Реферат Курсовая Конспект
Введение в математический анализ - раздел Математика, Введение В Математический А...
|
Введение в математический анализ
Математический анализ (анализ бесконечно малых) изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых величин.
В природе и технике всюду наблюдаются движения и процессы, являющиеся проявлением взаимодействия между физическими телами или средами. Математической моделью движений (т.е. переменных величин) являются функции, выражающие изменения одних величин с изменением других. Отсюда следует важность математического анализа в прикладной математике.
Основными разделами математического анализа являются: дифференциальное и интегральное исчисления.
Функции одной переменной
Два замечательных предела.
Непрерывность функции в точке и классификация разрывов
Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
.
Возможны также и другие определения непрерывности функции в точке:
1) функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e > 0 существует такое число δ > 0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство .
2) функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + a(x)
где a(х) – бесконечно малая при х®х0.
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Классификация точек разрыва.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней.
Если существует односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.
Если существует односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнимости условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимойточкой разрыва.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Пример 1. Функция f(x) = имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к. .
Пример 2. f(x) =
Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:
График этой функции:
Пример 3. f(x) = =
y
0 x
-1
Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.
– Конец работы –
Используемые теги: Введение, Математический, анализ0.059
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Введение в математический анализ
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов