рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Основные теоремы о пределах

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Основные теоремы о пределах

Основные теоремы о пределах - раздел Математика, Введение в математический анализ Теорема 1. ...

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Доказательство теоремы. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где ,

Тогда f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

. Теорема доказана.

Теорема 3.

Доказательство теоремы. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где ,

тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

. Теорема доказана.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x) > 0 вблизи точки х = а и , то А > 0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченнойвблизи точки х = а, если существует такое число М > 0, что ïf(x)ï < M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х ® а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или

, т.е.

где М = e + ïАï Теорема доказана.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Введение в математический анализ

Математический анализ анализ бесконечно малых изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых величин... В природе и технике всюду наблюдаются движения и процессы являющиеся... Основными разделами математического анализа являются дифференциальное и интегральное...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные теоремы о пределах

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Действительные числа
Понятие действительных чисел было рассмотрено раннее в разделе «Обобщение понятия величины». Совокупность рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел

Числовые промежутки
Пусть a и b - два числа, причём a < b. Числовыми промежутками называются множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству: 1) a ≤ х

Числовые последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность {xn

Функциональная зависимость
Определение. Пусть Х и Y - некоторые множества действительных чисел. Предложим, что каждому элементу х множества Х по неко

Характеристики поведения функции
1. Функция у = f (х), определённая на множестве Х, называется ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > 0, что для всех х

Обратная функция
Пусть задана функция у = f (х) с областью определения Хи множеством значений Y. Если каждому значению y

Сложная функция
Пусть функция z = φ (х) с множеством значений Z , определена на множестве Хи на множестве Z такжеопределен

Основные элементарные функции
Элементарные функции, изучаемые в школьном курсе математики, являются математическими моделями простейших механических, физических и др. явлений. Например, тригонометрические функции

Предел функции
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Бесконечно малые функции и их свойства
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х ® а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если

Бесконечно малыми.
Определение. Если функция α(x) при х ® а является бесконечно малой функцией, то функция f(x) = 1/α(x) называется бесконечно большой фун

Первый замечательный предел.
При вычислении пределов тригонометрических выражений часто используется предел .

Второй замечательный предел
Рассмотрим последовательность an = . Можно показать, что данная последовательность являе

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке этого интервала (отрезка). При этом не требуется н

Задачи для самостоятельного решения.
Найти пределы для функции целочисленного аргумента 1) 2)

Вычисление предела функции в среде Maxima
Предел функции f(x) при x → a вычисляется с помощью функции limit(f(x), x, a); Рассмотрим примеры: 1) Вычислить предел

Задачи для самостоятельного решения
1) 2) 3)