рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел Математика, Федеральное Государственное Автономное Образовательное Учреждение Вы...

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

 

«Набережночелнинский институт

Казанского (Приволжского) федерального университета»

 

кафедра математики

 

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

 

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

для студентов заочной формы обучения

Г. Набережные Челны

Цельпреподавания дисциплины -формирование системы базовых знаний по данной дисциплине, которая позволит будущим специалистам решать в своей… Основнымизадачами дисциплиныявляются: - ознакомление студентов с ролью математики в современной жизни, с характерными чертами математического метода…

Содержание и структура дисциплины.

Содержание дисциплины (наименование и номера тем).

Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

Тема 1. Определители.

Определители 2-ого, 3-его, порядков, порядка n. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Вычисление определителей.

Литература: [1] –C.142-154; [2] – C.22-26; [3] – C.426-431; [4] – C.263-268.

Тема 2. Матрицы.

Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Линейная зависимость и независимость строк матрицы. Базисный минор. Ранг матрицы. Обратная матрица, условие существования, основные способы её нахождения. Матричные уравнения, их решение.

Литература: [1] –C.136-142; 159-165;174-182; [2] – C.9-16; 26-29;

[3] – C.416-426; 431-435; [4] – C.259-263; 272-276.

Тема 3. Системы линейных уравнений.

Литература: [1] –C.136-142; 154-159; 165-174; [2] – C.38-53; [3] – C.436-457; [4] – C.268-276.  

Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.

Литература: [1] –C.188-196; 222-231; [2] – C.68-78; [3] – C.406-416.  

Тема 5. Линейные операторы.

Линейный оператор, действия над ними. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов, их свойства и нахождение.

Литература: [1] –C.202-221; [2] – C.78-86.

Тема 6. Квадратичные формы.

Квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы. Критерии знакоопределённости квадратичных форм.

Литература: [1] –C.251-261; [2] – C.86-91.

Раздел II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Тема 7. Векторная алгебра.

Литература: [1] –C.5-37; [2] – C.63-68; [3] – C.301-305; [4] – C.222-241.

Раздел III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Тема 8. Прямые линии и плоскости.

Литература: [1] –C.45-71; [2] – C.95-104; 119-121; [3] – C.91-94; 305-311; [4] – C.34-52; 244-252.

Тема 9. Кривые и поверхности второго порядка.

Кривые 2-ого порядка на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их определения, канонические уравнения, форма. Приведение общего уравнения кривой 2-ого порядка к каноническому виду и построение.Поверхности 2-ого порядка, их канонические уравнения и форма.

Литература: [1] –C.72-110; [2] – C.104-115; [3] – C.95-98; 311-318;

[4] – C.52-69; 252-259.

Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Системы линейных неравенств. Решение линейных неравенств в . Постановка задачи линейного программирования, графический метод её решения.

Литература: [5] – C.271-293.

Рекомендуемая литература.

Основная литература:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука, 1998.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. Учеб. пособие для вузов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1997.

3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 1998.

4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. -М. Высшая школа, 2002.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Часть 1. Учеб. пособие для втузов. -М: Высшая школа, 1997.

6. Сборник задач по математике для втузов. Часть1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. -М: Наука, 1993.

 

Дополнительная литература:

 

7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: В 2-х частях. Ч.1. –М.: Финансы и статистика, 2000.

8. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник / Под ред. В.И.Ермакова. М: ИНФРА-М, 1999.

9. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. М.: Физматлит, 2001.

10. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб.пособие для вузов/ Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др. Под ред.проф.Н.Ш.Кремера. –М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

11. Сборник задач по математике для вузов. Под ред. Котляра Л.М., Углова А.Н. -Наб. Челны: Изд-во КамПИ, 2004, 2006, 2007.

 

 

Методические указания по изучению дисциплины.

При выполнении контрольной работы необходимо придерживаться указанных ниже правил: 1.Контрольная работа должна быть выполнена студентом в отдельной ученической… 2.На обложке тетради указываются: название дисциплины; номер варианта и номера решаемых задач; Ф.И.О. студента,…

Материалы для контроля знаний студентов.

Итоговой формой контроля знаний является экзамен в конце семестра обучения. На экзамене студент должен показать знание теоретических основ курса в объёме вопросов, приведённых в разделе 5.2и умение решать задачи, подобные тем, что имеются в его контрольной работе.

Задания для контрольной работы.

 

1 – 10.Вычислить определитель:

а)непосредственным разложением по строке;

б)непосредственным разложением по столбцу.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

11 – 20.Найтиматрицу , если.

11., 12.,

13., 14.,

15., 16.,

17., 18.,

19., 20., .

21 – 30.Найтисобственные числа и собственные векторы матрицы.

21. . 22. . 23. .

24. . 25. . 26. .

27. . 28. . 29. .

30. .

 

31 – 40. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: а) найти решение системы методом Крамера;

б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41–50.Найти общее решение системы методом Гаусса:

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51–60.Найти общее решение системы методом Гаусса:

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61 – 70.Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость (по критерию Сильвестра).

61. .

62. .

63. .

64. .

65. .

66. .

67. .

68. .

69. .

70. .

71 – 80.Даны векторы . Требуется:

а)вычислить скалярное произведение векторов , если, ; б)вычислить векторное произведение векторов ;

в)показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81-90.Даны вершины треугольника.Требуется найти:

а)длину стороны ;б)уравнение стороны;

в)уравнение медианы,проведённой из вершины;

г)уравнение высоты, проведённой из вершины;

д)длину высоты; е)площадь треугольника.Сделать чертёж.

81. . 82.

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89. 90.

91 – 100.Даны вершины пирамиды.Требуется найти:

а)длины ребер и ;б)угол между ребрами и ;

в)площадь грани; г)объем пирамиды;

д)уравнение плоскости грани;

е)длину высоты пирамиды.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101–110.Установить, какую невырожденную кривую определяет алгебраическое уравнение второго порядка, построить её.

101. 102.

103. 104.

105.106.

107.108.

109.110.

111-120.Требуется: а)изобразить графически область допустимых решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.

111. 112. 113.

114. 115. 116.

117. 118.

119. 120.

Вопросы к экзамену.

Раздел I. Линейная алгебра.

1. Понятие матрицы. Частные виды матриц (квадратная, треугольная, диагональная, нулевая, единичная). Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентности и равенства матриц.

2. Действия над матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их свойства. Линейная комбинация матриц.

3. Определители 2-ого и 3-егопорядка, их вычисление. Основные свойства определителей.

4. Понятие определителя n-ого порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

5. Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Частные виды СЛУ (квадратная, однородная, неоднородная). Матрица, расширенная матрица, определитель СЛУ.

6. Решение, множество решений, совместность, несовместность, определённость, неопределённость, эквивалентность СЛУ. Элементарные преобразования СЛУ, их основное свойство.

7. Теорема Крамера (о разрешимости СЛУ порядка ). Формулы Крамера для решения СЛУ, условия их применимости.

8. Метод Гаусса решения СЛУ, условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛУ по методу Гаусса.

9. Преобразования СЛУ, выполняемые при выполнении прямого и обратного ходов метода Гаусса. Базисные и свободные переменные. Нахождение общего решения СЛУ. Частные решения СЛУ.

10. Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

11. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи СЛУ. Матричный способ (метод обратной матрицы) решения СЛУ и условия его применимости.

12. Однородные СЛУ, условия существования их ненулевых решений. Свойства частных решений однородных СЛУ.

13. Минор -ого порядка, базисный минор, ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронеккера-Капелли).

14. Понятие -мерного арифметического вектора. Равенство векторов. Действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Линейная комбинация векторов.

15. Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора и угол между векторами. Понятие ортогональности векторов.

16. Система векторов и её линейная комбинация. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

17. Понятие векторного пространства , евклидова пространства . Базис, канонический базис, ранг . Разложение вектора в по векторам его базиса, координаты вектора. Теорема о единственности разложения вектора в данном базисе.

18. Понятие оператора, линейного оператора. Матрица линейного оператора. Сумма (разность) операторов, произведение оператора на число, произведение оператора на оператор, обратный оператор.

19. Понятие собственного числа и собственного вектора оператора. Характеристическое уравнение. Нахождение собственных чисел и векторов оператора.

20. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Вырожденная, невырожденная, каноническая квадратичная форма. Закон инерции квадратичных форм.

21. Понятие знакоопределённости квадратичной формы. Главные миноры. Критерии знакоопределённости квадратичной формы.

 

Раздел II. Векторная алгебра.

22. Понятие геометрического вектора. Равенство векторов. Противоположный вектор. Орт вектора. Графические правила сложения, вычитания, умножения вектора на число. Проекция вектора на вектор.

23. Коллинеарность и компланарность векторов. Базис и канонический базис плоскости ; базис и канонический базис пространства . Координаты вектора.

24. Понятие декартовой системы координат в . Радиус-вектор, координаты точки. Вычисление длины и направляющих косинусов вектора; координат вектора, заданного двумя точками; расстояния между точками.

25. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие ортогональности векторов.

26. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности векторов.

27. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности векторов.

Раздел III. Аналитическая геометрия.

28. Понятие линии на плоскости. Общее уравнение линии и его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Окружность и её уравнение.

29. Прямая линия на плоскости и её общее уравнение. Нормальный и направляющий векторы прямой. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение прямой.

30. Каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в отрезках. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости и его вычисление, условия и ½½ прямых.

31. Понятие поверхности. Общее уравнение поверхности, его нахождение по известному геометрическому свойству её точек. Сфера и её уравнение.

32. Плоскость и её общее уравнение. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору. Построение плоскости.

33. Уравнение плоскости, проходящей через три точки; уравнение плоскости в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями, условия перпендикулярности и параллельности плоскостей.

34. Понятие линии в пространстве и её общее уравнение. Прямая линия в пространстве и её общее уравнение. Направляющий вектор прямой.

35. Уравнения прямой в пространстве: каноническое, проходящей через две точки; параметрическое. Приведение общего уравнения к каноническому.

36. Угол между двумя прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью и их вычисление, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых, прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

37. Кривая 2-ого порядка на плоскости и её общее уравнение. Классификация кривых 2-ого порядка.

38. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Построение эллипса. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, общее геометрическое свойство точек эллипса.

39. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Построение гиперболы. Вершины, полуоси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты, общее геометрическое свойство точек гиперболы.

40. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Построение параболы. Вершина, фокус, эксцентриситет, директриса, общее геометрическое свойство точек параболы.

41. Область решений линейного неравенства, системы линейных неравенств в . Графическое изображение области решений системы линейных неравенств в .

Приложения.

Образец решения контрольных задач типового варианта.

1 – 10.Вычислить определитель:

а)непосредственным разложением по строке;

б)непосредственным разложением по столбцу;

Решение. а)вычисляем определитель разложением по элементам первой строки: =.

Тогда ==

б)вычисляем определитель непосредственным разложением по элементам второго столбца: =.

Тогда ==.

Ответ: .

11-20.Найти матрицу,если:

, .

Решение:

1)Транспонируем матрицу: .

2)Вычисляем произведение матриц :

.

3)Находим матрицу :

.

4)Находим матрицу :

.

Ответ: .

21-30.Найти собственные числа и векторы матрицы.

Множество собственных чисел матрицы совпадает с множеством корней характеристического уравнения матрицы : , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: , определяемым методом Гаусса.

Решение:

1) Составляем характеристическое уравнение матрицы :

.

Записываем его в виде алгебраического уравнения и находим действительные корни (среди них могут быть и кратные):

, .

Таким образом, собственными числами матрицы являются: и .

2)Находим собственные векторы матрицы , отвечающие различным собственным числам и .

2.1)Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений: и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Такая система имеет бесконечно много решений, которые записывают в виде общего решения. Для записи общего решения этой системы указываем её базисные и свободные неизвестные. Базисными являются неизвестные, столбцы коэффициентов системы при которых образуют базисный минор матрицы этой системы. Такой минор образует, например, столбец коэффициентов при неизвестной : . Поэтому выбираем в качестве базисной – неизвестную , тогда свободными будут неизвестные и . Свободным неизвестным придаём разные, произвольные постоянные значения: , , где ,, одновременно, и выражаем через них значение базисной неизвестной из уравнения системы: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу будет иметь вид: .

2.2)Составляем матричное уравнениедля нахождения собственных векторов , отвечающих собственному числу :

или

,

записываем его в виде системы линейных уравнений: и решаем методом Гаусса. Полученная система, очевидно, эквивалентна системе , имеющей специальный (трапециевидный) вид. Система имеет бесконечно много решений. Для записи её общего решения указываем базисные и свободные неизвестные. Базисный минор матрицы системы образуют столбцы коэффициентов при неизвестных и : . Поэтому выбираем в качестве базисных – неизвестные и , тогда свободной будет неизвестная . Свободной неизвестной придаём произвольное постоянное значение: , гдеи выражаем через неё значения базисных неизвестныхи из уравнений системы специального (трапециевидного) вида, начиная с последнего уравнения: . Тогда общее решение системы, задающее множество всех собственных векторов , отвечающих собственному числу , будет иметь вид: , .

Ответ:, , ,;

, , .

31 – 40. Дана система уравнений: . Требуется:

а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.

Решение.

1а)Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля: .

Решение.

. 2а)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

Решение.

. 2б)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

Решение.

. 2в)Выполняем прямой ход метода Гаусса.

Решение.

2а) Проверяем является ли матрица невырожденной. Для этого вычисляем её определитель и проверяем, равен ли он нулю: . Так как , то матрица -… 3а)Вычисляем угловые миноры матрицы и делаем вывод о знакоопределённости… Ответ: Квадратичная форма положительно определена.

Решение.

=. 2а) Находимвектор

Решение.

; ; ;

Рис.1

 

б)Так как , , , то уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям: . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части

уравнения ,преобразуем его следующим образом:

.

Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат. Для построения эллипса в системе координат : 1) отмечаем центр эллипса ; 2) проводим через центр пунктиром оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон в точках пересечения прямоугольника с осями симметрии (рис.2).

Ответ:Эллипс с центром в точке (см. рис.2).

в)Так как , , , то уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси : . Вид кривой и расположение её на плоскости известны. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения ,преобразуем его следующим образом:

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и осью симметрии параллельной оси . Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктиром ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом того, что параметр параболы , в положительную сторону оси (рис.3).

Ответ:Парабола с вершиной в точке (см. рис.3).

 

 

 

 

Рис.2. Рис.3.

111-120.Требуется: а)изобразить графически область решений системы неравенств; б) найти графическим способом решение задачи линейного программирования.

Решение.

2а)Находим полуплоскости ,,,,и в которых выполняются неравенства. Для этого выбираем «пробную» точку и проверяем, удовлетворяет ли она… 3а)Строим область решений как область, являющуюся пересечением полуплоскостей… Для решения задачи линейного программирования графическим способом: 1б) Строим нормальный вектор прямой , являющейся…

Рис. 4

Ответ: а) Область (см. рис.4)

б) ; .

Краткие теоретические сведения.

Квадратной матрицей порядканазывается квадратная таблица из чисел (, ): , состоящая из строк и столбцов. У квадратной матрицы различают главную… Определителем 1-ого порядка называется число . Определителем 2-ого порядка называется число

Рис.5 Рис 6

2)- уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые , проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.

Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы (рис. 7) или гиперболы (рис. 8).

 

Рис.7 Рис.8

3а) - уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 9).

3б)- уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 10).

Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы : при - в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при - в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .

 

Рис. 9а Рис. 9б

Рис. 10а Рис. 10б

Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.

Линейным неравенством называют неравенство вида: , где - некоторые числа, - координаты точки пространства . Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству, называют областью решений данного неравенства.

Для пространства линейное неравенство имеет вид . Его областью решений является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая делит плоскость . Для того, чтобы установить какая из полуплоскостей удовлетворяет данному неравенству выбирают «пробную» точку и проверяют, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку, в противном случае берётся другая полуплоскость. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой. Полуплоскость, в которой неравенство выполняется, отмечают стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.

Системой линейных неравенств называют систему неравенств вида:

,

где - коэффициенты системы, - свободные члены системы. Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств, называют областью решенийсистемы неравенств.

Для пространства система линейных неравенств имеет вид

.

Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств

Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Задачи линейного программирования (ЗЛП) являются задачами оптимизации и широко применяются для решения экономических задач.

Существует несколько форм записи задачи линейного программирования.

Общей задачей линейного программирования называют задачу:

Симметричной задачей линейного программирования называют задачу:

или

Канонической задачей линейного программирования называют задачу:

Функция называется целевой функцией; величины называются переменными задачи; система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи называется системой ограничений; любой -мерный вектор удовлетворяющий системе ограничений называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования; множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений; допустимое решение ЗЛП, при котором целевая функция достигает экстремума называется оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования.

Все формы записи ЗЛП эквивалентны. ЗЛП с двумя переменными может быть решена графическим методом, который основан на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений ЗЛП строится как пересечение областей решений каждого из ограничений, входящих в систему ограничений задачи. Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня целевой функции. Линией уровня целевой функции называется прямая , на которой целевая функция принимает постоянное значение . Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль показывает направление наибольшего возрастания значений целевой функции, а вектор () – направление наибольшего убывания.

Если построить на одном рисунке область допустимых решений, вектор () и одну из линий уровня, например , то задача линейного программирования сводится к определению в области допустимых решений точки в направлении вектора (), через которую проходит линия уровня (), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . В этом и состоит графический метод решенияЗЛП.

Примером задачи, сводящейся к задаче линейного программирования, является задача оптимального использования ресурсов.

При производстве видов продукции используется видов ресурсов. Известны: - запасов ресурсов; () - расход -ого вида ресурса на производство одной единицы -ого вида продукции; - прибыль, получаемая от реализации одной единицы -ого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции , где - объём выпуска -ой продукции, который обеспечивает максимальную прибыль . Математическая модель такой задачи имеет вид:

и является задачей линейного программирования.

Образец оформления обложки с контрольной работой.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Набережночелнинский институт

Казанского (Приволжского) федерального университета»

 

Кафедра математики

Контрольная работа

по дисциплине «___________________»

Вариант № ____

(номера выполняемых заданий: _________________________)

 

Выполнил: студент группы №_______

Ф.И.О. студента_________

зач. книжка - № _________

Проверил: преподаватель кафедры математики

Ф.И.О. преподавателя_____

Набережные Челны

201…

Таблица номеров выполняемых заданий.

Номер варианта Номера выполняемых заданий
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Номер варианта соответствует номеру студента в списке группы.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

2.Содержание и структура дисциплины……………….………….......3 3. Рекомендуемая литература……………………….…………………..5 4.Методические указания по изучению дисциплины………..……….6

– Конец работы –

Используемые теги: ная, Алгебра, Аналитическая, Геометрия0.059

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
учреждение высшего профессионального образования... Набережночелнинский институт Казанского Приволжского федерального университета...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Аналитическая геометрия и алгебра
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... Федеральное государственное автономное образовательное учреждение...

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ...

ТР: АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ТР АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... Задача Вычислить определитель Задача Даны матрицы и Найти матрицу...

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ САНКТ ПЕТЕРБУРГ...

Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...

Алгебра и аналитическая геометрия
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...

0.029
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам
  • ТЕМА АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Что такое логика Формальная логика Математическая логика... LOGOS греч слово понятие рассуждение разум... Слово логика обозначает совокупность правил которым подчиняется процесс мышления...
  • Линейная алгебра ФГБОУ ВПО Магнитогорский государственный... технический университет им Г И Носова...
  • Раздел 1. Линейная алгебра Раздел Математический анализ Тема Пределы и непрерывность Предел последовательности... Раздел Дифференциальное исчисление Тема... Тема Приложение производной...
  • Аналитическая геометрия Декарта и проблемы философии техники На пути создания математического анализа и аналитической геометрии стояли классические представления древности и средневековья о природе числа,… Следует также отметить, что сложнейшие гносеологические проблемы,… Истоки же этого движения нужно искать еще раньше, в позднем средневековье.С XII века, когда в Европе начинают…
  • И естественнонаучных дисциплин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт Петербургский государственный... Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения...