Закон распределения случайной величины. Проверка гипотез о законах распределения случайных величин.

Выдвигают нулевую гипотезу Н₀: неизвестная функция распределения F(x) исследуемой случайной величины X распределена по некоторому теоретическому закону, например, по нормальному закону: H₀: F(x)=F_теор(х).

В качестве этой теоретической модели F_теор(х) может быть рассмотрен любой закон, например, экспоненциальный или биномиальное распределение. Это определяется сущностью изучаемого явления, а также результатами предварительной обработки наблюдений: формой графика распределения, соотношения между выборочными данными.

Выдвигается альтернативная гипотеза, что данная генеральная совокупность не распределена по закону F_теор(х):

Н₁: F(x)F_теор(х).

Задается уровень значимости, например, α≤0,05.

Если хотим проверить, согласуются эмпирические данные с нашим гипотетическим предложением относительно теоретической функции распределения или нет, то используем критерий согласия.

Критерий согласия – это критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Рассмотрим один из них, использующий Х² распределение и получивший название критерий согласия Пирсона. Этот критерий не требует никаких пердположений о параметрах совокупности, из которых извлечена выборка. Это непараметрический критерий.

Применим критерий Х² (хи-квадрат) к проверке нулевой гипотезы Н₀, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Критерий предполагает, что результаты наблюдений группированы в вариационный ряд и разбиты на классы.

По выборке объема n построим эмпирическое распределение F_эмп(х):

варианты х₁, х₂, …, х_n

эмпирические частоты n₁, n₂, …, n_n

и сравним его с предполагаемым теоретическим распределением, вычисленным в предположении нормального закона распределения.

Теоретические частоты: n₁^’, n₂^’, …, n_n^’/

То есть фактически Н₀: n_эмп=n_теор^’.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

,

где k – число классов.

Из таблиц находим Х_крит²(α≤0,05, f=k-3).

Сравниваем, если Х_набл²<Х_крит²(α, f) => Н₀ – данное распределение подчиняется нормальному закону.

Если наоборот, то не подчиняется нормальному закону.