 8, 7, 9, 10, 9. По полученным результатам:
‑ составить статистический ряд;
‑ построить полигон относительных частот;
‑ найти точечные оценки , , ;
‑ построить доверительный интервал для с заданной доверительной вероятностью .
16. Результаты измерения некоторой величины представлены в таблице:
Определить с 70% надёжностью доверительный интервал, используя нормальный закон распределения.
17. Произведено 4 независимых выстрела по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,3. ‑ случайное число попаданий. Составить ряд распределения , найти функцию распределения , построить многоугольник распределения и функцию распределения. Найти числовые характеристики: , , этого распределеия.
18. В партии из пяти деталей имеется 2 стандартных. Наудачу отбирают 3 детали. ‑ число стандартных деталей среди отобранных. Составить ряд распределения, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения и построить её. Найти , и .
19. Функция распределения случайной величины имеет вид . Определить постоянные и . Найти плотность вероятности . Построить и . Найти вероятность .
20. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Инте6рвал движения – 5 минут. Случайная величина ‑ время ожидания автобуса. Записать плотность распределения , найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке будет ждать не более трёх минут. Найти и .
21.Случайная величина ‑ время безотказной работы прибора – имеет показательное распределение . Доказать, что среднее значение времени безотказной работы прибора 400 часов. Найти вероятность отказа в промежутке времени от 200 до 400 часов с начала работы. Какова вероятность того, что отказ прибора произойдёт не ранее 800 часов с начала его работы?
23 Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Найти вероятность того, что в партии из 1500 изделий будет не более трёх бракованных.
24. При механизированной уборке картофеля повреждается в среднем 10% клубней. Найти вероятность того, что в случайной выборке из 200 клубней картофеля повреждено от 15 до 50 клубней.
25. Электроподстанция обслуживает сеть с 6000 лампочками, вероятность включения каждой из которых за время равна 0,8. Найти вероятность того, что одновременно будут включены 4750 лампочек.
26. Вероятность того, что покупателю нужна мужская обувь сорок первого размера, равна 0,4. Всего покупателей 1000. Найти вероятность того, что отклонение доли покупателей от вероятности по абсолютной величине не превысит числа .
27. Масса пойманной рыбы описывается нормальным законом с параметрами г, г. Найти вероятность следующих событий: ‑ масса наугад извлечённой рыбы составит от 450 г до 600 г; ‑ не менее 475 г; ‑ не более 625 г.
Литература
– Конец работы –
Используемые теги: математика0.033
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: МАТЕМАТИКА
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов