Арифметические основы ЭВМ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра "Информатика"

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим занятиям по курсу "Информатика"

по теме:

"Арифметические основы ЭВМ "

Ростов-на-Дону

  Методические указания к практическим занятиям по курсу "Информатика"… Методические указания предназначены для проведения практических занятий по курсу "Информатика" у студентов…

Основные понятия и определения.

 

Под системой счисленияпонимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционными системамиявляются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе.

Примером непозиционной системы счисления является римская система. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основаниемсистемы счисления - “”.

В десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; эта система имеет основанием число десять.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием может быть представлено в виде полинома от основания :

 

(1.1)

 

здесь - число, - коэффициенты (цифры числа),- основание системы счисления (>1).

Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

 

.

 

В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если нет отрицательных степеней (число целое).

В ЭВМ применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое - 1. Поэтому основной системой счисления применяемой в ЭВМ является двоичная система.

Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде:

.,

где либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:

Восьмеричная система счисления.Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Таб. 1).

Таб. 1. Наиболее важные системы счисления. Двоичная (Основание 2) Восьмеричная (Основание 8) Десятичная (Основание 10) Шестнадцатеричная (Основание 16)     Триады     Тетрады A B C D E F

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр – латинскими буквами: 10–A, 11–B, 12–C, 13–D, 14–E, 15–F. Шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Таб. 1).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел в десятичную системуосуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

Пример.

а) Перевести с.с. *

 

б) Перевести с.с.

в) Перевести с.с.

.

Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системыосуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример.

а) Перевести с.с.

 

176
	16
	6

 

Результат .

б) Перевести с.с.

 

48
	32
128	6
14

 

 

Результат .

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример.

Перевести с.с.

	3125 ´ 8
	5000 ´ 8

Результат .

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.

Пример.

Перевести с.с. Точность 6 знаков.

	65´ 2
	3 ´ 2
	6 ´ 2
	2 ´ 2
	4 ´ 2
	8 ´ 2
	6 ´ 2
	. . .

 

 

Результат .

 

 

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример. Перевести с.с.

1) Переведем целую часть: 2) Переведем дробную часть:

	1252
	25 2
	5 2

 

Таким образом ; . Результат: .

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби – дробями в любой системе счисления.

 

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную формудостаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таб. 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таб. 1), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.

Пример. а) = ;

б)= .

 

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системепоступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

 

Пример.

а) Перевести с.с.

б) Перевести с.с.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратноосуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример. Перевести с.с.

 

Результат: .

Двоичная арифметика.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения. Таблица…     Пример.Выполнить сложение двоичных чисел: а) X=1101, Y=101;   …

Пример.

1100.011: 10.01=?

 

110001.1
– 1001	101.1
­– 1001
– 1001

 

 

Результат 1100.011:10.01=101.1.

Упражнения 1.

а); б); в); г); д); е). 2. Перевести следующие числа из с.с в с.с.: а); б) ; в); г); д).

Основы машинной арифметики с двоичными числами.

 

Любая информация (числа, команды, записи и т. п.) представляется в ЭВМ в виде двоичных кодов фиксированной или переменной длины. Отдельные элементы двоичного кода, имеющие значение 0 или 1, называют разрядами или битами. Двоичный код состоящий из 8 разрядов носит название байта. Для записи чисел также используют 32-разрядный формат (машинное слово), 16-разрядный формат (полуслово) и 64-разрядный формат (двойное слово).

 

Коды чисел.

В ЭВМ в целях упрощения выполнения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. Использование кодов позволяет свести… 1) Разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой. 2) Для записи кода знака в разрядной сетке отводится фиксированный, строго определенный разряд. Например, если за…

Пример.

Для числа +1101:

прямой код обратный код дополнительный код

0,0001101 0,0001101 0,0001101

 

Для числа –1101:

прямой код обратный код дополнительный код

1,0001101 1,1110010 1,1110011

 

Особенности сложения чисел в обратном и дополнительном кодах.

При сложении чисел в дополнительном кодевозникающая единица переноса в знаковом разряде отбрасывается. При сложении чисел в обратном кодевозникающаяединица переноса в знаковом… Если результат арифметических действий является кодом отрицательного числа, необходимо преобразовать его в прямой код.…

Пример.

Сложить X и Y в обратном и дополнительном кодах.

а) X= 111, Y= –11;

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

 

X= 111 Y= – 11 X+Y= 100

 

2) Сложим числа, используя коды:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополни-тельном коде
Xпр=0,0000111 Yпр=1,0000011	Xобр= 0,0000111 Yобр= 1,1111100 1 0,0000011 +1 (X+Y)обр= 0,0000100	Xдоп= 0,0000111 Yдоп= 1,1111101 1)0,0000100 отбрасывается (X+Y)доп= 0,0000100

 

Так как результат сложения является кодом положительного числа (знак 0), то (X+Y)_обр=(X+Y)_доп=(X+Y)_пр .

 

б) X= –101,Y= –11;

1) Сложим числа, пользуясь правилами двоичной арифметики:

X= – 101 Y= – 110 X+Y= –1011

 

2) Сложим числа, используя коды:

Прямой код	Сложение в обратном коде	Сложение в дополни-тельном коде
Xпр=1,0000101 Yпр=1,0000110	Xобр= 1,1111010 Yобр= 1,1111001 1 1,1110011 +1 (X+Y)обр= 1,1110100	Xдоп= 1,1111011 Yдоп= 1,1111010 1)1,1110101 отбрасывается (X+Y)доп= 1,1110101

 

 

Так как сумма является кодом отрицательного числа (знак 1), то необходимо перевести результаты в прямой код:

 

а) из обратного кода

(X+Y)_обр=1,1110100 (X+Y)_пр=1,0001011;

б) из дополнительного кода

(X+Y)_доп=1,1110101(X+Y)_пр=1,0001010+0,0000001=1,0001011.

Таким образом, X+Y= –1011 и полученный результат совпадает с обычной записью

 

Модифицированные обратный и дополнительный коды.

При переполнении разрядной сетки, происходит перенос единицы в знаковый разряд. Это приводит к неправильному результату, причем положительное число,…    

Упражнения 2.

1) Записать число в прямом, обратном и дополнительном кодах: а) 11010; б) –11101; в) –101001; г) –1001110. 2) Перевести X и Y в прямой, обратный и дополнительный коды. Сложить их в обратном и дополнительном кодах. Результат…

Формы представления чисел в ЭВМ.

 

Числа с фиксированной точкой.

Форма записи числа с фиксированной точкой использовалась в основном на ранних этапах развития вычислительной техники. Запись числа с фиксированной… Пример. Ячейка с целой и дробной частью.

Числа с плавающей точкой.

где – основание системы счисления, – порядок числа, – мантисса числа . Положение точки определяется значением порядка . С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо. …

Пример.

Для установления однозначности при записи чисел принята нормализованная форма записи числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: . Таким образом, в нормализованных числах цифра после точки должна быть значащей.

 

Пример.

ненормализованное нормализованное

число число

 

Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:

а) представление чисел в формате полуслова

 

Знак Знак Порядок p Мантисса m

(4 разряда) (10 разрядов)

б) представление чисел в формате слова                                 . . .   Знак Знак Порядок p Мантисса m (7 разрядов) (23 разряда)

Наиболее типично представление ЧПТ в формате слова (32 разряда).

Пример.

а) Число Азаписывается в ячейку следующим образом:

 

. . .

Знак Знак Порядок p Мантисса m (7 разрядов) (23 разряда)

 

б)Число А

 

. . .

Знак Знак Порядок p Мантисса m (7 разрядов) (23 разряда)

 

 

Максимальным числом представимым в формате слова будет

А

.

. . .

Зн Зн Порядок p Мантисса m

 

. . .

Зн Зн Порядок p Мантисса m

Минимальным числом из возможно представимых в формате слова будет А

 

 

Минимальным по модулю, отличным от нуля и нормализованным будет А.

. . .

Зн Зн p Порядок p Мантисса m

 

. . .

. . .

. . .

Знак Знак Порядок p Мантисса m (10 разрядов) (52 разряда)

Таким образом, числа с плавающей точкой позволяют увеличить диапазон обрабатываемых чисел, но при этом точность изображения чисел определяется только разрядами мантиссы и уменьшается по сравнению с числами с фиксированной точкой. При записи числа в формате слова диапазон представимых чисел будет от до , а точность определяться мантиссой, состоящей из 23 разрядов. Точность может быть повышена путем увеличения количества разрядов мантиссы. Это реализуется путем представления чисел с так называемой двойной точностью (используется формат двойного слова):

Литература.

1. Пономарев В.С., Красников В.В. Методические указания по курсу "Организация и функционирование ЭВМ и систем". Ч. 1. Арифметические основы ЭВМ. ДГТУ, 1996.

2. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. М.: Энергоатомиздат, 1991.

3. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. М.: Высшая школа, 1983.

4. Лю Ю-Чжен, Гибсон Г. Микропроцессоры семейства 8086/8088. М.: Радио и связь

 

 

* Здесь и в дальнейшем при одновременном использовании нескольких различных систем счисления основание системы к которой относится число будем указывать в виде нижнего индекса.

* Знаковым разрядом обычно является крайний разряд в разрядной сетке. В дальнейшем при записи кода знаковый разряд от цифровых условимся отделять запятой. Если количество разрядов кода не указано будем предполагать, что под запись кода выделен один байт.